备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题03用导数研究函数的极值(学生版+解析)

这是一份备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题03用导数研究函数的极值(学生版+解析)，共46页。试卷主要包含了函数的极值与导数的关系，求函数f极值的步骤，对极值理解等内容，欢迎下载使用。

函数与导数一直是高考中的热点与难点, 研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题的求解.
(一) 求函数的极值
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
3.对极值理解：
(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值；
(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值的大小没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大；
(4)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数可知,x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；
(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．
【例1】(2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟三) 已知函数（）.
(1)求函数的极值；
(2)若集合有且只有一个元素，求的值.
【解析】（1）由，
因为，所以的定义域为，则，
因为时，；时，.
所以的单调递增区间为；单调递减区间为，
所以是的极大值点，的极大值是，无极小值.
（2）由（1）可得，
要使得集合有且只有一个元素，则只需要
设，则，
因为时，；时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为.
所以，所以关于的方程有解时，
只能是，所以集合有且只有一个元素时.
(二)函数极值点的个数问题
可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点处是不可导的.
【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期考试）已知函数.
(1)当时,求的单调区间；
(2)求证：当时,函数有三个不同的极值点.
【解析】（1）当时,,
,
所以在区间单调递增,
在区间单调递减.
所以的增区间为；减区间为.
（2）依题意,
,
对于函数,,
所以有两个零点,设为,则,
不妨设,所以在区间单调递减；
在区间单调递增,
所以有三个不同的极值点.
(三)由函数极值点个数确定参数范围
此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解.
【例3】（2024届山西省晋中市高三下学期5月适应训练）已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，知.
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，有，
从而对和有，对有.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由于，故.
记，则.从而对有，对有.
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，对均有，所以不可能有两个零点，从而不可能有两个极值点；
当时，由，，，结合零点存在定理可知存在两个零点，.
再结合的单调性知在时取正值，在时取负值，所以有极大值点和极小值点.
综上，的取值范围是.
(四)含参数的函数极值的讨论
求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论.
【例4】（2024届河宁夏银川一中、昆明一中高三下学期二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的极值.
【解析】（1），
当时，，，又，
故曲线在处的切线方程为，即.
（2），解得，，
①若，可得或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
所以的极小值为，的极大值为.
②若，则，所以函数在R上单调递减，无极值；
③若，当或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
所以的极小值为，的极大值为.
综上，当时，的极小值为，的极大值为. 当时，函数无极值.当时，的极小值为，的极大值为
(五)由极值点满足条件求解不等式问题
此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.
【例5】（2024届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数.
(1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值；
(2)若函数有两个极值点且，求的取值范围.
【解析】（1）解：当时，，可得，
令，可得，又由，所以切点在直线上，则，
因为，所以，令，则，
在直线方程中，令，可得，
又因为点在曲线上，所以.
（2）解：函数，可得，
由函数有两个极值点，所以有两个不等正根，则，
由
，
可得，
令，，
所以在区间上单调递增，
因为，
所以由，可得，
令函数，可得，
所以在上单调递减，可得，
又因为，所以的取值范围是.
【例6】（2024届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数,.
(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点,求实数a的值；
(2)设,若有两个极值点为,,且不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,
由,得,则,
因为经过点的直线与函数的图像相切于点,
所以,所以,解得,
（2）,则,
因为有两个极值点为,,
所以在上有两个不同的根,
此时方程在上有两个不同的根,
则,且,解得,
若不等式恒成立,则恒成立,
因为
不妨设,
则,因为,所以,
所以在上递减,所以,所以,
即实数的取值范围为.
【例1】（2024届山东省泰安肥城市高考仿真模拟）已知函数，.
(1)求函数单调区间；
(2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，函数定义域为，
导数
时，恒成立时，当；当
时，当；当
综上可知：时为常函数，无单调区间
时，单调增区间为：，单调减区间为：
时，单调增区间为：，单调减区间为：.
（2）因为，所以，
因为在上有两个极值点，则，即在上有两个根，
令，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
又因为时 ，，，
所以在上有2个极值点需满足.
综上所述，当时，函数在上有两个极值点.
【例2】（2024届山东省智慧上进高三下学期5月大联考）已知函数，其中．
(1)当时，判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时，．
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值为，
当时，当时，
若存在两个极值点，则有两个不相等的实数根，
所以，解得，又，所以，
且当时，即，则单调递增，
当时，即，则单调递减，
当时，即，则单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
因为，所以，
要证，即证，又，
只需证，即证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即成立，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
且当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以.
【例3】（2025届云南省三校高三联考）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围.
