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    湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期9月第一次调研考试数学试题

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    湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期9月第一次调研考试数学试题

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    这是一份湖南省长郡中学2024-2025学年高三上学期9月第一次调研考试数学试题,共16页。试卷主要包含了已知定义在上的函数满足等内容,欢迎下载使用。
    本试题卷共4页.时量120分钟,满分150分.
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合,则( )
    A. B. C. D.
    2.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则的一个充分条件是( )
    A. B.
    C. D.
    3.的展开式中的常数项是( )
    A.第673项 B.第674项
    C.第675项 D.第676项
    4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物,已有数千年历史,是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图,用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成,上下底面的半径均为25cm,公共底面的半径为15cm,铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为,现有青铜材料1000kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为( )(注:)
    A.1 B.2 C.3 D.4
    5.已知定义在上的函数满足(为的导函数),且,则( )
    A. B.
    C. D.
    6.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点,是的中点,点是上一点,若点的纵坐标为1,直线,则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为( )
    A. B. C. D.
    7.已知函数,对于任意的,都恒成立,且函数在上单调递增,则的值为( )
    A.3 B.9 C.3或9 D.
    8.如图,已知长方体中,为正方形的中心点,将长方体绕直线进行旋转.若平面满足直线与所成的角为,直线,则旋转的过程中,直线与夹角的正弦值的最小值为( )(参考数据:)
    A. B. C. D.
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
    9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化,成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发,组偏向于智能自动化方向,组偏向于节能增效方向,一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试(满分:100分),测得组性能得分为:组性能得分为:,则( )
    A.组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高
    B.组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小
    C.组性能得分的极差比组性能得分的极差大
    D.组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大
    10.嫁接,是植物的人工繁殖方法之一,即把一株植物的枝或芽,嫁接到另一株植物的茎或根上,使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟,形成两个椭圆形截面,如图所示,其中分别为两个截面椭圆的长轴,且都位于圆柱的同一个轴截面上,是圆柱截面圆的一条直径,设上、下两个截面椭圆的离心率分别为,则能够保证的的值可以是( )
    A. B.
    C. D.
    11.对于任意实数,定义运算“”,则满足条件的实数的值可能为( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.在复平面内,复数对应的点为,则__________.
    13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式__________.
    ①是常数,且;②;③的前项和存在最小值.
    14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”(以比利时数学家欧仁・查理・卡特兰的名字命名).有如下问题:在的格子中,从左下角出发走到右上角,每一步只能往上或往右走一格,且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方(不能穿过,但可以到达该连线),则共有多少种不同的走法?此问题的结果即卡特兰数.如图,现有的格子,每一步只能往上或往右走一格,则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法;若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方,但可以到达直线,则有__________种不同的走法.
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.(本小题满分13分)
    已知为圆上一个动点,垂直轴,垂足为为坐标原点,的重心为.
    (1)求点的轨迹方程;
    (2)记第(1)问中的轨迹为曲线,直线与曲线相交于两点,点,若点恰好是的垂心,求直线的方程.
    16.(本小题满分15分)
    如图,四边形为圆台的轴截面,,圆台的母线与底面所成的角为,母线长为是的中点.
    (1)已知圆内存在点,使得平面,作出点的轨迹(写出解题过程);
    (2)点是圆上的一点(不同于),,求平面与平面所成角的正弦值.
    17.(本小题满分15分)
    素质教育是当今教育改革的主旋律,音乐教育是素质教育的重要组成部分,对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育,培养学生的综合能力,某校开设了一年的音乐素养选修课,包括一个声乐班和一个器乐班,已知声乐班的学生有24名,器乐班的学生有28名,课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试,且每人是否通过测试是相互独立的.
    (1)声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为,设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为,求的极大值点.
    (2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴,有8人学习小提琴,有16人学习电子琴,按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人,再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试,设抽到学习电子琴的学生人数为,求的分布列及数学期望.
    18.(本小题满分17分)
    已知数列为等比数列,为等差数列,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)数列的前项和为,集合共有5个元素,求实数的取值范围;
    (3)若数列中,,求证:
    19.(本小题满分17分)
    设有维向量,称为向量和的内积,
    当,称向量和正交.设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合.
    (1)若,写出一个向量,使得;
    (2)令.若,证明:为偶数;
    (3)若是从中选出向量的个数的最大值,且选出的向量均满足,猜测的值,并给出一个实例.
    长郡中学2025届高三第一次调研考试
    数学参考答案
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
    6.D 【解析】由题得的焦点为,设倾斜角为的直线的方程为,
    与的方程(联立得,
    设,则,故的方程为.
    由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离,
    联立抛物线与直线,化简得,
    由得与相离.
    分别是过点向准线、直线以及
    过点向直线引垂线的垂足,连接,
    所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和,
    等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点,
    所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为
    点到直线的距离,即.
    故选:D.
    7.A 【解析】设函数的最小正周期为,
    因为函数在上单调递增,
    所以,得,因此.
    由知的图象关于直线对称,
    则①.
    由知的图象关于点对称,则②.
    ②-①得,令,则,
    结合可得或9.
    当时,代入(1)得,又,所以,
    此时,因为,
    故在上单调递增,符合题意;
    当时,代入(1)得,又,所以,
    此时,因为,
    故在上不是单调递增的,所以不符合题意,应舍去.
    综上,的值为3.
    故选:A.
    8.A 【解析】在长方体中,,
    则直线与的夹角等于直线与的夹角.
    长方体中,为正方形的中心点,则,又,
    所以是等边三角形,故直线与的夹角为.
    则绕直线旋转的轨迹为圆锥,如图所示,.
    因为直线与所成的角为,所以直线与的夹角为.
    在平面中,作,使得.
    结合图形可知,当与直线平行时,与的夹角最小,为,
    易知.
    设直线与的夹角为,则,故当时最小,


