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备战2025年高考数学压轴题训练专题15三角函数中新定义题(全题型压轴题)(学生版+解析)
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这是一份备战2025年高考数学压轴题训练专题15三角函数中新定义题(全题型压轴题)(学生版+解析)，共33页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14472" 一、选填（新定义题） PAGEREF _Tc14472 \h 1
\l "_Tc15949" 二、解答题（新定义题） PAGEREF _Tc15949 \h 2
一、选填（新定义题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期末）定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）．
A．0.5394B．0.8419C．0.8415D．0.5398
3．（多选）（23-24高一上·重庆·阶段练习）若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为 .
5．（23-24高一下·江西·阶段练习）定义：对于非常数函数，若，，，则称是“米函数”．已知函数是“米函数”，则ω的最小值为 ．
6．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：
①若点的横坐标为，则； ②的最大值是；
③的最小值是2； ④的最小值是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
二、解答题（新定义题）
1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数满足且，则称函数为“M函数”．
(1)试判断是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；
(3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
2．（23-24高一下·江西南昌·期末）对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)证明，上是上凸函数；
(3)若A、B、C、，且，求的最大值．
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.
(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；
(2)若为函数的“可消数对”，求的值；
(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.
8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量，，定义运算，同时定义.
(1)若，求实数的取值集合；
(2)已知，求；
(3)已知定义域为的函数满足为奇函数，为偶函数，且时，，是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
9．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
专题15 三角函数（含新定义解答题）
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14472" 一、选填（新定义题） PAGEREF _Tc14472 \h 1
\l "_Tc15949" 二、解答题（新定义题） PAGEREF _Tc15949 \h 7
一、选填（新定义题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期末）定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后对每个函数逐一求解即可.
【详解】因为，
所以点的横坐标相等，点在线段上，所以，
对于，由函数，得，，
直线方程为，
而在上的值域是，
，线性近似系数为．
对于，由函数可得，，方程为，
由三角函数图象与性质可知，线性近似系数为，
故所求为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于充分理解新定义，并得到，由此即可顺利得解.
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）．
A．0.5394B．0.8419C．0.8415D．0.5398
【答案】C
【优尖升-分析】本题先由已知结合诱导公式求出，再由已知条件给定的公式代入计算，同时作估算分析即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以
故选：C.
【点睛】关键点点睛：（1）利用诱导公式转化所求的值；（2）理解公式的含义，并在条件式中的运用，分析估算所求的函数值.
3．（多选）（23-24高一上·重庆·阶段练习）若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【优尖升-分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A，函数的定义域为，且，
所以，
由于，所以恒成立，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
取，，则，
则，
所以成立，故B正确；
对于C，假设具有性质，
则存在，使得，
则，即，
若同号，则，即，
所以，得，显然不成立；
若异号，则，即，
将上述方程看作关于的二次方程，解得，
此时满足，故C正确；
对于D，因为函数的定义域为，
又，故为奇函数，
取，则，所以，，
所以成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质的定义，结合函数的性质即可得解.
4．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为 .
【答案】
【优尖升-分析】解不等式，得集合，画出的图象，根据图象得到g(x)<0的部分，求出x∈Z且在定义域内的x之和即可求解.
【详解】因为,，，
所以由，
可得，解得，即，
如图为的图象，
由的周期性，所以只需讨论一个周期内的情况即可，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以，即在一个周期内的部分，
由图得时，，
，，
所以且在定义域内的为，
所以数的所有“子母数”之和为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，根据图象得到的部分，求出且在定义域内的之和.
5．（23-24高一下·江西·阶段练习）定义：对于非常数函数，若，，，则称是“米函数”．已知函数是“米函数”，则ω的最小值为 ．
【答案】
【优尖升-分析】由函数新定义可得，即（令），结合三角函数的性质分类讨论、、、不符合题意，故或.再结合三角函数的性质分类讨论、的情况，求出对应的即可.
