湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份湛江市第二十一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．i是虚数单位，复数( )
A.B.1C.-iD.i
2．向量，，若，则( )
A.B.，C.，D.，
3．空间向量在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．已知点，，，则点A到直线的距离是( )
A.1B.C.D.4
5．空间四边形中，，，，点M在上，，点N为的中点，则( )
A.B.C.D.
6．如图所示,在棱长为2的正方体中,E为的中点,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．下列命题中正确的是( )
A.点关于平面对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C.若和都为基底，则可以为
D.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线l与平面所成的角为30°
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为( )
A.6B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题正确的是( )
A.若，则与，共面
B.若，则M,P,A,B共面
C.若，则A,B,C,D共面
D.若，则P,A,B,C共面
10．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球,现从盒子里随机取出2个小球,记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”,事件“两个球中至多一个黑球”,事件“两个球均为白球”,则( )
A.B.C.D.
11．在中,下列结论正确的是( )
A.若,则为等腰三角形
B.若,则是直角三角形
C.若,则是钝角三角形
D.若,则是等边三角形
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，若点，，则________.
13．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为_______.
14．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则_______.
四、解答题
15．在中，,,.
(1)求的长；
(2)求的长；
(3)记中点为D，求中线的长.
16．如图,在四棱锥中,四边形是菱形,,E为的中点.求证:
(1)平面;
(2)平面平面.
17．某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照,,…,进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中.
(1)求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分；
(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率.
18．如图所示，已知正方体的棱长为3，E，F分别是，的中点，M是上一点，且平面.
(1)求；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)棱上是否存在点E，它与点B到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：.
故选：C.
2．答案：C
解析：因为向量，，且，
则设，即，
则有，则，，解得，，
故选：C.
3．答案：C
解析：，，
由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，
故选：C.
4．答案：B
解析：由题意，,
则与同方向的单位向量为，又,
于是，点A到直线的距离是：
.
故选：B.
5．答案：B
解析：
如图，连结，因，点N为的中点，则，
于是，.
故选：B.
6．答案：C
解析：如图,以D为原点,分别以,,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为正方体的棱长为2,则,,,.
所以,又
所以.
故选：C.
7．答案：D
解析：对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，
，有，则或，B错误；
对于C，由是空间向量的一个基底，得，，不共面，则，不共线，假设，则，即，，共面，
与是空间的一个基底矛盾，因此不可以为，C错误；
对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，
则直线l与平面所成的角为，D正确.
故选：D
8．答案：B
解析：设球O的半径为r，则，解得，
因为平面，，
所以三棱锥的外接球，即为以,,为棱的长方体的外接球，
故，其中，故，
三棱锥（以A为顶点）的侧面积为
，
由基本不等式得，故，
当且仅当时，等号成立，
，
故，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：B
9．答案：ABD
解析：选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；
选项B，根据共面向量基本定理可知，,,共面，由于它们有公共点M，所以M,P,A,B共面；
选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以O为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点A,B,C,D不在同一个平面上，所以C选项是错误的；
选项D，由可得，
则，即，
则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；
故选：ABD.
10．答案：AB
解析：记3个白球为E,F,G,2个黑球为a,b,随机取出2个小球的事件如下,
,,,,,,,,,,
事件A对应的基本事件有,,,,,所以,故A正确;
事件B对应的基本事件有,,,,,,,,,所以,
事件C对应的基本事件有 ,,,所以,
又,故D错误;
其中对应的基本事件有,,,,,,,,,所以,故B正确;
对应的基本事件有,,,,,,所以,故C错误.
故选：AB.
11．答案：CD
解析：对于A,中,若,则有或,
当时,,为等腰三角形;
当时,,为直角三角形,
故A选项不正确,
对于B,中,若,则或,
即或,因此不一定是直角三角形,故B选项不正确;
对于C,中,若,则根据正弦定理得,
余弦定理得,则C为钝角,是钝角三角形,故C选项正确;
对于D,中,若,则,即,
由,得,
所以,,是等边三角形,故D选项正确.
故选：CD.
12．答案：
解析：由题意知.
故答案为：
13．答案：
解析：原7个数的方差为，即，
加入一个新数据2后所得8个数的平均数为，
所以这8个数的方差为.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为平面，平面，所以，，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，
.
故答案为：.
15．答案：(1)2；
(2)；
(3)
解析：（1）由正弦定理可得，
所以；
（2）由余弦定理得，
即，
舍去负值，所以；
（3）在中由余弦定理得：
，则.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析
解析：（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面.
（2）连接,如图所示:
因为,O为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面.
17．答案：(1)，，85，76.5；
(2)
解析：（1）由频率分布直方图可知，即，
又，所以，，
前三组的频率之和为，
前四组的频率之和为，
则分位数，且.
测试成绩的平均分为：.
（2）成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为a，b，c，
成绩在内的有1人，设为D，
再从这4人中选2人，
这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为.
18．答案：(1)1；
(2)
解析：（1）如图，以点A为原点，分别以直线，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得，
取，则，故.
设，则.
因为平面，所以，
所以，所以.
（2）因为，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，且
解析：（1）证明：因为平面平面，且平面平面，因为，且平面，所以平面.
因为平面，所以.
（2）在中，因为，，，
所以，所以.
又因为平面，以点B为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以，、、、、，
则，，
易知平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则，取，则.
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
（3）因为B、E到平面的距离相等，且B、E在平面的同侧，
则有平面.
因为点E在棱，所以，其中，
因为，则，所以.
又因为平面，为平面的一个法向量，
所以，即，所以.
所以，所以.