备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题10切线问题(学生版+解析)

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函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如2024年高考全国卷 = 2 \* ROMAN II卷及2023年全国卷乙卷在解答题中都考查了曲线的切线问题,曲线的切线问题主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线切线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.
(一) 求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
【例1】（2024届北京市西城区北师大附属实验中学高三下学期6月热身练）已知函数，其中a为常数且.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，若在点处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值.
【解析】（1），.
因为，，所以切线方程为.
（2）定义域为，，令，解得.
当时，，的减区间为；
，的增区间为.
当时，，的增区间为；
，的减区间为.
（3）当时，，.切线l：，
令，；令，.
.
设，..
，在单调递减；
，在单调递增.
所以.所以当时，S的最小值为.
(二)求曲线过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
【例2】（2024届江苏省南通市高三下学期模拟预测）设，函数．
(1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程：
(2)是函数的两个极值点，证明：为定值．
【解析】（1）当时，，则导数．
设切点为，则，
所以切线方程为．
又切线过点，则，
整理得，，解得．
所以过点且与曲线相切的直线方程为．
（2）证明：依题意，，令，得．
不妨设，则．
所以为定值．
(三)求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
【例3】（2024届陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟）已知函数.
(1)判断的零点个数；
(2)求曲线与曲线公切线的条数.
【解析】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
令，得；令，得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，故的零点个数为.
（2）解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即，
曲线在点处的切线方程为：，
即，令，可得，
消去，整理得，
令，可得，等价于，
设，则，所以在上单调递增，
又因为，所以在上有唯一的零点，
由，得，所以曲线与曲线有且仅有一条公切线.
(四)曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.
【例4】（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数.
(1)若.求证：；
(2)若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值.
【解析】（1）当时，，
令，则，
令，因为，
所以在区间上单调递增，且，
所以存在，满足，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则当时，取得最小值，
可得，
因为，所以不成立，故等号不成立，则，
所以当时，.
（2）设公切线与两函数的图象分别相切于点和点，
因为，
所以直线的方程可表示为或，
则有，①
，②
由①可得，代入②可得，
即，令，则，
令，则，，
所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
又，
根据零点存在定理知，存在，使得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为在上单调递增，所以，
则，
又为整数，所以，故所求整数的最小值是.
(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.
【例5】（2024届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）已知函数.
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.
【解析】（1）由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，所以，则.
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，所以，
设，，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根，
即，设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，所以，即.
(六)圆锥曲线中抛物线的切线问题
抛物线，可以化为函数，所以我们可以利用导数研究抛物线的切线问题。
【例6】（2024届江苏省南通、扬州、泰州七市高三第三次调研）已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．
(1)求的方程；
(2)若点的横坐标为2，求；
(3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）由题意，直线的斜率必存在.
设直线的方程为，
联立得，所以
当时，，
此时，
所以，即.所以的方程为.
（2）由(1)知，，
则，代入直线得，则中点.
因为，所以，
则直线方程为，即，
同理，直线方程为，所以，
，所以.
因为，即，此时，
所以直线的方程为，代入，得，所以，所以.
（3）由（2）知，所以直线方程为，
代入，得，所以，所以为的中点.
因为在处的切线斜率，
所以在处的切线平行于，
又因为为的中点，所以.
由(1)中式得，所以，
因为直线方程为，
所以.
又到直线的距离，
所以，
(当且仅当时取“”)
所以，所以四边形的面积的最小值为3.
【例1】（2024届广东省汕头市潮南区高三下学期高考考前测试）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
(2)若在只有一个零点，求.
【解析】（1）函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
【例2】（2024届陕西省安康市高新中学高三下学期模拟考试）已知函数为的导函数.
(1)证明：当时，；
(2)若与有两条公切线，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
等价于证明，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，所以，
所以，即；
（2）设一条公切线与切点分别为，
则，可得切线方程为，，
因为它们是同一条直线，所以，
可得，令，
若与有两条公切线，则与的图象有两个交点，
则，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，所以，
且当时，，当时，，可得的大致图象如下图，
所以.
【例3】（2024届天津市和平区高三三模）已知函数，，．
(1)若，函数存在斜率为3的切线，求实数的取值范围；
(2)若，试讨论函数的单调性；
(3)若，设函数的图象与函数的图象交于两点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以，，
因为函数存在斜率为3的切线，所以在有解，
所以，得，所以实数的取值范围为.