【详解】由题意知，，使得，
又，
所以，
令，则.
若，取，则，所以，与矛盾；
若，取，则，所以，与矛盾；
若，取，则，所以，与矛盾；
若，取，则，所以，与矛盾；
综上，或.
当时，，即，
得，解得，又，
所以；
当时，，即，
得，解得，又，
所以；
综上，的最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的性质.
6．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：
①若点的横坐标为，则； ②的最大值是；
③的最小值是2； ④的最小值是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【优尖升-分析】对于①,求出的坐标即可判定为正确；对于②，利用圆的参数方程和辅助角公式即可判定正确；对于③④，利用绝对值放缩和绝对值不等式即可判定③错④对.
【详解】对于①，由题得出的纵坐标为，所以，故①正确；
对于②，设，，则，结合对称性，取 分析即可，
此时，显然当时，取最大值，故②正确；
对于③，设，则，
当的时候等号成立，所以的最小值是，故③错误；
对于④，设，，，则
，其中，
所以当时，取最小值，此时，故④正确；
故答案为：①②④.
二、解答题（新定义题）
1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数满足且，则称函数为“M函数”．
(1)试判断是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；
(3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
【答案】(1)不是“M函数”，理由见解析
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）由“函数”的定义，即可判断；
（2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解；
（3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和.
【详解】（1）的周期为，满足，
，，
，所以函数不是“函数”；
（2）若为“M函数”， 满足且，
所以函数的周期为，且函数关于对称，
根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象，
设，，
所以，
根据周期可知，的图象，如上图所示，
线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离，
即，
所以的最小值为.
（3）设，则
所以，
设，则，
，
设，则，
，
所以；
所以
作出函数的图象，如图所示，
关于的方程（为常数）有解等价于函数与的图象有交点，
由图可知，当时，方程（为常数）有3个解，
则方程所有的解的和为,
当或时，方程（为常数）有4个解，其方程所有解的和,
当时，方程（为常数）有6个解，其方程所有解的和，
当时，方程（为常数）有8个解，其方程所有解的和
综上所述，当，关于的方程（为常数）所有解的和为，
则.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“函数”的定义，确定函数的周期和对称性，利用周期性和对称性求函数的解析式，以及画出函数的图象.
2．（23-24高一下·江西南昌·期末）对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)存在“1向量”， “1向量”为，
(3)
【优尖升-分析】（1）根据“向量”的定义，即可由模长公式求解；
（2）利用三角函数的周期性可得，即可由定义求解，
（3）由定义，结合模长公式可得，设，由条件列式，变形为，结合三角函数的性子，转化为求的最小值．
【详解】（1）由可得，
故，，
由于是的“向量”，所以即，
解得或，
（2）由于均为周期函数，且周期为，而
故，
若存在“1向量”，则存在，使得
故，
即，
故，故,
解得，即或
故存在“1向量”?若存在，“1向量”为
故，
（3）由于均为的“向量”，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，得，
设,，则依题意得：，
得
故，
同理，
故，
所以，
，
故，
故，
【点睛】关键点点睛：（1）（2）问充分利用定义，结合向量的坐标运算，模长公式，以及三角函数的周期性求解,（3）问，利用点关于点的对称，得到坐标间的关系，利用递推得是解题关键.
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)证明，上是上凸函数；
(3)若A、B、C、，且，求的最大值．
【答案】(1)下凸函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）作差，化简即可证明；
（2）任意取，作差，再分析其符号即可；
（3）根据（2）中结论得，代入计算即可得到答案.
【详解】（1）下凸函数，理由如下：任意取，
因为
即，当且仅当时等号成立，
故是下凸函数.
（2）任意取，不妨设，
，
由于，根据在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，即函数是上凸函数.
（3）当，且，
由（2）知是上凸函数，
所以，
故
所以当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得，再分析其正负即可.
