备战2025高考数学压轴导数大题训练(全国通用版)专题14三次函数(学生版+解析)

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函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,我们可以利用二次函数深入研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.
三次函数的单调性
由于三次函数的导数是二次函数,我们可以利用根的情况及根的分布来研究三次函数的单调性,特别是含有参数的三次函数的单调性通常要借助二次方程根的分布求解.
【例1】（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有3个不同的零点,求的取值范围．
【解析】（1）,
令,解得或,
①当,即时,
由得或；由得,
所以在和上单调递增；在上单调递减；
②当,即时,
恒成立,所以在上单调递增；
③当,即时,
由得或；由得,
所以在和上单调递增；在上单调递减；
综上,
当时,在和上单调递增；在上单调递减；
当时,在上单调递增；
当时,在和上单调递增；在上单调递减.
（2）因为有3个零点,所以,
当时,极大值；极小值,
所以,解得且,
当时,极大值；极小值,
所以,解得,
综上,的取值范围为.
(二)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数
1.此类问题一般是先设出切点Q,写出曲线在处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
2.以三次函数为 为例,研究一下三次函数的切线问题：若M（x1,y1）是三次曲线上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0）,则切线方程为,因点M上此切线上,故,又,所以,整理得：,解得,或.综上所述,当点M是对称中心即时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M不是对称中心即时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一
【例2】（2024届福建省泉州市高中毕业班5月适应性练习）已知函数．
(1)当时,若直线与曲线相切,求；
(2)若直线与曲线恰有两个公共点,求．
【解析】（1）当时,,,
因为直线与曲线相切,
设切点为,则切线斜率,
可得,解得或,
所以或．
（2）因为直线与曲线恰有两个公共点,
所以方程,
即方程有两个不等实根,
因为是方程的一个根；
当时,方程可化为（*）,
依题意,方程（*）有不等于的唯一根,
因为,若,则（*）即,,满足条件；
若,则由,解得：．
综上所述,或．
【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数的极小值为,其导函数的图象经过,两点.
(1)求的解析式；
(2)若曲线恰有三条过点的切线,求实数的取值范围.
【解析】（1）,
因为,且的图象经过,两点.
所以当时,,单调递增；
当时,,单调递减；
当时,,单调递增.
所以在处取得极小值,所以,
又因为,,所以,,
解方程组得,,,
所以.
（2）设切点为,则,
因为,所以,
所以切线方程为,
将代入上式,得.
因为曲线恰有三条过点的切线,所以方程有三个不同实数解.
记,则导函数,
令,得或1.
列表：
所以的极大值为,的极小值为,
所以,解得.故的取值范围是.
(三)三次函数的极值
三次函数 的极值点就是二次函数的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系求解.
【例4】（2024届山东省实验中学高三二模）已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)设是的两个极值点,是的一个零点,且.是否存在实数,使得按某种顺序排列后构成等差数列？若存在,求；若不存在,说明理由.
【解析】（1）当时,,
则,故,
又,所以曲线在点处的切线方程为；
（2）,
由于,故,
令,解得或；令,解得；
可知在内单调递减,在内单调递增,
所以的两个极值点为,不妨设,
因为,且是的一个零点,故.
又因为,
故,此时依次成等差数列,
所以存在实数满足题意,且.
(四)三次函数的零点
1.若三次函数没有极值点,则有1个零点；
2. 三次函数有2个极值点,则时有1个零点；时有2个零点；时有3个零点.
【例5】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数,其中.
(1)若的极小值为－16,求；
(2)讨论的零点个数.
【解析】（1）由题得,其中,当时,,单调递增,无极值；当时,令,解得或；令,解得,所以的单调递减区间为,单调递增区间为,,所以当时,取得极小值,所以,解得.
（2）由（1）知当时,的极小值为,的极大值为, 当,即时,有三个零点,如图①曲线 ；当,即时,有两个零点,如图②曲线；当,即时,有一个零点,如图③曲线；当时,,易知有一个零点. 综上,当时,有一个零点；当时,有两个零点；当时,有三个零点.
(五)三次函数图象的对称性
三次函数的图象有六种,如图：
图(2)
图(1)

图(4)
图(3)

图(5)
图(6)
对函数进行求导：是二次函数,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数与的符号起决定性作用.当为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当时,二次方程有两相异实根,且在的两边的符号相反,故函数存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当时,二次方程有两相等实根,且在根的两边的符号相同,这时函数只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当时；方程无实根,的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设,得
整理得,.据多项式恒等对应系数相等,可得且,从而三次函数是中心对称曲线,且由知其对称中心仍然在曲线上.而是否具有特殊的意义？对函数进行两次求导,再令等于0,得,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足的正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.
【例6】对于三次函数,给出定义：设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若,请你根据这一发现.
（1）求函数的对称中心；
（2）计算.
【解析】（1）,
令,即,解得,
,
由题中给出的结论,可知函数的对称中心为.
（2）由（1）知函数的对称中心为,
所以,即,
故,
所以.
(六)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
【例7】设是函数的两个极值点,且
(1)求a的取值范围；
(2)求证：.