（2）因为，所以，，
令，即，，
（ⅰ）当时，即，，在上单调递增．
（ⅱ）当时，即，或，
有两根，，，
①当时，，时，，在上单调递增．
②当时，，时，，时，， 时，，
在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
（3）
设点，的坐标为，且，
，，
则点与点的横坐标均为，，，
所以在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则有，
即，则有下式成立：
，即，
设，有，设，
则，所以在上单调递增，
故，即，与矛盾，所以假设不成立，
所以不存在点使在点处的切线与在点处的切线平行．
【例4】（2024届上海市七宝中学高三三模）若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中，），则称l为曲线C的“”.
(1)若曲线在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值；
(2)求曲线所有的方程；
(3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意，该切线的斜率为，因此.
（2）由，求导得，
则曲线在处的切线方程为：，
令，整理得，
此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即，
所以曲线的切线仅有一条，为.
（3）由，得曲线在点处的切线方程为：
，即，
令，
求导得，由，得，
对，当时，为严格增函数；
当时，为严格减函数，
函数所有的极大值为，
当时，极大值等于0，即，
当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，
函数所有的极小值为，
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线为切线，
等价于有三个零点，等价于，即有解，
令，则，
因此为上的严格增函数，因为，
于是存在唯一实数，满足，
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线.
【例5】（2024届福建省泉州第五中学高三下学期适应性监测）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：的外接圆过焦点F．
【解析】（1）若同时满足①②：由，可得AB过焦点，
当时，而，所以①②不同时成立
若同时满足①③由①，可得AB过焦点，
因为直线AB的方程为，不可能过焦点，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为②；
且直线AB的方程为，所以，解得．
所以抛物线C的标准方程为．
（2）如图：
设直线AB的方程为，
联立方程组，整理得，
所以：四点共圆，即的外接圆过焦点F．
1.（2024届北京市陈经纶中学高三下学期三模）已知．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：．
2．（2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知函数.
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)讨论的单调性；
3．（2024届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数.
(1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值；
(2)若函数有两个极值点且，求的取值范围.
4．（2024届建省泉州市高中毕业班5月适应性练习）已知函数．
(1)当时，若直线与曲线相切，求；
(2)若直线与曲线恰有两个公共点，求．
5．（2024山东省青岛市高三第三次适应性检测）已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 .
(1)求实数 的值;
(2)若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值;
(3)若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明:
附:ln2 ≈ 0.693.
6.（2022高考全国卷甲文）已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（1）若,求a；
（2）求a的取值范围．
7.（2024届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数有三个零点（）.
(1)求a的取值范围；
(2)过点与分别作的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离.
8.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点.
(1)求的解析式；
(2)若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.
9.（2024届辽宁省丹东市高三总复习质量测试二）设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”．
(1)判断点是否为函数的“2度点”，说明理由；
(2)设函数.
①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值；
②若，求函数的“1度点”.
10．（2024届河北省衡水市高三下学期大数据应用调研联合测评）过点可以作曲线的两条切线，切点为.
(1)证明：；
(2)设线段中点坐标为，证明：.
11.（2024届陕西省西安市第一中学高三下学期4月月考）已知曲线C：.
(1)求C的拐点坐标；
(2)证明：C关于其拐点对称；
(3)设为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
12.设函数，，其中，，是自然对数的底数．
(1)设，当时，求的最小值；
(2)证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；
(3)当时，证明：．
13.（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围：
(3)已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：.
14.（2024届天津市北辰区高三三模）已知，曲线在点处的切线为.
(1)当时，求直线的方程；
(2)证明：与曲线有一个异于点的交点，且；
(3)在（2）的条件下，令，求的取值范围.0
0
极大值
极小值
专题10 切线问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如2024年高考全国卷 = 2 \* ROMAN II卷及2023年全国卷乙卷在解答题中都考查了曲线的切线问题,曲线的切线问题主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线切线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.
(一) 求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
【例1】（2024届北京市西城区北师大附属实验中学高三下学期6月热身练）已知函数，其中a为常数且.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调区间；
(3)当时，若在点处的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值.
【解析】（1），.
因为，，所以切线方程为.
（2）定义域为，，令，解得.
当时，，的减区间为；
，的增区间为.
当时，，的增区间为；
，的减区间为.
（3）当时，，.切线l：，
令，；令，.
.
设，..
，在单调递减；
，在单调递增.
所以.所以当时，S的最小值为.