4．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Cversed或cversedsine），记作．
(1)设函数，求函数的单调递减区间；
(2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则：
①求实数的取值范围；
②求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【优尖升-分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围；②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为
，
令，解得，
所以的单调递减区间为.
（2）①因为
，
又，所以当时，当时，
所以，
当时，且在上单调递增，在上单调递减，
当时，则，则在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
且，，，，的图象如下所示：
因为有三个实数根，即与有三个交点，所以；
②由①可知，，则，
所以，，
所以
，
令，则，
所以，
因为在上单调递增，当时，
当时，
即，所以，
所以，所以，
即.
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键.
5．（23-24高一下·安徽合肥·期末）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【优尖升-分析】（1）由得到，故不恒成立，从而得到证明；
（2）恒成立，从而，根据得到，得到答案；
（3）写出时分段函数表达式，结合函数奇偶性画出函数图象，数形结合只需对任意的恒成立，故即可，得到答案.
【详解】（1）证明：任取正常数T，存在，即，
∵，即不恒成立，
∴不是“T同比不减函数”.
（2）∵函数是“同比不减函数”，
∴恒成立，
即恒成立，
，
故，
因为，，所以，
∴，
∴k的取值范围为.
（3）当时，，
当，，
当，，
当，
由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示：
根据图象易得：要使对任意的x恒成立，
只需，对任意的恒成立，
∴即可，
∴.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）根据二阶行列式计算公式直接计算即可；
（2）根据二阶行列式计算公式得到，求出解集；
（3）根据二阶行列式计算公式，令，则，求出，分，和三种情况，得到答案.
【详解】（1）；
（2），
故，故，
解得，
不等式的解集为；
（3），
令，则，
其中，
因为，所以，，
故，
当时，无解，不合要求，
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，所以或，
m的取值范围为.
7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.
(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；
(2)若为函数的“可消数对”，求的值；
(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可.
（2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出
（3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果.
【详解】（1）因为函数是“可消函数”,
所以,对,使得,
整理得,
当时,;当时,,解得.
经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为.
（2）因为为函数的“可消数对”,
所以为函数的“可消数对”,
所以,对,都有,整理得,
所以,所以.
（3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”,
所以,
化简可得,
因为
则,
所以,
故的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键.
8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量，，定义运算，同时定义.
(1)若，求实数的取值集合；
(2)已知，求；
(3)已知定义域为的函数满足为奇函数，为偶函数，且时，，是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在实数，理由见解析
【优尖升-分析】（1）根据新定义结合三角函数的性质运算即可；
（2）根据新定义及同角三角函数的基本关系求解；
（3）根据新定义运算化简后，分别分析抽象函数的奇偶性得出周期，再由三角函数的最大值，分析最大值不能同时取得即可得解.
【详解】（1），
所以，即，解得，，
所以实数的取值集合为.
（2），
所以
.
（3）不存在实数，使得.
因为，
所以
，
若，只需，
因为为奇函数，所以，即，
又因为为偶函数，所以，即，
所以，即，所以，
所以是周期为10的周期函数，
任取，则，由时，，及，
得时，，所以时，.
任取，则，，
故时，，
则当或5或10时，取最大值，
又，故时，取最大值；
对于函数，
当时，取最小值，当时，取最大值6，
故的最大值为6，此时，，，
即，虽然，但是与不能同时成立，
故不存在实数，使.
【点睛】关键点点睛：对于（3），根据新定义化简后可转化为是否有解，解决的关键之一在于对抽象函数性质的研究，通过所给条件得出函数周期为10是解题的关键，其次利用配方法得出的最大值为6，再推出对应的自变量也是解题的关键.
9．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)，；
(3)
【优尖升-分析】（1）根据“函数”定义列式计算即可判断.
（2）根据函数新定义求得函数的周期和对称轴，然后利用周期性求得函数解析式并判定单调递增区间.
