备战2025年高考数学压轴题训练专题12一元函数的导数新定义题(含新定义解答题)(全题型压轴题)(学生版+解析)

这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题12一元函数的导数新定义题(含新定义解答题)(全题型压轴题)(学生版+解析)，共30页。
2．（23-24高三上·湖南益阳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ）
A．0B．C．1D．
3．（2023·陕西咸阳·模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）
A．0.50B．C．D．0.56
4．（23-24高三上·福建·阶段练习）艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设，已知，的前n项和为，则等于（ ）
A．2022B．2023C．D．
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为（ ）
A．1B．eC．D．
6．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件．（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
7．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则 ， .
8．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为 （结果用分数表示）.
9．（2023高三·全国·专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
10．（23-24高三下·云南·阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图6所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解.
已知函数，.
(1)试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，）
11．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
(3)证明：当时，有．
12．（23-24高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
13．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲
项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
15．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.
(1)求证：函数是单峰函数；
(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.
（i）求证：；
（ii）求证：.
注：.
16．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．
17．（23-24高三下·江西·阶段练习）记函数在上的导函数为，若（其中）恒成立，则称在上具有性质．
(1)判断函数（且）在区间上是否具有性质？并说明理由；
(2)设均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
专题12 一元函数的导数新定义题（含新定义解答题）
1．（2024高三上·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【优尖升-分析】
利用给定的定义分别求出的值，即可得解.
【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得，
则由拉格朗日中值定理得，，即，而，
则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此，
设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得，
由拉格朗日中值定理得，，即，
令函数，函数在上单调递增，，
则函数在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解，
因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，
所以.
故选：B
2．（23-24高三上·湖南益阳·阶段练习）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】C
【优尖升-分析】根据曲率的定义求解即可.
【详解】因为，
所以，所以，
所以曲线在处的曲率.
故选：C.
3．（2023·陕西咸阳·模拟预测）英国数学家布鲁克·泰勒（Brk Taylr，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）
A．0.50B．C．D．0.56
【答案】B
【优尖升-分析】先化简，根据题意得到的泰勒展开式，求得的值，即可求解.
【详解】由三角恒等变换的公式，化简得，
又由，
可得，所以.
故选：B.
4．（23-24高三上·福建·阶段练习）艾萨克牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列．设，已知，的前n项和为，则等于（ ）
A．2022B．2023C．D．
【答案】D
【优尖升-分析】先由函数有两个零点求得和的解析式，进而求得数列的递推公式，从而得到数列的前n项和，即可求得的值．
【详解】有两个零点1，2，
则，解之得，
则，则
则
则
由，可得，
故，又，则数列是首项为1公比为2的等比数列，
则通项公式，前n项和，则，
故选：D．
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为（ ）
A．1B．eC．D．
【答案】C
【优尖升-分析】求出函数的导数，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，列方程求解即可.
【详解】由可得，
令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
解得.
故选：C
6．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件．（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值” ．
【答案】
【优尖升-分析】根据拉格朗日中值满足求解即可.
【详解】由题意，，故，即，
故，又，故.
故答案为：
7．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则 ， .
【答案】
【优尖升-分析】对函数求导，结合已知得，进而求得，根据等比数列定义及前项和求、，最后求即可.
【详解】因为，则，
则，
又，所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，则，
所以，，即，
因为，即，解得.
故答案为：；.
8．（23-24高二下·上海黄浦·阶段练习）在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为 （结果用分数表示）.
【答案】/
【优尖升-分析】非常接近，求出在处的切线方程，在附近用代替计算可得．
【详解】函数的导数为，所以，函数在点处的切线，所以在附近可以用代替，即，
又非常接近，.
故答案为：.
9．（2023高三·全国·专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
【答案】
【优尖升-分析】第一空，理解消楚“迭代”的含义，实际上是一个递推数列，反复代入给定的表达式，计算即可；第二空，根据二分法依次取区间中点值计算即可.