【解析】(1),的两个实根,又a＞0
,
由得
(2)设则
上单调递增
,
【例8】（2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习）对三次函数,如果其存在三个实根,则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数,设,存在,满足.证明：存在,使得；
(2)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点,使得.在平面直角坐标系中,是第一象限上一点,设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集,满足是上的广义正弦函数.
【解析】（1）因为,所以不妨设,
所以,
因为,所以,
所以不妨取满足题意,且此时必有,
否则若,则有,,,
而此时与已知矛盾,
综上所述,存在,使得.
（2）（i）是第一象限上一点,所以,
因为,所以,
设,则,
而时,,时,,
所以存在负根,
因为在上存在两个极值点,等价于方程在上有两个根,
等价于方程在上存在两个根,
注意到三次方程最多有3个根,所以方程有一个负根,两个不同的正根,
而,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当且仅当,即当且仅当,
综上所述,命题（i）得证；
（ii）容易验证,时,也恰好有两个正根,
此时：由于对来说,等价于,等价于,
所以对,如果,那么,
这意味着,
然后,对两个不相等的正数,
所以当且仅当,
那么如果或,就有或,故,
此时,
所以,这意味着,
最后,由于有一个极值点,
所以都不等于（是不相等的正零点,同时该方程还有另一个负零点,但只要是根就是二重的,所以不可能是根）,这就说明,
结合的单调性以及,必有,
所以此时一定是广义正弦函数,
综上所述,满足题意的.
【例1】（2024届福建省泉州市高三5月适应性练习）已知函数．
(1)当时,若直线与曲线相切,求；
(2)若直线与曲线恰有两个公共点,求．
【解析】（1）当时,,,
因为直线与曲线相切,
设切点为,则切线斜率,
可得,解得或,
所以或．
（2）因为直线与曲线恰有两个公共点,
所以方程,
即方程有两个不等实根,
因为是方程的一个根；
当时,方程可化为（*）,
依题意,方程（*）有不等于的唯一根,
因为,若,则（*）即,,满足条件；
若,则由,解得：．
综上所述,或．
【例2】（2024届福建省泉州第五中学高考热身测试）已知函数.
(1)若是函数的极值点,求的值,并求其单调区间；
(2)若函数在上仅有2个零点,求的取值范围．
【解析】（1）,,得,
当时,,得或,
的变化情况如下表所示,
所以函数的增区间是和,减区间是；
（2）令,,
得,令,,
,得,
如下表,
因为函数在上仅有2个零点,即与有2个交点,如图：
即.
【例3】（2024届陕西省铜川市高三下学期模拟）已知函数的一个极值为．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的最大值为18,求实数与的值．
【解析】（1）由,得,
令,得或；令,得；令,得或．
所以函数有两个极值和．
若,得,解得；
若,得,解得．
综上,实数的值为－22或5．
（2）由（1）得,在区间的变化情况如下表所示：
由表可知,
①当时,函数在区间上单调递增,所以最大值为,
其值为或,不符合题意；
②当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
因为,,,所以在上的最大值为,其值为或25,不符合题意；
③当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
因为,,,所以在上的最大值为,其值为或25,不符合题意；
④当时,在上单调递减,在上单调递增,
若在区间上的最大值为,其值为或,不符合题意,
又因为若,则．那么,函数在区间上的最大值只可能小于－2,不合题意,
所以要使函数在区间上的最大值为18,必须使,且,
即．所以,
所以．所以,
所以．所以或,
所以或．因为,所以舍去．
综上,实数的值为的值为5．
【例4】（2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟）已知函数,,且在上的极大值为1．
(1)求实数的值；
(2)若,,,求的值．
【解析】（1）,,
① 时,,∴,无极值．
② 时,,∴,
当,即时,,无极大值；
当时,时,；时,,
∴在处取极大值,即,∴,舍去．
③时,,
∴,
时,；时,；时,．
∴在处取极大值,∴符合题意．
综上,．
（2）由（1）可知,,,
令可得,令可得或,
如图所示．

① 当时,,
当时,,则,矛盾；
当时,,∴,矛盾．
② 当时,符合题意．
③ 当时,时,,∴,
则,,∴,矛盾．
④ 当时,符合题意．
⑤ 当时,时,,∴,
则,,∴,矛盾．
⑥ 当时,符合题意．
⑦ 当时,,则,∴,与矛盾．
⑧ 当时,,,∴,与矛盾．
综上,,或,或．
【例5】（2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测）已知函数,在处取极大值,在处取极小值.
(1)若,求函数的单调区间；
(2)在方程的解中,较大的一个记为,在方程的解中,较小的一个记为,证明：为定值.
【解析】（1）当时,,定义域为R,,
当时,或；当时,；
即函数的单调增区间为,；单调减区间为.
（2）由,
根据题意,得的两根为,且,
即,得,
,
所以,
因为,则,
可知,
因为,即,
即,
可知,同理,由,
可知；
得到,
所以.