(二)求曲线过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
【例2】（2024届江苏省南通市高三下学期模拟预测）设，函数．
(1)当时，求过点且与曲线相切的直线方程：
(2)是函数的两个极值点，证明：为定值．
【解析】（1）当时，，则导数．
设切点为，则，
所以切线方程为．
又切线过点，则，
整理得，，解得．
所以过点且与曲线相切的直线方程为．
（2）证明：依题意，，令，得．
不妨设，则．
所以为定值．
(三)求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
【例3】（2024届陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟）已知函数.
(1)判断的零点个数；
(2)求曲线与曲线公切线的条数.
【解析】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
令，得；令，得，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，故的零点个数为.
（2）解：因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为：
，即，
曲线在点处的切线方程为：，
即，令，可得，
消去，整理得，
令，可得，等价于，
设，则，所以在上单调递增，
又因为，所以在上有唯一的零点，
由，得，所以曲线与曲线有且仅有一条公切线.
(四)曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.
【例4】（2024届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数.
(1)若.求证：；
(2)若函数与函数存在两条公切线，求整数的最小值.
【解析】（1）当时，，
令，则，
令，因为，
所以在区间上单调递增，且，
所以存在，满足，
当时，单调递减；当时，单调递增；
则当时，取得最小值，
可得，
因为，所以不成立，故等号不成立，则，
所以当时，.
（2）设公切线与两函数的图象分别相切于点和点，
因为，
所以直线的方程可表示为或，
则有，①
，②
由①可得，代入②可得，
即，令，则，
令，则，，
所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
又，
根据零点存在定理知，存在，使得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因为在上单调递增，所以，
则，
又为整数，所以，故所求整数的最小值是.
(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.
【例5】（2024届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）已知函数.
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.
【解析】（1）由于，则，
设，则，，且在上单减，
令得，令得，
所以在单调递增，单调递减，所以，则.
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，所以，
设，，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得：存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由得，
化简得，
所以，
所以，（也可写为）.
代入中得：有两个不等实根，
即，设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，所以，即.
(六)圆锥曲线中抛物线的切线问题
抛物线，可以化为函数，所以我们可以利用导数研究抛物线的切线问题。
【例6】（2024届江苏省南通、扬州、泰州七市高三第三次调研）已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．
(1)求的方程；
(2)若点的横坐标为2，求；
(3)设在点处的切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．
【解析】（1）由题意，直线的斜率必存在.
设直线的方程为，
联立得，所以
当时，，
此时，
所以，即.所以的方程为.
（2）由(1)知，，
则，代入直线得，则中点.
因为，所以，
则直线方程为，即，
同理，直线方程为，所以，
，所以.
因为，即，此时，
所以直线的方程为，代入，得，所以，所以.
（3）由（2）知，所以直线方程为，
代入，得，所以，所以为的中点.
因为在处的切线斜率，
所以在处的切线平行于，
又因为为的中点，所以.
由(1)中式得，所以，
因为直线方程为，
所以.
又到直线的距离，
所以，
(当且仅当时取“”)
所以，所以四边形的面积的最小值为3.
【例1】（2024届广东省汕头市潮南区高三下学期高考考前测试）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
(2)若在只有一个零点，求.
【解析】（1）函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
【例2】（2024届陕西省安康市高新中学高三下学期模拟考试）已知函数为的导函数.
(1)证明：当时，；
(2)若与有两条公切线，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
等价于证明，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，所以，
所以，即；
（2）设一条公切线与切点分别为，
则，可得切线方程为，，
因为它们是同一条直线，所以，
可得，令，
若与有两条公切线，则与的图象有两个交点，
则，当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，所以，
且当时，，当时，，可得的大致图象如下图，
所以.
【例3】（2024届天津市和平区高三三模）已知函数，，．
(1)若，函数存在斜率为3的切线，求实数的取值范围；
(2)若，试讨论函数的单调性；
(3)若，设函数的图象与函数的图象交于两点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为，所以，，
因为函数存在斜率为3的切线，所以在有解，
所以，得，所以实数的取值范围为.
（2）因为，所以，，
令，即，，
（ⅰ）当时，即，，在上单调递增．
（ⅱ）当时，即，或，
有两根，，，
①当时，，时，，在上单调递增．
②当时，，时，，时，， 时，，
在，上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
（3）
设点，的坐标为，且，
，，
则点与点的横坐标均为，，，
所以在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，
假设在点处的切线与在点处的切线平行，则有，
即，则有下式成立：
，即，
设，有，设，
则，所以在上单调递增，
故，即，与矛盾，所以假设不成立，
所以不存在点使在点处的切线与在点处的切线平行．
【例4】（2024届上海市七宝中学高三三模）若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中，），则称l为曲线C的“”.
