备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题12常见函数模型的应用(学生版+解析)

这是一份备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题12常见函数模型的应用(学生版+解析)，共41页。试卷主要包含了与对数型函数有关的常见不等式有，已知函数．，已知函数等内容，欢迎下载使用。

有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.
(一)常见对数型函数模型
1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0，
2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，.
3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.
4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.
【例1】（2024届陕西省学林高考全真模拟考试）已知函数（），.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：（）；
(3)证明：（）.
【解析】（1）函数的定义域为，，
①当时，恒成立，
所以函数的单调递减区间为；
②当时，由，得，
当时，；当时，.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），恒成立，
在上单调递减，又，，.
（3）由（1）知，当时，，即，，
，（当时“=”成立）.
令（），，即，
，从而，
，…，，
累加可得，
即.
由（2）知，在是递减函数，，即，
.
（）.
(二)常见指数型函数模型
1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0，
2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.
【例2】（2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知．
(1)求的单调区间和最值；
(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
【解析】（1），令，解得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值；
（2）要证，只需证，因为，
故只需证．
令，显然在上可导，在上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上单调递增，
因为，故，即，
故只需证即可，因为，故只需证．
由（1）知恒成立，因此原命题得证．
(三) 常见三角函数模型
1.函数在上是减函数，函数在上是增函数 ，
2.与三角函数有关的常见不等式有：，，.
【例3】（2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟）设，.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
【解析】（1）因为定义域为，
所以，
所以为定义在上的偶函数，下取，
可知，令
则在内单调递增，可得，
即在内恒成立，可知在内单调递增，
所以在内的最小值为，结合偶函数性质可知：.
（2）由（1）可得：，当且仅当时，等号成立，
即，令，则，当时，，即，
则有：，，，，
相加可得：，
因为，则，所以，
即.
(四) 或.
在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时.
【例4】（2024届海南省定安县高三上学期考试）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)若a=1，讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
【解析】（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）若a=1，.
当，即时，，所以在上单调递减；
当时，；在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，令，只需，又，
令得，时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
(五) 或
讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增
【例5】（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：.
【解析】（1）当时，，定义域为，求导可得，
令，得，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在处取到极小值为0，无极大值.
（2）方程，当时，显然方程不成立，
所以，则，方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，
，当或时，，
在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，在区间上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，故的取值范围为.
（3）证明：，由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，又，所以只需证，
即证，令，
即，
，由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.所以函数在上单调递增.
由，可得，即，
所以，又函数在上单调递减，
所以，即得证.所以，即,即.
【例1】（2024届江苏省连云港市东海县石高三下学期5月模拟）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程.
(2)证明：.
【解析】（1）由，可得，
，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由，可得，令，可得，
当时，，所以在上单调递增，
又，即，
所以在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，综上所述：.
【例2】（2025届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，则时，；时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【例3】已知函数．
(1)证明：．
(2)已知，证明：．
【解析】（1）函数的定义域为R，，
由得，由得，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故的最小值是，所以．
（2）由（1）得，．令，其中，则，即，
令，则，
所以，．
令，则且不恒为零，
所以函数在上单调递增，故，则．
所以，．
所以
，问题得证．
【例4】（2024届江苏省苏州市八校高三三模）已知函数.
(1)时，求的零点个数;
(2)若恒成立，求实数的最大值;
(3)求证:.
【解析】（1）当时，，则，
所以，令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
又，，
且时，，则存在，，使得，
所以有两个零点.
（2）令由，得，
令所以，
令，可得，
所以在上为增函数，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以恒成立，所以实数的最大值是实数；
（3）因为，
由（2）可得，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
【例5】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)若,当时,证明:.