    故直线与的夹角的正弦值的最小值为.
    故选:A
    二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.
    9.AD
    10.AD
    11.BD 【解析】由,可得,即,若,可得,符合题意,
    若,可得,不符合题意,
    若,可得,不符合题意,
    若,可得,不符合题意,
    综上所述,可得,
    故只需判断四个选项中的是否为最大值即可.
    对于,由题知,而,
    ,所以.
    (点拨:函数为减函数,为减函数),
    对于A,;对于B,,故A错误,B正确.
    对于C,D
    (将0.9转化为,方便构造函数)构造函数,
    则,因为,所以单调递减,
    因为,所以,
    即,所以.
    (若找选项中的最大值,下面只需判断与的大小即可)

    构造函数,则,
    因为,所以,令,则,
    当时,单调递减,因为,
    所以,即单调递减,又,所以,
    即,所以.
    综上,.对于C,;对于D,,故C错误,D正确.
    (提醒:本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断,
    即,
    构造函数,
    则,
    因为,所以单调递增,因为,所以,
    即,所以)
    故选:BD.
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
    12.
    【解析】由于复数对应的点为,所以,
    故,
    故答案为:
    13.(答案不唯一)
    14.35;14
    四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    15.【解析】(1)设,则,因为的重心,
    故有:,解得,代入,化简得,
    又,故,所以的轨迹方程为.
    (2)因为的垂心,故有,
    又,所以,故设直线的方程为,
    与联立消去得:,
    由得,
    设,则,
    由,得,所以,
    所以,
    所以,化简得,
    解得(舍去)或(满足),故直线的方程为.
    16.【解析】(1)是的中点,.
    要满足平面,需满足,
    又平面平面平面
    如图,过作下底面的垂线交下底面于点,
    过作的平行线,交圆于,则线段即点的轨迹.
    (2)易知可以为坐标原点,所在直线分别为,
    轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    母线长为,母线与底面所成角为,

    取的位置如图所示,连接,
    ,即,
    则,
    则.
    设平面的法向量为,
    则,即,
    令,则.
    设平面的法向量为,
    则,即,
    令,则.
    设平面与平面所成的角为,则

    .
    17.【解析】(1)24名学生中恰有3名通过测试的概率,
    则,
    令,得,
    所以当时,单调递增;
    当时,单调递减,
    故的极大值点.
    (2)利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名,
    则7名学生中学习钢琴的有1名,学习小提琴的有2名,学习电子琴的有4名,所以的所有可能取值为,


    则随机变量的分布列为
    .
    18.【解析】(1)设数列公比的为,数列公差的为
    则由,
    ,即.
    (2)设

    令,


    可得,
    故当时,最大.
    且,
    ,即的取值范围为.
    (3)由,则
    当时,
    当时,也满足上式
    故原不等式成立.
    19.【解析】(1)由定义,只需满足,不妨取(答案不唯一).
    (2)对于,
    存在使得.
    当时,;当时,.令.
    所以.
    所以为偶数.
    (3)当时,可猜测互相正交的4维向量最多有4个,即.
    不妨取
    则有.
    若存在,使,则或或.
    当时,;
    当时,;
    当时,,
    故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    11
    答案
    A
    C
    D
    C
    D
    D
    A
    A
    AD
    AD
    BD
    0
    1
    2
    3

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