中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)

这是一份中牟县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知，，且，则x的值为( )
A.B.C.6D.
2．若是空间中的一组基底,则下列可与向量,构成基底的向量是( )
A.B.C.D.
3．已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则( )
A.B.C.D.
4．三棱锥中,点面,且,则实数( )
A.B.C.1D.
5．已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是( )
A.B.C.D.
6．已知正方体中,E是的中点,则直线AE与平面所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
7．如图，已知二面角的大小为，，，，，且，，则( )
A.B.6C.D.7
8．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知向量，分别为平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则( )
A.B.C.D.
10．若平面，的法向量分别是，，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则( )
A.B.
C.l与m为相交直线D.在上的投影向量为
11．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的值可以为( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，已知三点，，，则点C到直线的距离为__________.
13．在空间直角坐标系Oxyz中,若点关于平面xOz对称的点为,则点P的坐标为________.
14．在空间直角坐标系中，已知，，点C，D分别在x轴，y轴上.且，那么的最小值是________.
四、解答题
15．如图，正四面体中，M，N分别为棱，的中点，设，，.
（1）用，，分别表示向量，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
16．已知正三棱柱，底面边长，，O，分别是棱，的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求三棱柱的侧棱长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17．在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且.
（1）当时，求证：；
（2）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱的中点.证明：
（1）平面；
（2）平面平面.
19．如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，C是的中点.
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意，，且，所以，解得.
故选：D.
2．答案：B
解析：由是空间中的一组基底,故,,两两不共线,
对A:有,故A错误;
对B:设,则有,
该方程无解,故可与构成基底,故B正确;
对C:有,故C错误;
对D:有,故D错误.
故选:B.
3．答案：D
解析：
故选：D
4．答案：D
解析：由题意三棱锥中,点面,且,
所以,解得.
故选：D.
5．答案：B
解析：假设选项中的点为点M，
对于A：，此时，点在平面内；
对于B：，此时，点不在平面内；
对于C：，此时，点在平面内；
对于D：，此时，点在平面内；
故选：B.
6．答案：A
解析：如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,
则,,,,
,,,
设平面的法向量为,则
可取.
设直线AE与平面所成角的,则,
于是直线与平面所成角的余弦值为.
故选:A.
7．答案：A
解析：因为二面角的大小为，，，，，，所以与的夹角为，又因为，
所以
，
所以，即.
故选：A.
8．答案：C
解析：建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，
设，由，得，
所以，，，
所有，，
因为，，
所以，得.
故选：C.
9．答案：AB
解析：因为，，所以，所以，A正确；
因为，且，所以，B正确；
因为，所以或者，C不正确；
因为，所以，不垂直，D不正确.
故选：AB
10．答案：AD
解析：，，故A正确；
，或，故B错误；
设，则，此方程组无解，则l与m为相交直线或异面直线，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD
11．答案：BD
解析：以点为坐标原点，分别以、、所在直线为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
则，
，
所以，，
因为，则，所以，，
所以，，
故选：BD.
12．答案：
解析：因为，，，所以，，
所以，得到，
所以点C到直线的距离为，
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意知,在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为,又,所以,解得,所以点P的坐标为.
故答案为:.
14．答案：或
解析：因为点C，D分别在x轴，y轴上，所以设，，，，，
由于，所以即，
因为，
所以当时，，
故答案为：
15．答案：（1），；
（2）
解析：（1）如图，设正四面体棱长为1，
则，
；
（2）由（1）知，，.
又.
设异面直线与所成角为，
则
.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）设侧棱长为b，则，，，，，所以，.
因为，所以，解得.
故三棱柱的侧棱长为.
（2）由（1）知，.
因为，，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为
17．答案：（1）证明过程见解析；
（2）
解析：（1）因为，所以，故，
由勾股定理逆定理得，又平面，
故以A为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴，平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，因为，由勾股定理得，，
当时，M，N分别为，的中点，
，，，，
，，
故，
；
（2），
故，，
故，
当时，取得最小值，
此时，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
设平面的法向量为，
则，
令，则，故，
所以平面与平面夹角的余弦值为
.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）因为平面，且平面，所以，
又因为，且，平面PAD，所以平面PAD，
依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
由E为棱的中点，得，则，
所以为平面的一个法向量，
又，所以，
又平面，所以平面.
（2）由（1）知平面的法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令，可得，所以，
又，
所以，所以平面平面.
19．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）以O为原点，，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，.
设直线与所成的角为，
则，
即直线与所成角的余弦值是.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，则
取，得，所以平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.