（3）作出函数在上的图象，分类讨论结合函数的对称性求解即可.
【详解】（1）不是为“函数”，理由如下：
因为
所以，
因此，函数不是“函数”.
（2）函数满足，令得
，
即，所以函数为周期函数，且最小正周期为，
因为，则的一个对称轴为.
①当时，，
则；
②当，则，
则，
所以，.
【点睛】方法点睛：与三角函数的新定义有关问题的求解策略：
①通过给出一个新的三角函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
【答案】(1)不是，与是“自均值函数”
(2)不是，理由见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）根据所给定义判断即可；
（2）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（3）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【详解】（1）对于函数定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
则，即，
因为，，不符合题意，所以，不是“自均值函数”；
对于函数定义域，
令，则对任意都存在满足，
所以是“自均值函数”；
对于函数定义域，
令，则对任意都存在满足，
所以是“自均值函数”；
（2）函数，定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
又函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
（3）存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
则在值域包含，
当时又，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，单调递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14472" 一、选填（新定义题） PAGEREF _Tc14472 \h 1
\l "_Tc15949" 二、解答题（新定义题） PAGEREF _Tc15949 \h 2
一、选填（新定义题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期末）定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）．
A．0.5394B．0.8419C．0.8415D．0.5398
3．（多选）（23-24高一上·重庆·阶段练习）若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为 .
5．（23-24高一下·江西·阶段练习）定义：对于非常数函数，若，，，则称是“米函数”．已知函数是“米函数”，则ω的最小值为 ．
6．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：
①若点的横坐标为，则； ②的最大值是；
③的最小值是2； ④的最小值是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
二、解答题（新定义题）
1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数满足且，则称函数为“M函数”．
(1)试判断是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；
(3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
2．（23-24高一下·江西南昌·期末）对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)证明，上是上凸函数；
(3)若A、B、C、，且，求的最大值．
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.
(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；
(2)若为函数的“可消数对”，求的值；
(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.
8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量，，定义运算，同时定义.
(1)若，求实数的取值集合；
(2)已知，求；
(3)已知定义域为的函数满足为奇函数，为偶函数，且时，，是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
9．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
专题15 三角函数（含新定义解答题）
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc14472" 一、选填（新定义题） PAGEREF _Tc14472 \h 1
\l "_Tc15949" 二、解答题（新定义题） PAGEREF _Tc15949 \h 7
一、选填（新定义题）
1．（23-24高一下·安徽黄山·期末）定义域在的函数图象的两个端点为、，向量，设是图象上任意一点，其中，，若不等式恒成立，则称函数是定义在上的“级线性近似函数”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似系数，现给出下列两个定义在上的函数：（1）；（2）则这两个函数的线性近似系数的和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【优尖升-分析】由题意可得点的横坐标相等，点在线段上，然后可得，然后对每个函数逐一求解即可.
【详解】因为，
所以点的横坐标相等，点在线段上，所以，
对于，由函数，得，，
直线方程为，
而在上的值域是，
，线性近似系数为．
对于，由函数可得，，方程为，
由三角函数图象与性质可知，线性近似系数为，
故所求为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键在于充分理解新定义，并得到，由此即可顺利得解.
2．（23-24高一下·四川达州·期末）已知，其中．若函数，，，结果精确到小数点后4位，则（ ）．
A．0.5394B．0.8419C．0.8415D．0.5398
【答案】C
【优尖升-分析】本题先由已知结合诱导公式求出，再由已知条件给定的公式代入计算，同时作估算分析即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又因为，
所以
故选：C.
【点睛】关键点点睛：（1）利用诱导公式转化所求的值；（2）理解公式的含义，并在条件式中的运用，分析估算所求的函数值.