(1)若曲线在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值；
(2)求曲线所有的方程；
(3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．
【解析】（1）依题意，该切线的斜率为，因此.
（2）由，求导得，
则曲线在处的切线方程为：，
令，整理得，
此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即，
所以曲线的切线仅有一条，为.
（3）由，得曲线在点处的切线方程为：
，即，
令，
求导得，由，得，
对，当时，为严格增函数；
当时，为严格减函数，
函数所有的极大值为，
当时，极大值等于0，即，
当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，
函数所有的极小值为，
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线为切线，
等价于有三个零点，等价于，即有解，
令，则，
因此为上的严格增函数，因为，
于是存在唯一实数，满足，
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线.
【例5】（2024届福建省泉州第五中学高三下学期适应性监测）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，抛物线C上不同两点A，B同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线AB的方程为．
(1)请分析说明A，B满足的是哪两个条件？并求抛物线C的标准方程；
(2)若直线经过点，且与（1）的抛物线C交于A，B两点，，若，求的值；
(3)点A，B，E为（1）中抛物线C上的不同三点，分别过点A，B，E作抛物线C的三条切线，且三条切线两两相交于M，N，P，求证：的外接圆过焦点F．
【解析】（1）若同时满足①②：由，可得AB过焦点，
当时，而，所以①②不同时成立
若同时满足①③由①，可得AB过焦点，
因为直线AB的方程为，不可能过焦点，所以①③不同时成立
只能同时满足条件②③，因为②；
且直线AB的方程为，所以，解得．
所以抛物线C的标准方程为．
（2）如图：
设直线AB的方程为，
联立方程组，整理得，
则．因为，直线AN，BN的斜率之和为0，
即，
所以，
即，
所以，即．
（3）设过点A，B，E的三条切线分别为，倾斜角分别为，
令，
由得：：
所以：；：；：.
联立直线方程可得
联立直线方程可得
又，
所以.
所以：四点共圆，即的外接圆过焦点F．
1.（2024届北京市陈经纶中学高三下学期三模）已知．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：．
【解析】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），令，得，令，则，
原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
由韦达定理得，则，
所以
，
令，则，
所以函数在上单调递减，
所以，所以.
2．（2024届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知函数.
(1)证明曲线在处的切线过原点；
(2)讨论的单调性；
【解析】（1）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即恒过原点．
（2）由（1）得，
当时，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
当时，令，则，
当且时，即时，，在上单调递增，
当时，，
由，则，或，则，
所以在上单调递增，在上单调递增；
由，则，则，
所以在上单调递减；
当时，，则为开口向下的二次函数，
对称轴，，，
由，则，则，所以在上单调递增，
由，则，则，所以在上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
3．（2024届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数.
(1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值；
(2)若函数有两个极值点且，求的取值范围.
【解析】（1）解：当时，，可得，
令，可得，又由，所以切点在直线上，则，
因为，所以，令，则，
在直线方程中，令，可得，
又因为点在曲线上，所以.
（2）解：函数，可得，
由函数有两个极值点，所以有两个不等正根，则，
由
，
可得，
令，，
所以在区间上单调递增，
因为，
所以由，可得，
令函数，可得，
所以在上单调递减，可得，
又因为，所以的取值范围是.
4．（2024届建省泉州市高中毕业班5月适应性练习）已知函数．
(1)当时，若直线与曲线相切，求；
(2)若直线与曲线恰有两个公共点，求．
【解析】（1）当时，，，
因为直线与曲线相切，
设切点为，则切线斜率，
可得，解得或，
所以或．
（2）因为直线与曲线恰有两个公共点，
所以方程，
即方程有两个不等实根，
因为是方程的一个根；
当时，方程可化为（*），
依题意，方程（*）有不等于的唯一根，
因为，若，则（*）即，，满足条件；
若，则由，解得：．
综上所述，或．
5．（2024山东省青岛市高三第三次适应性检测）已知 为坐标原点，曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，且两切线间的距离为，其中 .
(1)求实数 的值;
(2)若点 分别在曲线 上，求 与 之和的最大值;
(3)若点 在曲线 上，点 在曲线 上，四边形 为正方形，其面积为，证明:
附:ln2 ≈ 0.693.
