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江苏省睢宁高级中学2025届高三上学期九月学情检测 数学试卷（含解析）
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这是一份江苏省睢宁高级中学2025届高三上学期九月学情检测 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．R
2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．为的极小值点B．
C．是奇函数D．若，则
10．已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．在处取得极小值
C．
D．在处取得极小值
11．函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ）
A．函数的值域为R
B．函数的单调减区间为
C．当时，则方程有4个不相等的实数根
D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的值域为，其中，则的最小值为 .
13．已知函数，且，则的取值范围是 .
14．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，已知集合，.
(1)当时，求实数的范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的范围.
16．二次函数最小值为，且关于对称，又.
(1)求的解析式；
(2)在区间上，y=的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值.
17．已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
18．已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点.
19．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用指数函数单调性化简集合，再由并集、补集的运算即可.
【详解】由题意可得，则，所以R.
故选D.
2．【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选B.
3．【答案】A
【分析】求解不等式，由集合间的关系即可判断.
【详解】由，得，记为，
由且，解得，记为，
所以，则“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【思路导引】分别计算出不等式的解集为，，利用集合的关系即可得到答案.
4．【答案】B
【分析】由增函数结合函数在区间上单调递增，得函数在区间上单调递增，再由一元二次函数图象性质即可求解.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以，解得.
故选B.
【思路导引】函数在R上单调递增，函数在区间上单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，可得在区间上单调递增，再利用二次函数的性质即可得到答案.
5．【答案】A
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即可求解.
【详解】∵，∴，，
又，则，所以.
故选A.
6．【答案】D
【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式.
【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，
时，，，
则或，
当时，，此时，
当时，，此时.
故选D.
7．【答案】B
【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系.
【详解】是偶函数，在上单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故，
即，而，
所以，
所以.
故选B.
【思路导引】构造函数，求导可得在上单调递减，从而比较出代数式的大小.
8．【答案】C
【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可.
【详解】已知，由知，故排除BD；
由得，，
构造函数，是上的增函数，
则由得，即，
令，
，由得，，
当，则单调递减，
当，则单调递增，
，
则，又，则.
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】设，验证该函数满足已知条件，结合函数的极小值点的定义判断A；
由取，可求，由此判断B；
由取，可得的关系，结合奇函数定义判断C；
由，取，可得，结合赋值法及加法运算律可求，由此判断D.
【详解】令，其定义域为，且满足题意，
因为函数为上的增函数，所以不是的极小值点，故A错误；
令，则，所以，故B正确；
令，则，所以是奇函数，故C正确；
令，则，即，
，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值，由此判断各选项.
【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确；
，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误；
由，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以是极小值，D正确.
故选ACD.
11．【答案】BD
【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；对于C和D，由方程得解为与，再根据条件数形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解.
【详解】①当时，，
则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有，
②当时，，，
当，在(0,1)单调递增；当，在单调递减，
故，且恒有，综上①②可知，，
综上，作出函数大致图象，如下图：
对于A，由上可知函数的值域为，故A错误；
对于B，函数的单调减区间为，故B正确；
对于C，当时，则方程，解得或，
由，得或，有两个实数根；
由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为，
所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；
对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根，
即方程与方程共有3个不相等的实数根，
又因为已有两个不等的实数根，
则方程有且仅有1个根，且不为，
所以与有且仅有1个公共点，
由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【分析】根据二次函数的值域确定，得，且可知，再结合基本的不等式即可得的最小值.
【详解】函数的值域为，则有，即，且，
所以，
又由，所以，则
，当且仅当且时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】设，由此可得，比较可得，由条件可求其范围.
【详解】由题意，设，则是方程的个根，
又，则，
即，且，
所以，故，
由，得，即，
故的取值范围是.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可.
【详解】由题意可知，则，
即，
又，，
所以，则，
设，则，
所以在上单调递增，
所以，则，
所以，
所以，
设，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
【思路导引】利用等式，同构函数，化简可得，同构函数，再利用导数分析单调性并求出最值.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意知，5是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题可得，则；
（2）由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得，
综上，.