【解析】（1）的定义域为,
当时,,
所以,
当时,;当时,,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）由,得,
所以,
则,
要证,只需证,
，
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：当时，对任意，，都有．
3．（2024届辽宁省部分高中2023-2024学年高三下学期三模）已知函数，其在处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)若点在函数的图象上，求的取值范围．
4．（2024届河北省部分中学高三下学期考点评估）已知函数．
(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
5．（2024届四川省内江市高三三模）已知函数．
(1)若的图象不在轴的下方，求的取值集合；
(2)证明：．
6．（2024届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）已知函数．
(1)求的值域；
(2)求证：当时，．
7．（2024届山东省菏泽第一中学高三下学期5月月考）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
8.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
9.已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
10.已知函数．
(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为的两个不同零点，证明：．
11.（2024届陕西省西安市第一中学高三下学期高考预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的值；
(2)求证：．
12．（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若为函数的极值点，求证：
13.（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数．
(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
14.（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数．
(1)记函数的导函数是．证明：当时，；
(2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围．
15．（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数，且在处取得极值．
(1)求a；
(2)求证：．
16．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)证明：时，.
专题12 常见函数模型的应用
有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.
(一)常见对数型函数模型
1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0，
2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，.
3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.
4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.
【例1】（2024届陕西省学林高考全真模拟考试）已知函数（），.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：（）；
(3)证明：（）.
【解析】（1）函数的定义域为，，
①当时，恒成立，
所以函数的单调递减区间为；
②当时，由，得，
当时，；当时，.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），恒成立，
在上单调递减，又，，.
（3）由（1）知，当时，，即，，
，（当时“=”成立）.
令（），，即，
，从而，
，…，，
累加可得，
即.
由（2）知，在是递减函数，，即，
.
（）.
(二)常见指数型函数模型
1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0，
2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.
【例2】（2024届河北省衡水市部分示范性高中高三下学期三模）已知．
(1)求的单调区间和最值；
(2)定理：若函数在上可导，在上连续，则存在，使得．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题：
若，求证：．
【解析】（1），令，解得，
当时，单调递减；当时，单调递增．
当时，取得最小值1，无最大值；
（2）要证，只需证，因为，
故只需证．
令，显然在上可导，在上连续，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上单调递增，
因为，故，即，
故只需证即可，因为，故只需证．
由（1）知恒成立，因此原命题得证．
(三) 常见三角函数模型
1.函数在上是减函数，函数在上是增函数 ，
2.与三角函数有关的常见不等式有：，，.
【例3】（2024届江西省宜丰中学高三下学期模拟）设，.
(1)当时，证明：；
(2)证明：.
【解析】（1）因为定义域为，
所以，
所以为定义在上的偶函数，下取，
可知，令
则在内单调递增，可得，
即在内恒成立，可知在内单调递增，
所以在内的最小值为，结合偶函数性质可知：.
（2）由（1）可得：，当且仅当时，等号成立，
即，令，则，当时，，即，
则有：，，，，
相加可得：，
因为，则，所以，
即.
(四) 或.
在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时.
【例4】（2024届海南省定安县高三上学期考试）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)若a=1，讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
【解析】（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）若a=1，.
当，即时，，所以在上单调递减；
当时，；在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，令，只需，又，
令得，时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
(五) 或
讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增
【例5】（2024届上海市格致中学高三下学期三模）已知，，是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
(3)当时，若满足，求证：.
【解析】（1）当时，，定义域为，求导可得，
令，得，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以在处取到极小值为0，无极大值.
（2）方程，当时，显然方程不成立，
所以，则，方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，
，当或时，，
在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，在区间上单调递增，
时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如图所示：
因此与有2个交点时，，故的取值范围为.
（3）证明：，由，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
由题意，且，则，.
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，又，所以只需证，
即证，令，
即，
，由均值不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立.所以函数在上单调递增.
由，可得，即，
所以，又函数在上单调递减，
所以，即得证.所以，即,即.
【例1】（2024届江苏省连云港市东海县石高三下学期5月模拟）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程.
(2)证明：.
【解析】（1）由，可得，
，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由，可得，令，可得，
当时，，所以在上单调递增，
又，即，
所以在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，综上所述：.
【例2】（2025届河北省“五个一”名校联盟高三第一次联考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【解析】（1）由题函数定义域为，，
故当时，恒成立，所以函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，令，则时，；时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
故在上恒成立，
故证证，
即，
令，则，
故当时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上恒成立，故，
所以当时，.