【详解】已知，则．
迭代1次后，；
选代2次后，；
用二分法计算第1次，区间的中点为，，，所以近似解在区间上；
用二分法计算第2次，区间的中点为，，，所以近似解在区间上，取其中点值，
故所求近似解为．
故答案为：，
10．（23-24高三下·云南·阶段练习）牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如图6所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r.于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解.
已知函数，.
(1)试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【优尖升-分析】（1）根据导数的几何意义及牛顿迭代法可得结果；
（2）根据已知通过分离变量，构造函数，利用导数得出的最小值，由（1）的结论可得结果.
【详解】（1）解： 因为，则，
，曲线在处的切线为，且，
，曲线在处的切线为，且，
故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为.
（2）将整理得到：，
令，，
因为，令，即，得或，
令，即，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以的极小值为，
因此有且仅有一个零点，所以有且仅有一个极小值点，即，
所以有，
方法一：由（1）有，则.
方法二：.
，
所以，能取到的最大整数值为.
【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数的性质，得出最值.
11．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．
(3)证明：当时，有．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【优尖升-分析】（1）根据给定条件，构造函数，利用导数结合罗尔定理推导即得.
（2）求出函数的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得.
（3）构造函数，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得.
【详解】（1）令，则，
令函数，则，
显然在上连续，且在上可导，由罗尔定理，存在，使得，
即，所以.
（2）依题意，，
不妨令，则恒成立，
由（1）得，于是，即，
因此，令，
求导得，函数在上单调递增，则，
而函数在上单调递增，其值域为，
则，所以实数的取值范围是.
（3）令函数，显然函数在上可导，
由（1），存在，使得，
又，则，
因此，而，则，即，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.
12．（23-24高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）求出，，，，依题意可得，，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）知，即证，令，即证时，记，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
（3）分析可得，即或，先考虑，该不等式等价于，结合（2）的结论即可，再考虑，该不等式等价于，利用导数证明，，即可得到，，再分类讨论即可判断.
【详解】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，
即证时，
记，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立.
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或，
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，
再考虑，该不等式等价于，
记，，
则，所以当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，，
所以，，
当时由，可知成立，
当时由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范围是，
综上可得不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定或，分别求、对应解集，进一步转化为求、的解集，构造中间函数研究不等式成立的x取值.
13．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率（其中表示函数在点M处的导数，表示导函数在点M处的导数）．在曲线上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D,使得，则称以D为圆心，以为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)求出曲线在点处的曲率，并在曲线的图象上找一个点E，使曲线在点E处的曲率与曲线在点处的曲率相同；
(2)若要在曲线上支凹侧放置圆使其能在处与曲线相切且半径最大，求圆的方程；
(3)在（2）的条件下，在圆上任取一点P，曲线上任取关于原点对称的两点A，B，求的最大值．
【答案】(1)，（答案不唯一，事实上亦可）
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）直接用定义计算曲率，然后构造并验证即可；
（2）设圆的方程为，然后与联立，讨论使方程组具有唯一解的最大的即可；
（3）首先用向量计算证明，然后分别考虑的长度即可.
【详解】（1）曲线在点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率为.
考虑曲线上的点，曲线在该点附近满足，进一步有，，故其曲率.
在处，，所以曲线在点处的曲率亦为.
（2）设的方程为，，由条件知，由和组成的方程组只有一个解.
将其联立，得到，即，即.
若，则原方程组还有另一个解，矛盾.
而时，我们有，从而，，故，这表明原方程组只有一个解.
所以所求的半径最大的圆的方程为.
（3）首先有.
设，则我们又有，，故.
当，时，.
所以的最大值是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于第3小问中，需要将转化为两个线段的模长平方之差，然后各自考虑各自的取值范围，再合在一起讨论整体的最大值.
14．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，
已知函数.
(1)求函数在处的阶帕德近似，并求的近似数精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证：；
②若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)① 证明见解析；②
【优尖升-分析】（1）先写出阶帕德近似，然后求导得到，，令得，所以，求导得到求解即可；
（2）令，，求导得到判断在及上均单调递减，按照和分类讨论求解即可；
由已知令，且，所以是的极大值点，求导得到，故，，得到之后写出，然后求导判断单调性证明即可.