【解析】（1）证明：令，
则，令
则恒成立，则在上单调递减，
则，所以在上单调递减，
则，即；
同理，令，则，
则在上单调递减，
则，即，
故当时，.
（2）解：由题，令，
则，
又，则
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，则，
则在上单调递增，与是的极大值点矛盾，舍去.
②若，即或时，
易知存在，使得时，，在上单调递减，又，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
满足是的极大值点，符合题意.
③若，即时，由为偶函数，不妨只考虑的情形，
此时，，
在上单调递增，这与是的极大值点矛盾，舍去.
综上所述，的取值范围为.
【例4】（2024届浙江省绍兴市柯桥区三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【解析】（1）函数与具有性质，理由如下：
，令，则，故单调递减，
又，，故存在，使，
则在上单调递增，在上单调递减，
故有且仅有一个极值点，
，则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故有且仅有一个极值点，
故函数与具有性质；
（2）（i）， 又，故，
当时，，此时没有极值点，故舍去，
当时， 令，则恒成立，
故在上单调递增，，，故，
由，令，则恒成立，
故在上单调递减，
当时，有，又时，，
故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增，
则有唯一极值点，
有，又时，，
故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减，
则有唯一极值点，
即有，，
即，，此时需满足，则，
故有，即，即，故符合要求；
当时，，又时，，
故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增，
则有唯一极值点，
有，又时，，
故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减，
则有唯一极值点，
同理可得，此时需满足，即，则，
由，，故该不等式成立，故符合要求；
当时，有，，
此时，即、的极值点都为，不符合要求，故舍去；
综上，故；
（ii）当时，有，则，故，
在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，则，令，
则，故在上单调递增，
则，
故，要证，只需证，
4．（2024届四川省百师联盟2024届高三联考）已知函数（，）在点处的切线方程为．
(1)求函数的极值；
(2)设（），若恒成立，求的取值范围．
5．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数.
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）若为的极小值点，求a的取值范围.
6．（2024届河北省名校联盟高考三模）已知函数．
(1)当时，证明：．
(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．
7．（2024届四川省攀枝花市高考数学三模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)设函数的导函数为，若（），证明：．
8．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研测试）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)函数．
①讨论函数的单调性；
②函数，求实数的取值范围．
9．（2024届江苏省南通市模拟预测）设，函数．
(1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程：
(2)是函数的两个极值点，证明：为定值．
10．（2024届广西贵港市高考模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
11．（2024届江苏省苏州大学高三下学期高考考前指导卷）已知函数在区间内有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围.
12．（2024届北京市顺义区第一中学高三下学期考前适应性检测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)求函数的零点个数.
13．（2024届河北省雄安新区部分高中高考三模）已知函数．
(1)若是的一个极值点，求的值；
(2)若有两个极值点，，其中，求的取值范围．
14．（2024届天津市民族中学高三下学期4月模拟）已知函数．
(1)当时，试求函数图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点、；
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）不等式恒成立，试求实数m的取值范围．
15．（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性考试）（1）证明：当时，；
（2）已知函数在上有两个极值点，求实数a的取值范围．
专题3 用导数研究函数的极值
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题的求解.
(一) 求函数的极值
1.函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.
2.求函数f(x)极值的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
3.对极值理解：
(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；
(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值；
(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值的大小没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大；
(4)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数可知,x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；
(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．
【例1】(2024届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟三) 已知函数（）.
(1)求函数的极值；
(2)若集合有且只有一个元素，求的值.
【解析】（1）由，
因为，所以的定义域为，则，
因为时，；时，.
所以的单调递增区间为；单调递减区间为，
所以是的极大值点，的极大值是，无极小值.
（2）由（1）可得，
要使得集合有且只有一个元素，则只需要
设，则，
因为时，；时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为.
所以，所以关于的方程有解时，
只能是，所以集合有且只有一个元素时.
(二)函数极值点的个数问题
可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点处是不可导的.
【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期考试）已知函数.
(1)当时,求的单调区间；
(2)求证：当时,函数有三个不同的极值点.
【解析】（1）当时,,
,
所以在区间单调递增,
在区间单调递减.
所以的增区间为；减区间为.
（2）依题意,
,
对于函数,,
所以有两个零点,设为,则,
不妨设,所以在区间单调递减；
在区间单调递增,
所以有三个不同的极值点.
(三)由函数极值点个数确定参数范围
此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解.
【例3】（2024届山西省晋中市高三下学期5月适应训练）已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，知.
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，有，
从而对和有，对有.
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由于，故.
记，则.从而对有，对有.