3．（多选）（23-24高一上·重庆·阶段练习）若存在两个不相等的实数、，使、、均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【优尖升-分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A，函数的定义域为，且，
所以，
由于，所以恒成立，故A错误；
对于B，因为函数的定义域为，
取，，则，
则，
所以成立，故B正确；
对于C，假设具有性质，
则存在，使得，
则，即，
若同号，则，即，
所以，得，显然不成立；
若异号，则，即，
将上述方程看作关于的二次方程，解得，
此时满足，故C正确；
对于D，因为函数的定义域为，
又，故为奇函数，
取，则，所以，，
所以成立，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解性质的定义，结合函数的性质即可得解.
4．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，若存在整数，，且，则为函数的“子母数”.已知集合，函数，（表示不超过的最大整数，例如），当时，函数的所有“子母数”之和为 .
【答案】
【优尖升-分析】解不等式，得集合，画出的图象，根据图象得到g(x)<0的部分，求出x∈Z且在定义域内的x之和即可求解.
【详解】因为,，，
所以由，
可得，解得，即，
如图为的图象，
由的周期性，所以只需讨论一个周期内的情况即可，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
所以，即在一个周期内的部分，
由图得时，，
，，
所以且在定义域内的为，
所以数的所有“子母数”之和为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出的图象，根据图象得到的部分，求出且在定义域内的之和.
5．（23-24高一下·江西·阶段练习）定义：对于非常数函数，若，，，则称是“米函数”．已知函数是“米函数”，则ω的最小值为 ．
【答案】
【优尖升-分析】由函数新定义可得，即（令），结合三角函数的性质分类讨论、、、不符合题意，故或.再结合三角函数的性质分类讨论、的情况，求出对应的即可.
【详解】由题意知，，使得，
又，
所以，
令，则.
若，取，则，所以，与矛盾；
若，取，则，所以，与矛盾；
若，取，则，所以，与矛盾；
若，取，则，所以，与矛盾；
综上，或.
当时，，即，
得，解得，又，
所以；
当时，，即，
得，解得，又，
所以；
综上，的最小值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是三角函数的性质.
6．（23-24高二上·北京·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在圆上，点在直线上．在这个定义下，给出下列结论：
①若点的横坐标为，则； ②的最大值是；
③的最小值是2； ④的最小值是．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【优尖升-分析】对于①,求出的坐标即可判定为正确；对于②，利用圆的参数方程和辅助角公式即可判定正确；对于③④，利用绝对值放缩和绝对值不等式即可判定③错④对.
【详解】对于①，由题得出的纵坐标为，所以，故①正确；
对于②，设，，则，结合对称性，取 分析即可，
此时，显然当时，取最大值，故②正确；
对于③，设，则，
当的时候等号成立，所以的最小值是，故③错误；
对于④，设，，，则
，其中，
所以当时，取最小值，此时，故④正确；
故答案为：①②④.
二、解答题（新定义题）
1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数满足且，则称函数为“M函数”．
(1)试判断是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；
(3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
【答案】(1)不是“M函数”，理由见解析
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）由“函数”的定义，即可判断；
（2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解；
（3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和.
【详解】（1）的周期为，满足，
，，
，所以函数不是“函数”；
（2）若为“M函数”， 满足且，
所以函数的周期为，且函数关于对称，
根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象，
设，，
所以，
根据周期可知，的图象，如上图所示，
线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离，
即，
所以的最小值为.
（3）设，则
所以，
设，则，
，
设，则，
，
所以；
所以
作出函数的图象，如图所示，
关于的方程（为常数）有解等价于函数与的图象有交点，
由图可知，当时，方程（为常数）有3个解，
则方程所有的解的和为,
当或时，方程（为常数）有4个解，其方程所有解的和,
当时，方程（为常数）有6个解，其方程所有解的和，
当时，方程（为常数）有8个解，其方程所有解的和
综上所述，当，关于的方程（为常数）所有解的和为，
则.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“函数”的定义，确定函数的周期和对称性，利用周期性和对称性求函数的解析式，以及画出函数的图象.