【解析】（1）因为，所以，又因为，所以，
解得，所以在处的切线方程为:，
所以在处的切线方程为:，
所以，解得.
（2）（法一）由（1）知：，记直线的倾斜角分别为，
斜率分别为，所以，设且，
所以,
令，则，
当时，设函数，则，
所以在单调递增，所以，即，
所以，
所以在均单调递减，且，
当时，，所以在单调递增，
所以.当时，;当时，，
所以，当点坐标为时，最大为.
同理，函数与的图象关于直线对称，
且也关于直线对称，所以最大为，
所以与之和的最大值为.
（法二）由（1）知:，点在圆上.
下面证明：直线与圆和曲线均相切，
因为圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，
即，除点外，圆上的点均在直线下方,
又因为，则，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，
即，除点外，曲线上的点均在直线上方.
所以，当点坐标为时，最大为，
同理，函数与的图象关于直线对称，
且也关于直线对称，所以最大为，
综上知:与之和的最大值为.
（3）因为曲线与与曲线与有唯一交点，且关于对称，
并分居两侧，
所以曲线的上的点到曲线上的点的最小距离，且此时这两点只能为，
假设函数与函数的图象关于直线对称，
则点关于的对称点在上，
点关于的对称点在上，
因为，所以与重合，与重合，
所以是函数与函数的图象的唯一对称轴，所以和分别关于直线对称，
设，其中，
所以，
即，
又因为，
即，
所以为方程的根，即的零点为，
因为，
所以在单调递增，
故，，
所以，令，
则，所以在单调递增，
所以
6.（2022高考全国卷甲文）已知函数,曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（1）若,求a；
（2）求a的取值范围．
【解析】（1）由题意知,,,,
则在点处的切线方程为,即,
设该切线与切于点,,则,解得,则,解得.
（2）因为,所以在点处的切线方程为,整理得,
设该切线与切于点,,则,
则切线方程为,整理得,
则,整理得,
（另法：求出在点处的切线方程后代入解析式,用求解）
令,则,令,解得或,
令,解得或,则变化时,的变化情况如下表：
则的值域为,故的取值范围为.
7.（2024届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数有三个零点（）.
(1)求a的取值范围；
(2)过点与分别作的切线，两切线交于M点，求M点到y轴的距离.
【解析】（1）由得，
当时，，则在上单调递增，函数至多一个零点，不符合题意；
当时，由题意只需使在有两个异号根即可，
所以，解得；综上，.
（2）当时，.又，故，.
又知当时，有，
所以，即，故.
又，所以在处的切线方程为，
所以在处的切线方程为，
联立整理得两直线交点横坐标.故M点到y轴的距离0.
8.（2024届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点.
(1)求的解析式；
(2)若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.
【解析】（1），
因为，且的图象经过，两点.
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以在处取得极小值，所以，
又因为，，所以，，
解方程组得，，，
所以.
（2）设切点为，则，
因为，所以，
所以切线方程为，
将代入上式，得.
因为曲线恰有三条过点的切线，所以方程有三个不同实数解.
记，则导函数，
令，得或1.
列表：
所以的极大值为，的极小值为，
所以，解得.故的取值范围是.
9.（2024届辽宁省丹东市高三总复习质量测试二）设函数的定义域为I，若，曲线在处的切线l与曲线有n个公共点，则称为函数的“n度点”，切线l为一条“n度切线”．
(1)判断点是否为函数的“2度点”，说明理由；
(2)设函数.
①直线是函数的一条“1度切线”，求a的值；
②若，求函数的“1度点”.
【解析】（1）因为，所以，，
则函数在点处的切线方程，
将切线l的方程与联立得，
记，
，
当时，，当和时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，
，因为，所以，
又因为，
所以在上存在唯一零点，
则点为函数的“2度点”．
（2）①设直线与曲线相切于点，
，，
则，整理得，
对于给定函数我们定义它的导数为，定义它的导数的导数为.
设，则，，
在上单调递减，在上单调递增，，
在R上递增，又，，，经检验符合题意；
②设点，曲线在点P处的切线方程为，
令，
曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P，有唯一零点，
，且，
，令，则，
，，单调递减；
，，单调递增；
（i）若，由，；，，
在R上单调递增，只有唯一零点；
（ii）若，由，单调递增，且，
则当，，，
当，，
其中，，
必存在，使得，
，故在内存在零点，即在R上至少有两个零点；
（iii）若，同理利用，可得在R上至少有两个零点；
综上所述，函数的“1度点”为．
10．（2024届河北省衡水市高三下学期大数据应用调研联合测评）过点可以作曲线的两条切线，切点为.