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，对均有，所以不可能有两个零点，从而不可能有两个极值点；
当时，由，，，结合零点存在定理可知存在两个零点，.
再结合的单调性知在时取正值，在时取负值，所以有极大值点和极小值点.
综上，的取值范围是.
(四)含参数的函数极值的讨论
求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论.
【例4】（2024届河宁夏银川一中、昆明一中高三下学期二模）已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的极值.
【解析】（1），
当时，，，又，
故曲线在处的切线方程为，即.
（2），解得，，
①若，可得或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
所以的极小值为，的极大值为.
②若，则，所以函数在R上单调递减，无极值；
③若，当或时，，当时，，
所以在，递减，递增，
所以的极小值为，的极大值为.
综上，当时，的极小值为，的极大值为. 当时，函数无极值.当时，的极小值为，的极大值为
(五)由极值点满足条件求解不等式问题
此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.
【例5】（2024届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数.
(1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值；
(2)若函数有两个极值点且，求的取值范围.
【解析】（1）解：当时，，可得，
令，可得，又由，所以切点在直线上，则，
因为，所以，令，则，
在直线方程中，令，可得，
又因为点在曲线上，所以.
（2）解：函数，可得，
由函数有两个极值点，所以有两个不等正根，则，
由
，
可得，
令，，
所以在区间上单调递增，
因为，
所以由，可得，
令函数，可得，
所以在上单调递减，可得，
又因为，所以的取值范围是.
【例6】（2024届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数,.
(1)若经过点的直线与函数的图像相切于点,求实数a的值；
(2)设,若有两个极值点为,,且不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（1）的定义域为,
由,得,则,
因为经过点的直线与函数的图像相切于点,
所以,所以,解得,
（2）,则,
因为有两个极值点为,,
所以在上有两个不同的根,
此时方程在上有两个不同的根,
则,且,解得,
若不等式恒成立,则恒成立,
因为
不妨设,
则,因为,所以,
所以在上递减,所以,所以,
即实数的取值范围为.

【例1】（2024届山东省泰安肥城市高考仿真模拟）已知函数，.
(1)求函数单调区间；
(2)若函数在有两个极值点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，函数定义域为，
导数
时，恒成立时，当；当
时，当；当
综上可知：时为常函数，无单调区间
时，单调增区间为：，单调减区间为：
时，单调增区间为：，单调减区间为：.
（2）因为，所以，
因为在上有两个极值点，则，即在上有两个根，
令，
当时，，单调递减
当时，，单调递增
又因为时 ，，，
所以在上有2个极值点需满足.
综上所述，当时，函数在上有两个极值点.
【例2】（2024届山东省智慧上进高三下学期5月大联考）已知函数，其中．
(1)当时，判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时，．
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，所以，
所以在上恒成立，所以在上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值为，
当时，当时，
若存在两个极值点，则有两个不相等的实数根，
所以，解得，又，所以，
且当时，即，则单调递增，
当时，即，则单调递减，
当时，即，则单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
因为，所以，
要证，即证，又，
只需证，即证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即成立，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
且当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以.
【例3】（2025届云南省三校高三联考）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围.
【解析】（1）证明：令，
则，令
则恒成立，则在上单调递减，
则，所以在上单调递减，
则，即；
同理，令，则，
则在上单调递减，
则，即，
故当时，.
（2）解：由题，令，
则，
又，则
①若，即时，
易知存在，使得时，，
在上单调递增，则，
则在上单调递增，与是的极大值点矛盾，舍去.
②若，即或时，
易知存在，使得时，，在上单调递减，又，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
满足是的极大值点，符合题意.
③若，即时，由为偶函数，不妨只考虑的情形，
此时，，
在上单调递增，这与是的极大值点矛盾，舍去.
综上所述，的取值范围为.
【例4】（2024届浙江省绍兴市柯桥区三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【解析】（1）函数与具有性质，理由如下：
，令，则，故单调递减，
又，，故存在，使，
则在上单调递增，在上单调递减，
故有且仅有一个极值点，
，则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故有且仅有一个极值点，
故函数与具有性质；
（2）（i）， 又，故，
当时，，此时没有极值点，故舍去，
当时， 令，则恒成立，
故在上单调递增，，，故，
由，令，则恒成立，
故在上单调递减，
当时，有，又时，，
故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增，
则有唯一极值点，
有，又时，，
故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减，
则有唯一极值点，
即有，，
即，，此时需满足，则，
故有，即，即，故符合要求；
当时，，又时，，
故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增，
则有唯一极值点，
有，又时，，
故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减，
则有唯一极值点，
同理可得，此时需满足，即，则，
由，，故该不等式成立，故符合要求；
当时，有，，
此时，即、的极值点都为，不符合要求，故舍去；
综上，故；
（ii）当时，有，则，故，
在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，则，令，
则，故在上单调递增，
则，
故，要证，只需证，
，
即当，有；
当时，有，则，即，
在上单调递增，在上单调递减，
则，
即要证，只需证，
，
即当，有；综上所述，.