2．（23-24高一下·江西南昌·期末）对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
(1)设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
(2)若，则是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
(3)已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)存在“1向量”， “1向量”为，
(3)
【优尖升-分析】（1）根据“向量”的定义，即可由模长公式求解；
（2）利用三角函数的周期性可得，即可由定义求解，
（3）由定义，结合模长公式可得，设，由条件列式，变形为，结合三角函数的性子，转化为求的最小值．
【详解】（1）由可得，
故，，
由于是的“向量”，所以即，
解得或，
（2）由于均为周期函数，且周期为，而
故，
若存在“1向量”，则存在，使得
故，
即，
故，故,
解得，即或
故存在“1向量”?若存在，“1向量”为
故，
（3）由于均为的“向量”，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，得，
设,，则依题意得：，
得
故，
同理，
故，
所以，
，
故，
故，
【点睛】关键点点睛：（1）（2）问充分利用定义，结合向量的坐标运算，模长公式，以及三角函数的周期性求解,（3）问，利用点关于点的对称，得到坐标间的关系，利用递推得是解题关键.
3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）；
(2)证明，上是上凸函数；
(3)若A、B、C、，且，求的最大值．
【答案】(1)下凸函数，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）作差，化简即可证明；
（2）任意取，作差，再分析其符号即可；
（3）根据（2）中结论得，代入计算即可得到答案.
【详解】（1）下凸函数，理由如下：任意取，
因为
即，当且仅当时等号成立，
故是下凸函数.
（2）任意取，不妨设，
，
由于，根据在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以，即函数是上凸函数.
（3）当，且，
由（2）知是上凸函数，
所以，
故
所以当且仅当时等号成立，
即的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得，再分析其正负即可.
4．（23-24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Cversed或cversedsine），记作．
(1)设函数，求函数的单调递减区间；
(2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则：
①求实数的取值范围；
②求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【优尖升-分析】（1）根据题干所给条件化简的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）①首先化简的解析式，即可分析的单调性，画出函数图象，数形结合即可求出的取值范围；②由可知，，再结合所给定义将转化为的式子，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为
，
令，解得，
所以的单调递减区间为.
（2）①因为
，
又，所以当时，当时，
所以，
当时，且在上单调递增，在上单调递减，
当时，则，则在上单调递减，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
且，，，，的图象如下所示：
因为有三个实数根，即与有三个交点，所以；
②由①可知，，则，
所以，，
所以
，
令，则，
所以，
因为在上单调递增，当时，
当时，
即，所以，
所以，所以，
即.
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键.
5．（23-24高一下·安徽合肥·期末）对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”.
(1)求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
(2)若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
(3)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.是否存在正常数，使得对于任意的，函数都为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【优尖升-分析】（1）由得到，故不恒成立，从而得到证明；
（2）恒成立，从而，根据得到，得到答案；
（3）写出时分段函数表达式，结合函数奇偶性画出函数图象，数形结合只需对任意的恒成立，故即可，得到答案.
【详解】（1）证明：任取正常数T，存在，即，
∵，即不恒成立，
∴不是“T同比不减函数”.
（2）∵函数是“同比不减函数”，
∴恒成立，
即恒成立，
，
故，
因为，，所以，
∴，
∴k的取值范围为.
（3）当时，，
当，，
当，，
当，
由题知为奇函数，关于原点对称，如图所示：
根据图象易得：要使对任意的x恒成立，
只需，对任意的恒成立，
∴即可，
∴.
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
6．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为．
(1)求二阶行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范围．
【答案】(1)7
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）根据二阶行列式计算公式直接计算即可；
（2）根据二阶行列式计算公式得到，求出解集；
（3）根据二阶行列式计算公式，令，则，求出，分，和三种情况，得到答案.
【详解】（1）；
（2），
故，故，
解得，
不等式的解集为；
（3），
令，则，
其中，
因为，所以，，
故，
当时，无解，不合要求，
当时，，
其中在上单调递减，在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为2，故；
当时，，
其中在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为-2，故，
因为存在，使得，所以或，
m的取值范围为.