(1)证明：；
(2)设线段中点坐标为，证明：.
【解析】（1）证明：设切点，，所以，
即关于的方程有两个不相等的实数根.
设，则，.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
所以在处取值得最小值，即.
当时，，当时，，
若满足方程有两个不相等的实数根，则，
于是，即，得,
设，，得，
在上，，则单调递减，在上，，则单调递增，
所以，在处取得最小值，即，所以.
（2）证明：设，
则，即，
在点处的切线方程都过，
于是，由，得，
由，得
两式相减整理得：，
，
不妨设，所以，则，
，所以在上单调递减，于是，
于是，即.
“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设为函数的导数，若为的极值点，则为曲线的拐点.
11.（2024届陕西省西安市第一中学高三下学期4月月考）已知曲线C：.
(1)求C的拐点坐标；
(2)证明：C关于其拐点对称；
(3)设为C在其拐点处的切线，证明：所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
【解析】（1）设，则.
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故是的极小值点，且为唯一极值点.
所以曲线：的拐点为，即.
（2）因为.
所以：关于其拐点对称.
（3）因为C在拐点处的切线方程为：.
设平行于的直线方程为，
并与C的方程联立有.
设，则，
则在上单调递增.
因为，故当时，与C有唯一公共点.
当时，，且，，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
同理，当时，，且，，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
当时，，且，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
同理，当时，，且，
故存在唯一，使得，此时与C有唯一公共点.
综上，所有平行于的直线都与C有且仅有一个公共点.
12.设函数，，其中，，是自然对数的底数．
(1)设，当时，求的最小值；
(2)证明：当，时，总存在两条直线与曲线与都相切；
(3)当时，证明：．
【解析】（1）由题设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故时，取得最小值；
（2）由，则在处的切线方程为，
由，则在点处的切线方程为，
由题意得，，
令，则，
由（1）得时，单调递减，且，当时，单调递增，
又，当时，，单调递减；当时，，单调递减，
由（1）及，得，
由，则，故有，递减，有，递增，
所以，则，仅当时等号成立，而，
故，，
函数在和内各有一个零点，
故当时，总存在两条直线与曲线与都相切；
（3）证明：，令，
以下证明：当时，的最小值大于0，
求导，
①当时，，则递减，，
②当时，，
令，，故在上递增，
又，取且使，即，
则，故，故存在唯一零点，
即有唯一的极值点，又，
且，即，故，
，故是上的减函数，
，，综上所求，当时，．
13.（2024届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极大值，求实数的取值范围：
(3)已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，当时，，即在上递减，在上递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
（2）依题意，函数，求导得，
当时，当时，，则函数在处不可能取到极大值；
当时，由，得，由，得或，
则函数在处取到极大值，所以.
（3）由（1）知，，曲线过有三条不同的切线，切点为，
于是，方程有3个不同的根，
该方程整理为，
设，求导得，
而，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
显然有3个不同的零点，必有，
则，且，即，
又，设，
则方程即为：，
记，则为有三个不同的根，
设，要证，即证，
即证，即证，
即证，即证，
设，则直线的方程为.
令，
设，则对有，所以在上单调递增.
记，则
.
由于，
且
，
故一定存在，使得，即.
而，故是与曲线的交点，且；
（3）对，设.
则，
，
.
由于当时，的导数，
故在上单调递增.
若，则.
所以对有，从而在上单调递增；
所以对有，从而在上单调递增；
所以对有，从而在上单调递增；
所以对有，从而在上无零点.
若，则.
由于对有，
故.
从而存在使.
结合在上单调递增，知对有，从而在上单调递减；
所以对有，从而在上单调递减；
所以对有，从而在上单调递减；
所以，又由于对有
，
故对有，从而当时，有
.
结合，就知道在上存在零点，从而在上存在零点.
综上，对，函数在上存在零点的充要条件是.
最后，一方面我们取，就有
，
所以在上存在零点，故，得；
另一方面，对任意，取，则在上存在零点.
记该零点为，取，则
.
所以这样的满足原条件，且.
综上，的取值范围是.
0
0
极大值
极小值
0
1
0
0
0
0
1
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