1. （2024届西藏拉萨市第三高级中学高三下学期5月月考）已知函数.
(1)讨论的单调性：
(2)若有两个极值点，求证：.
【解析】（1）的定义域为.
①若，则，所以在上单调递增；
②若，令，此时，
(i)当，即时，，所以在上单调递增；
(ii)当，即时，
方程的两个实数根为，且，
当或时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）有两个极值点，结合（1），知，且是方程的两个实数根，
所以，所以.
令，则.
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，即，证毕.
2．（2024届河南省鹤壁市外国语学校高三上学期11月检测）已知函数，其中e为自然对数的底数．
(1)若函数在上有2个极值点，求a的取值范围；
(2)设函数，，证明：的所有零点之和大于．
【解析】（1）由题设在上有2个变号零点，
当时，，即在上递增，不可能有2个零点；
当时，令，则，且在上有2个对应的，
所以，问题化为与的图象在上有两个交点，
对于，有，则在上，，递减，
在上，，递增，
又x趋向于0时，趋向正无穷，x趋向于正无穷时，趋向正无穷，
且，所以，故．
综上，；
（2）由已知函数，，其导函数，
设，，
当时，设，，显然，，
在上递增，在上递减，所以，即
如图画出函数和的图象，
，使得当时，，单调递增，
当时，函数，单调递减，
又，所以，，
因为，所以，所以，又，
故，使得，，使得，
于是可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，故，
则，，所以存在，使得，
所以，又，所以，
则存在，使得，又，
所以函数在区间上无零点，
故函数在上有两个零点，，且，
由可得，，
所以，，
又，
所以，
根据，可得，，
并且函数在上单调递减，所以，即，
故的两个零点之和大于．
3．（2024辽宁省沈阳市第一二〇中学高三最后一卷）设函数的两个极值点分别为．
(1)求实数的取值范围；
(2)若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题，定义域为．
则，
由题可得有两个不等实数根，
于是有两个不同的实数根，
等价于函数与图像在有两个不同的交点，
，由，由，
所以在递增，在递减，
又有极大值为，当时，，
所以可得函数的草图（如图所示）．
所以，要使函数与图像在有两个不同的交点，
当且仅当，即实数的取值范围为
（2）由（1）可知：是方程的两个实数根，且，
则，
即，令，
令，则，
所以在上单调递增，且，所以，
于是，当时，有，即，
综上所述，，即的取值范围是．
4．（2024届四川省百师联盟2024届高三联考）已知函数（，）在点处的切线方程为．
(1)求函数的极值；
(2)设（），若恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题，，
由题意可得，解得，
所以，．
令，解得，令，解得，
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有极小值，极小值为，无极大值．
（2）由题意可知：，且，
整理得，原题意等价于在内恒成立，
设，则，
设，则．
当时，；当时，，
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，即当时，恒成立，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
由恒成立，可得，所以的取值范围为．
5．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数.
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）若为的极小值点，求a的取值范围.
【解析】（1），为该函数的极值点，
当，，
当，，
则该函数在处的左导数为，右导数为1，
所以该函数在处不可导.
（2）（ⅰ）根据题意，，则切点，
又，则，所以切线方程为；
（ⅱ），
因为当时，，故与同号，
，先考察的性质，
由于为偶函数，只需分析其在上的性质即可，
，，
设，
则，，
则必有，即.
①否则，若，即，
则必存在一个区间，使得，
则在单调递减，又，
则在区间内小于0，则在单调递减，
又，故在区间内小于0，
故在区间内小于0，则不可能为的极小值点.
②当时，，
令，，
令，则，
易知在区间上单调递增，
对，，
则在区间上大于0，
故在区间上单调递增.
故在区间上单调递增.
又，故，故在区间上单调递增，
又，故，故在区间上单调递增，
又，故，，
则，，
故当时，，由偶函数知时，，
故为的极小值点，
所以a的取值范围为.
6．（2024届河北省名校联盟高考三模）已知函数．
(1)当时，证明：．
(2)若函数，试问：函数是否存在极小值？若存在，求出极小值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：函数定义域为,
令，则，
当时，，且，所以，
函数在上单调递减，故，
即，故得证.