16．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式；
（2）转化为对任意的恒成立，设，则只要即可，结合的单调性求出，从而得到答案；
（3）由函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值，得到答案.
【详解】（1）由题可设，又，得，
所以；
（2）由题有，即对任意的恒成立，
设，则只要即可，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得；
（3）图象的对称轴为直线，
当时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，
当时，即当时，在上单调递增，
此时.
综上，.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则有，利用两角差的余弦公式可求得；
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，
，
所以
.
（2）因为，，
所以，
所以，
所以.
18．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得；
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
又，且当时，，所以函数在上单调递增，
又函数为偶函数，所以在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点，
当时，令，
则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得，
且当时，，即，则在上单调递增，
，故在没有零点，
当时，有，即，则在上单调递减，
又，，所以在上有且只有一个零点，
综上，函数在上有2个零点.
19．【答案】（1）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
.
【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，，，
令，，分，，，，四种情况考虑零点情况及正负情况，得函数的单调区间；
（2）因为，由(1)知，在上的最小值为，
由题意可知“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得的最小值，再求得范围.
【详解】(1)定义域，
因为，
所以，，
令，，
(i)当时，，，
所以当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增；
(ii)当时，由,
即，解得，
①当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；
②当时，，
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
③当时，由于，
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；
综上所述：
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，由(1)知，，当时，，
函数单调递减：当时，，函数单调递增，所以在上的最小值为，
由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，
所以，，
又，，所以
①当时，，与矛盾，
②当时，，同样与矛盾，
③当时，，解不等式，
可得.
综上，的取值范围是.
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．R
2．已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．对于实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．为的极小值点B．
C．是奇函数D．若，则
10．已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．在处取得极小值
C．
D．在处取得极小值
11．函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ）
A．函数的值域为R
B．函数的单调减区间为
C．当时，则方程有4个不相等的实数根
D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的值域为，其中，则的最小值为 .
13．已知函数，且，则的取值范围是 .
14．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，已知集合，.
(1)当时，求实数的范围；
(2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的范围.
16．二次函数最小值为，且关于对称，又.
(1)求的解析式；
(2)在区间上，y=的图象恒在图象的下方，试确定实数的取值范围；
(3)求函数在区间上的最小值.
17．已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
18．已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)证明：函数在上有两个零点.
19．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设，当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】利用指数函数单调性化简集合，再由并集、补集的运算即可.
【详解】由题意可得，则，所以R.
故选D.
2．【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选B.
3．【答案】A
【分析】求解不等式，由集合间的关系即可判断.
【详解】由，得，记为，
由且，解得，记为，
所以，则“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【思路导引】分别计算出不等式的解集为，，利用集合的关系即可得到答案.
4．【答案】B
【分析】由增函数结合函数在区间上单调递增，得函数在区间上单调递增，再由一元二次函数图象性质即可求解.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，
所以，解得.
故选B.
【思路导引】函数在R上单调递增，函数在区间上单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，可得在区间上单调递增，再利用二次函数的性质即可得到答案.
5．【答案】A
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式即可求解.
【详解】∵，∴，，
又，则，所以.
故选A.
6．【答案】D
【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式.
【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，
时，，，
则或，
当时，，此时，
当时，，此时.
故选D.
7．【答案】B
【分析】构造，求导得到其单调性，得到，结合的奇偶性和单调性，，得到大小关系.
【详解】是偶函数，在上单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故，
即，而，
所以，
所以.
故选B.
【思路导引】构造函数，求导可得在上单调递减，从而比较出代数式的大小.
8．【答案】C
【分析】构造同构函数，分析单调性，转化为恒成立，即，再求解的最小值即可.
【详解】已知，由知，故排除BD；
由得，，
构造函数，是上的增函数，
则由得，即，
令，
，由得，，
当，则单调递减，
当，则单调递增，
，
则，又，则.
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】设，验证该函数满足已知条件，结合函数的极小值点的定义判断A；
由取，可求，由此判断B；
由取，可得的关系，结合奇函数定义判断C；
由，取，可得，结合赋值法及加法运算律可求，由此判断D.