【例3】已知函数．
(1)证明：．
(2)已知，证明：．
【解析】（1）函数的定义域为R，，
由得，由得，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故的最小值是，所以．
（2）由（1）得，．令，其中，则，即，
令，则，
所以，．
令，则且不恒为零，
所以函数在上单调递增，故，则．
所以，．
所以
，问题得证．
【例4】（2024届江苏省苏州市八校高三三模）已知函数.
(1)时，求的零点个数;
(2)若恒成立，求实数的最大值;
(3)求证:.
【解析】（1）当时，，则，
所以，令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
又，，
且时，，则存在，，使得，
所以有两个零点.
（2）令由，得，
令所以，
令，可得，
所以在上为增函数，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以恒成立，所以实数的最大值是实数；
（3）因为，
由（2）可得，所以，
所以，
所以，
又，
所以.
【例5】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)若,当时,证明:.
【解析】（1）的定义域为,
当时,,
所以,
当时,;当时,,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）由,得,
所以,
则,
要证,只需证,
即证,需证.
令,设,则,
设,则,
所以在上单调递增,则,
所以,所以在上单调递增,
由,得,则,
所以,
所以需证,即证.
令，则,即证,设,
则,
所以在上单调递减,则,
所以,即成立,
故.
1．（2024届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测）已知函数．
(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，，
所以，令，则，
当时，，在上单调递增，
又，，存在唯一零点，且，
当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增．
有一个极小值点，无极大值点．
（2）恒成立，
恒成立，恒成立．
令，则，恒成立．
设，由（1）可知的最小值为．
又，．（﹡）
设，当时，，在上单调递增，
，，，
由（﹡）知，，即．
，
，，又，a的取值范围为．
2．（2024届广东省东莞市东华高级中学 东华松山湖高级中学高三下学期三模）已知常数，设，
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)是否存在，且依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
(3)求证：当时，对任意，，都有．
【解析】（1）当时，，
则，所以，所以切线方程为；
（2）若依次成等比数列，则，
若、、成等差数列，则，
所以，
所以，
当时，成立，当时，则，联立，得，
，即，所以，与矛盾，
所以时，存在满足条件，当时，不存在满足条件；
（3），则，
要证明，又，
只需证明，
又
，
所以只需证明，
令，
则
所以，
只需证明，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以， 若，则，则恒成立，
所以当时，对任意，，都有．
3．（2024届辽宁省部分高中2023-2024学年高三下学期三模）已知函数，其在处的切线斜率为．
(1)求的值；
(2)若点在函数的图象上，求的取值范围．
【解析】（1），
由题意，，整理得，
令，所以，
所以当时，，在上单调递减，且，
当时，，在上单调递增，
又，，，
所以关于的方程只有一个根，即．
（2）由（1）问可知，所以，
令
进而可知在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，时，，，
所以时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
当时，取得最大值，
所以的值域为．
又由题意知点在函数的图象上，故，
所以，．
令，，
所以，当时，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，区间上单调递增，
所以当时，取得最小值，
当时，，当时，，且，
所以的值域为，
所以的取值范围是．
4．（2024届河北省部分中学高三下学期考点评估）已知函数．
(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
【解析】（1）在恒成立．
构造函数，则在恒成立．
当时，，所以在上单调递增，
所以，矛盾，故舍去
当时，由得，所以在上单调递增，
故，均有，矛盾，故舍去
当时，，所以在上单调递减，
所以，满足题意；
综上，实数a的取值范围为
（2）由（1）知当时，恒成立，
即在上恒成立，当且仅当时取等号．
所以当时，可得
同理，，，
两边分别累加得：
即
即
5．（2024届四川省内江市高三三模）已知函数．
(1)若的图象不在轴的下方，求的取值集合；
(2)证明：．
【解析】（1）的定义域为，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为的图象不在轴的下方，所以恒成立，所以，
令，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又因为，，
，，
所以，故的取值集合为.
（2）由（1）可知，当时，，即，即，
所以，（当时取等），
令，所以，则，
所以，故，
，…，，
由累加法可得：，
即，
令，恒成立，
所以在区间上单调递减，所以，
所以，所以，
所以.