7．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”.
(1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”；
(2)若为函数的“可消数对”，求的值；
(3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【优尖升-分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可.
（2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出
（3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果.
【详解】（1）因为函数是“可消函数”,
所以,对,使得,
整理得,
当时,;当时,,解得.
经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为.
（2）因为为函数的“可消数对”,
所以为函数的“可消数对”,
所以,对,都有,整理得,
所以,所以.
（3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”,
所以,
化简可得,
因为
则,
所以,
故的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键.
8．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知向量，，定义运算，同时定义.
(1)若，求实数的取值集合；
(2)已知，求；
(3)已知定义域为的函数满足为奇函数，为偶函数，且时，，是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在实数，理由见解析
【优尖升-分析】（1）根据新定义结合三角函数的性质运算即可；
（2）根据新定义及同角三角函数的基本关系求解；
（3）根据新定义运算化简后，分别分析抽象函数的奇偶性得出周期，再由三角函数的最大值，分析最大值不能同时取得即可得解.
【详解】（1），
所以，即，解得，，
所以实数的取值集合为.
（2），
所以
.
（3）不存在实数，使得.
因为，
所以
，
若，只需，
因为为奇函数，所以，即，
又因为为偶函数，所以，即，
所以，即，所以，
所以是周期为10的周期函数，
任取，则，由时，，及，
得时，，所以时，.
任取，则，，
故时，，
则当或5或10时，取最大值，
又，故时，取最大值；
对于函数，
当时，取最小值，当时，取最大值6，
故的最大值为6，此时，，，
即，虽然，但是与不能同时成立，
故不存在实数，使.
【点睛】关键点点睛：对于（3），根据新定义化简后可转化为是否有解，解决的关键之一在于对抽象函数性质的研究，通过所给条件得出函数周期为10是解题的关键，其次利用配方法得出的最大值为6，再推出对应的自变量也是解题的关键.
9．（23-24高一下·辽宁大连·阶段练习）若函数满足且，则称函数为“函数”.
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；
(3)在（2）的条件下，当时，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求.
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)，；
(3)
【优尖升-分析】（1）根据“函数”定义列式计算即可判断.
（2）根据函数新定义求得函数的周期和对称轴，然后利用周期性求得函数解析式并判定单调递增区间.
（3）作出函数在上的图象，分类讨论结合函数的对称性求解即可.
【详解】（1）不是为“函数”，理由如下：
因为
所以，
因此，函数不是“函数”.
（2）函数满足，令得
，
即，所以函数为周期函数，且最小正周期为，
因为，则的一个对称轴为.
①当时，，
则；
②当，则，
则，
所以，.
【点睛】方法点睛：与三角函数的新定义有关问题的求解策略：
①通过给出一个新的三角函数的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.
10．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围．
【答案】(1)不是，与是“自均值函数”
(2)不是，理由见解析
(3)
【优尖升-分析】（1）根据所给定义判断即可；
（2）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案.
（3）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案.
【详解】（1）对于函数定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
则，即，
因为，，不符合题意，所以，不是“自均值函数”；
对于函数定义域，
令，则对任意都存在满足，
所以是“自均值函数”；
对于函数定义域，
令，则对任意都存在满足，
所以是“自均值函数”；
（2）函数，定义域，若是“自均值函数”，
则存在实数，使得对于任意都存在满足，
即，即，
又函数的值域为，的值域为，不满足条件，
故函数不是为“自均值函数”.
（3）存在，对于，存在，有，
即，
当时，的值域是，
则在值域包含，
当时又，则，
若，则，，
此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意，
于是得，，
要使在的值域包含，
则在的最小值小于等于，
又时，单调递减且，而有，解得，
此时取，的值域是，
而，，故在的值域包含，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握.
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