【详解】令，其定义域为，且满足题意，
因为函数为上的增函数，所以不是的极小值点，故A错误；
令，则，所以，故B正确；
令，则，所以是奇函数，故C正确；
令，则，即，
，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ACD
【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值，由此判断各选项.
【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确；
，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误；
由，时，，单调递减，时，，单调递增，
所以是极小值，D正确.
故选ACD.
11．【答案】BD
【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；对于C和D，由方程得解为与，再根据条件数形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解.
【详解】①当时，，
则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有，
②当时，，，
当，在(0,1)单调递增；当，在单调递减，
故，且恒有，综上①②可知，，
综上，作出函数大致图象，如下图：
对于A，由上可知函数的值域为，故A错误；
对于B，函数的单调减区间为，故B正确；
对于C，当时，则方程，解得或，
由，得或，有两个实数根；
由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为，
所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；
对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根，
即方程与方程共有3个不相等的实数根，
又因为已有两个不等的实数根，
则方程有且仅有1个根，且不为，
所以与有且仅有1个公共点，
由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确.
故选BD.
12．【答案】
【分析】根据二次函数的值域确定，得，且可知，再结合基本的不等式即可得的最小值.
【详解】函数的值域为，则有，即，且，
所以，
又由，所以，则
，当且仅当且时等号成立，
即的最小值为.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】设，由此可得，比较可得，由条件可求其范围.
【详解】由题意，设，则是方程的个根，
又，则，
即，且，
所以，故，
由，得，即，
故的取值范围是.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】将两个函数的零点代入函数式，得到等式，再同构函数，，利用导数分析单调性求出最值即可.
【详解】由题意可知，则，
即，
又，，
所以，则，
设，则，
所以在上单调递增，
所以，则，
所以，
所以，
设，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以的最大值为.
故答案为：.
【思路导引】利用等式，同构函数，化简可得，同构函数，再利用导数分析单调性并求出最值.
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意知，5是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题可得，则；
（2）由题可得是的真子集，
当，则；
当，，则（等号不同时成立），解得，
综上，.
16．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）设，代入，求出，得到解析式；
（2）转化为对任意的恒成立，设，则只要即可，结合的单调性求出，从而得到答案；
（3）由函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值，得到答案.
【详解】（1）由题可设，又，得，
所以；
（2）由题有，即对任意的恒成立，
设，则只要即可，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得；
（3）图象的对称轴为直线，
当时，在上单调递减，则；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时，
当时，即当时，在上单调递增，
此时.
综上，.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则有，利用两角差的余弦公式可求得；
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
【详解】（1）因为，，
所以，，
所以，
，
所以
.
（2）因为，，
所以，
所以，
所以.
18．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得；
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数，
又，且当时，，所以函数在上单调递增，
又函数为偶函数，所以在上单调递减，
综上，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）证明：由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点，
当时，令，
则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得，
且当时，，即，则在上单调递增，
，故在没有零点，
当时，有，即，则在上单调递减，
又，，所以在上有且只有一个零点，
综上，函数在上有2个零点.
19．【答案】（1）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
.
【分析】（1）先求定义域，再对函数求导，，，
令，，分，，，，四种情况考虑零点情况及正负情况，得函数的单调区间；
（2）因为，由(1)知，在上的最小值为，
由题意可知“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，由一元二次函数的“三点一轴”分类讨论求得的最小值，再求得范围.
【详解】(1)定义域，
因为，
所以，，
令，，
(i)当时，，，
所以当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增；
(ii)当时，由,
即，解得，
①当时，，恒成立，此时，函数在上单调递减；
②当时，，
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
③当时，由于，
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；
综上所述：
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
(2)因为，由(1)知，，当时，，
函数单调递减：当时，，函数单调递增，所以在上的最小值为，
由于“对任意，存在，使”等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”，
所以，，
又，，所以
①当时，，与矛盾，
②当时，，同样与矛盾，
③当时，，解不等式，
可得.
综上，的取值范围是.
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