【详解】（1）由题可知函数在处的阶帕德近似，
则，，，
由得，所以，
则，又由得，所以，
由得，所以，
所以.
（2）①令，，
因为，
所以在及上均单调递减.
当，，即，
而，所以，即，
当，，即，
而，所以，即，
所以不等式恒成立；
②由得在上恒成立，
令，且，所以是的极大值点，
又，故，则，
当时，，所以，
当时，，，则，故在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
令，因为，所以在上单调递减，
所以，又因为在上，
故当时，，
综上，当时，恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
15．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.
(1)求证：函数是单峰函数；
(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.
（i）求证：；
（ii）求证：.
注：.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【优尖升-分析】（1）根据单峰函数的定义，求导确定得单调性即可；
（2）（i）令，则，令，根据为函数的最优点，为函数的最优点，可确定导函数的零点，根据导函数的零点验证结论即可；（ii）根据“合规近似值”的定义，结合函数单调性与不等式的性质证明结论即可.
【详解】（1）因为，令，则.，
因为，则，则在上单调递减，
又因为，
由零点存在定理知，存在唯一的，使得，且
时，，，
所以在上递增，上递减，所以为单峰函数.
（2）（i）令，则，令，
因为为在上的最优点，所以为在的最优点，，
所以，结合最优点的定义知，为在区间上的唯一零点.
又由（1）知，在递增，递减，且.
所以由零点存在性定理知在区间存在唯一的，使得，
即，所以.
（ii）第一次操作：取，由对称性不妨去掉区间，
则存优区间为，为好点；
第二次操作：为一个试验点，为了保证对称性，
另一个试验点与关于区间的中心对称，所以；
又因为前两次操作，每次操作后剩下的存优区间长度与操作前的比值为.
若，即，则（舍去）；
若，即，则，即，解得或（舍）.
则操作5次后的精度为.
.
又，
所以.
所以，得证.
【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义问题，求解本题第二问得关键点在于对“单峰函数”、“优美存优区间常数”、“合规近似值”的理解，结合函数的单调性、绝对值不等式的进行结论的证明.考查学生的分析与计算，属于难题.
16．（2024·河北沧州·一模）对于函数，，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点；若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为和，即，．
(1)若，证明：集合中有且仅有一个元素；
(2)若，讨论集合的子集的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
答案见解析
【优尖升-分析】（1）令，求导，可得函数的单调性，进而可得函数有唯一零点，可得结论；
（2）由题意可知只需研究的不动点即可，令，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论的取值范围，判断的零点情况，即可判断的稳定点个数.，进而可得集合的子集的个数.
【详解】（1）令，求导得，
令，可得，
当，，当，，
所以，所以有唯一零点，
所以集合中有且仅有一个元素；
（2）当时，由函数，
可得导函数，所以在上单调递增，
由反函数的知识，稳定点在原函数与反函数的交点上，
即稳定点与的不动点等价，
故只需研究的不动点即可；
令，
则，则在上单调递减，
①当时，恒成立，即在上单调递增，
当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，
且，
故存在唯一的，使得，即有唯一解，
所以此时有唯一不动点；
②当时，即时，，
当趋向无穷大时，趋近于0，此时，
存在唯一，使得，
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．
【答案】(1)不具有，理由见解析
(2)存在，
(3)3
【优尖升-分析】（1）根据题意，求得，结合新定义，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，进而得到，进而新定义，即可求解；
（3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解.
【详解】（1）解：令，则，
当时，；当时，，
所以当时，函数在区间上具有性质；
当时，函数在区间上不具有性质．
（2）解：因为，所以，
因为在处取得极值，且为奇函数，
所以在处也取得极值，则，解得，
所以，可得，
当时，令，解得；令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，满足在处取得极值，
所以，
当时，恒成立，
所以，存在实数，使得在区间上具有性质，且的取值范围是．
（3）解：因为，所以，即，
令，则，
令，则，
当时，在区间上单调递增，
又因为，
所以存在，使，
因为当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为，
由，有，
所以，
因为，所以，
又因为恒成立，所以，
因为且，所以的最大值为．
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．