（2）由题意，则，
令，则
当时，，故函数在单调递增，则，即，
所以在单调递增；
当时，单调递增，且，又，
故，使得，
所以当时，，即函数在上单调递增，即，
所以函数在上单调递减；
当时，，即，
所以函数在上单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，当时，函数有极小值，极小值为.故存在，极小值为0.
7．（2024届四川省攀枝花市高考数学三模）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)设函数的导函数为，若（），证明：．
【解析】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，函数在上单调递增，无极值；
当时，令，可得；令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）证明：由（1）知，，
可得，且，
所以，所以，
因为，所以，可得，
则，
因为，所以，记得，
所以，
设，可得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，当时，，
所以，所以，即.
8．（2024届江苏省扬州市高三下学期高考考前调研测试）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)函数．
①讨论函数的单调性；
②函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数，，则，
令，解得或，
则，，的关系表如下所示：
由上表，函数极大值为，极小值为；
（2）①，则，
记，则，
当时，，则在上单调递增，
所以时，，所以，
所以是上的增函数．
②，当时，恒成立；
当时，，
令，
当时，令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，
因为，所以，不满足题意，所以不成立．
当时，
记，，
由①知时，，
所以
，
所以．所以成立．
综上所述：．
9．（2024届江苏省南通市模拟预测）设，函数．
(1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程：
(2)是函数的两个极值点，证明：为定值．
【解析】（1）当时，，则导数．
设切点为，则，
所以切线方程为．
又切线过点，则，
整理得，，解得．
所以过点且与曲线相切的直线方程为．
（2）证明：依题意，，令，得．
不妨设，则．
所以为定值．
10．（2024届广西贵港市高考模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
所以，
令，则，
当时，，在上单调递增，
又，，存在唯一零点，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增．
有一个极小值点，无极大值点．
（2）恒成立，
恒成立，恒成立．
令，则，恒成立．
设，由（1）可知的最小值为．
又，．（﹡）
设，当时，，在上单调递增，
，，，
由（﹡）知，，即．
，
，，又，
a的取值范围为．
11．（2024届江苏省苏州大学高三下学期高考考前指导卷）已知函数在区间内有两个极值点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的极大值和极小值的差为，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，则，
令，则，令，
设函数在区间内的两个极值点为，，
由韦达定理得，所以，
显然，，所以，
所以，即，解得.
此时，，列表如下：
所以.
（2）因为，所以
.
由，得，且，
所以.
设，，令，，
则，所以在上单调递减，
从而，即，
所以实数的取值范围是.
12．（2024届北京市顺义区第一中学高三下学期考前适应性检测）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
所以，在上递增，在上递减，，
所以，，恒有，当且仅当时取“=”，
所以，当时，，当时，，
所以，在上单调递减，取值集合为，
在上递减，取值集合为，
所以，当或时，方程有唯一解，
当或时，此方程无解，
所以，当或时，函数有一个零点，
当或时，函数有两个零点.
13．（2024届河北省雄安新区部分高中高考三模）已知函数．
(1)若是的一个极值点，求的值；
(2)若有两个极值点，，其中，求的取值范围．
【解析】（1）易知，
又是的一个极值点，所以，即，所以，
此时，
令，，
所以在上单调递增，且，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，即符合题意，
因此的值为．
（2）因为，且有两个极值点，，
所以方程在上有两个不同的根，
即方程有两个不同的正数根，
将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，
则，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且当时，，，故作出的图象如图所示：
由图象可知满足题意，即，即的取值范围为．
14．（2024届天津市民族中学高三下学期4月模拟）已知函数．
(1)当时，试求函数图象在点处的切线方程；
(2)若函数有两个极值点、；
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）不等式恒成立，试求实数m的取值范围．
【解析】（1）时，，故.
故，又，
故函数图象在点处的切线方程为，
即；
（2）（ⅰ），
函数在上有两个极值点，需满足在上有两个不等的根，.
由得，
则，故此时；
（ⅱ），，，则可得，，
由不等式恒成立，则，
，
令，则，
因为，，，
又.所以，即时，单调递减，
所以，即，
故实数的取值范围是.
15．（2024届贵州省毕节市高三第三次诊断性考试）（1）证明：当时，；
（2）已知函数在上有两个极值点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）证明：令，在上恒成立，
在上单调递减，即，
又令，在上恒成立，
在上单调递减，即，
∴当时，；
（2），，
由题意知原命题等价于在上有两个不等实根，
得，又因为在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当或时，，
即.+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
0
极大值
极小值
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增