6．（2024届河北省沧州市沧县中学高三下学期模拟）已知函数．
(1)求的值域；
(2)求证：当时，．
【解析】（1），，
令，则，，则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，所以，即，
故的值域为．
（2）令函数，，则，
所以在上单调递增，所以，
故当时，，所以．
由（1）知，当1时，所以当时，，
所以，令，其中，，2，3，，n，
则，
所以，，
，，，
以上n个式子相加得
，即当时，．
7．（2024届山东省菏泽第一中学高三下学期5月月考）已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
【解析】（1）当时，，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以在处取到极大值，无极小值.
（2）因为，恒成立，所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
所以，即，所以时，，
所以在区间上单调递减，故，所以，
所以实数的取值范围为.
（3）由（2）可知，取，当时，，所以，
取，则有，即，
所以
将上述式子相加得
即
8.（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
【解析】（1），
当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减；
（2）设，；
设，则，
令，则，
当，，当，，故函数在单调递增，在单调递减，
所以；
令，可得，故在单调递增时，；
当时，，故在上单调递增.
当时，，且当趋向正无穷时，趋向正无穷，
若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件；
若，则存在，使得，即，
当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．
综上，实数的取值范围是
9.已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【解析】 (1)当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
10.已知函数．
(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为的两个不同零点，证明：．
【解析】 (1)当时，，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，则，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
故，
所以实数的取值范围是．
(2)证明：要证明，
即证，
只需证和．
由（1）知，当，时，，即，
所以．
要证，即证．
因为为的两个不同零点，不妨设，
所以，，
则，
两边同时乘以，可得，
即．
令，则．
即证，即证，
即证．
令函数，，则，
所以在上单调递增，所以．
所以．故．
11.（2024届陕西省西安市第一中学高三下学期高考预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的值；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意，得，
由函数在上单调递增，得在上恒成立，
令，则，
当时，因为，所以恒成立，
则在上单调递增，又，所以恒大于等于0不成立.
当时，由得，
所以当，当，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
若恒成立，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，.
综上，若函数在上单调递增，则.
（2）由（1）得，当时，恒成立，
即，当且仅当时等号成立，
令，则，
所以
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即，
所以，
所以，
故得证.
12．（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若为函数的极值点，求证：
【解析】（1）定义域为，则，
当时，，，
所以单调递增区间为，单调递减区间为；
若，即时，在上单调递减，故；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
故；
若，即时，则在上单调递增，故.
所以，；
（2）（），
则，
因为是函数的极值点，所以，即，
要证，
只需证，即证：，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，即：，
所以，所以，
①当时，因为，，所以.
②当时，因为，所以，
所以，要证，
只需证，
即证对任意的恒成立，
令（），则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
即当时，成立.
综上：原不等式成立.
13.（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数．
(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点，
因为,
所以，由②③可得④，易知.
由①得，代入④可得，
即，即，解得.
故.
（2）令，可得，
由题意可得只有一个根.
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得.
设，则与的图象只有一个交点.
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以.
所以.
又，时，，时，，
画出函数的图象如图所示：

由图可知，若与的图象只有一个交点，
则.所以实数的取值范围是.
14.（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数．
(1)记函数的导函数是．证明：当时，；
处取得极值．
(1)求a；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意可得的定义域为，且．
因为在处取得极值，
所以，解得，
当时，则，，，
令，得；令，得；
故函数在上单调递增，在上单调递减，
可知在处取得极值，符合题意，
所以．
（2）由（1）可得的最大值为，
所以，即，
可得，当且仅当时等号成立．
令，
则，故．
所以，，，…，，，
以上式子相加，
得，
则，
即，
所以，
即，命题得证．
16．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)证明：时，.
【解析】（1）因为，则，
则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.
故有最小值，故.
（2）由（1）可知，，
当时，要证，即证，即证，
令，则上式等价于，
构造函数则
故当时，为增函数；
当时，为减函数；
由得，故，
故.
当时，
，
故
又是的增区间，而
故故
即，当时，，即
在上，为减函数，故
即，故原命题得证.