【例6】已知函数．
(1)若函数有三个零点分别为,,,且,,求函数的单调区间；
(2)若,,证明：函数在区间内一定有极值点；
(3)在（2）的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围．
【解析】（1）因为函数,
又,,则,,
因为是方程的两根,
则两边平方得,得出,或,
即,或,又,,
所以,即．
因为,所以．综上分析,的取值范围是,．
1.（2024届江苏省连云港市高三下学期4月阶段测试）已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)存在,使得成立,求实数的取值范围．
2.设函数,其中为实常数．
(1)若,求的单调区间；
(2)若存在极值点,且其中．求证：；
3.（2024届海南省琼中县高三上学期9月全真模拟）已知函数,．
(1)当时,求在上的值域；
(2)若的极小值为,求m的值．
4.（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围；
(3)请问过点,,,,分别存在几条直线与曲线相切？（请直接写出结论,不需要证明）
5. （2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有2个零点,求的值．
（注：）
6．（2024届江苏省南通市模拟预测）设,函数．
(1)当时,求过点且与曲线相切的直线方程：
(2)是函数的两个极值点,证明：为定值．
7．已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点．
(1)求的极小值并讨论的奇偶性．
(2)直线的斜率记为,若,,求证：．
8．设函数,．
(1)若是的极值点,求a的值,并讨论的单调性．
(2)已知函数,若在区间内有零点,求a的取值范围．
(3)设有两个极值点,,试讨论过两点,的直线能否过点,若能,求a的值；若不能,说明理由．
9．已知函数,,用表示,中的最小值,设函数,讨论零点的个数．
10．（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有3个不同的零点,求的取值范围．
11．（2023届上海市嘉定区高三三模）已知函数,其导函数为,
(1)若函数有三个零点,且,试比较与的大小.
(2)若,试判断在区间上是否存在极值点,并说明理由.
(3)在（1）的条件下,对任意的,总存在使得成立,求实数的最大值.
12.设函数,其中,为常数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有且仅有3个零点,求的取值范围．
13．（2024届湖南省岳阳市高三教学质量监测三）已知的三个角的对边分别为且,点在边上,是的角平分线,设（其中为正实数）．
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数
①当时,求函数的极小值；
②设是的最大零点,试比较与1的大小．0
1
+
0
-
0
+
↗
极大
↘
极小
↗
0
0
增区间
极大值
减区间
极小值
增区间
1
3
0
减区间
极小值3
增区间
1
+
0
－
0
+
极大值
极小值
专题14 三次函数
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函数,我们可以利用二次函数深入研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一个热点.
三次函数的单调性
由于三次函数的导数是二次函数,我们可以利用根的情况及根的分布来研究三次函数的单调性,特别是含有参数的三次函数的单调性通常要借助二次方程根的分布求解.
【例1】（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有3个不同的零点,求的取值范围．
【解析】（1）,
令,解得或,
①当,即时,
由得或；由得,
所以在和上单调递增；在上单调递减；
②当,即时,
恒成立,所以在上单调递增；
③当,即时,
由得或；由得,
所以在和上单调递增；在上单调递减；
综上,(二)过平面上一点P作三次函数图象的切线的条数
1.此类问题一般是先设出切点Q,写出曲线在处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
2.以三次函数为 为例,研究一下三次函数的切线问题：若M（x1,y1）是三次曲线上的任一点,设过M的切线与曲线y=f（x）相切于（x0,y0）,则切线方程为,因点M上此切线上,故,又,所以,整理得：,解得,或.综上所述,当点M是对称中心即时,过点M作曲线的切线切点是惟一的,且为M,故只有一条切线；当点M不是对称中心即时,过点M作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线.
由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一
【例2】（2024届福建省泉州市高中毕业班5月适应性练习）已知函数．
(1)当时,若直线与曲线相切,求；
(2)若直线与曲线恰有两个公共点,求．
【解析】（1）当时,,,
因为直线与曲线相切,
设切点为,则切线斜率,
可得,解得或,
所以或．
（2）因为直线与曲线恰有两个公共点,
所以方程,
即方程有两个不等实根,
因为是方程的一个根；
当时,方程可化为（*）,
依题意,方程（*）有不等于的唯一根,
因为,若,则（*）即,,满足条件；
若,则由,解得：．
综上所述,或．
【例3】（2024届江苏省南通市高三上学期期初质量监测）已知函数的极小值为,其导函数的图象经过,两点.
(1)求的解析式；
(2)若曲线恰有三条过点的切线,求实数的取值范围.
【解析】（1）,
因为,且的图象经过,两点.
所以当时,,单调递增；
当时,,单调递减；
当时,,单调递增.
所以在处取得极小值,所以,
又因为,,所以,,
解方程组得,,,
所以.
（2）设切点为,则,
因为,所以,
所以切线方程为,
将代入上式,得.
因为曲线恰有三条过点的切线,所以方程有三个不同实数解.
记,则导函数,
令,得或1.
列表：
所以的极大值为,的极小值为,
所以,解得.故的取值范围是.
(三)三次函数的极值
三次函数 的极值点就是二次函数的零点,所以与三次函数极值有关的问题常借助“三个二次”的关系求解.
【例4】（2024届山东省实验中学高三二模）已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程；
(2)设是的两个极值点,是的一个零点,且.是否存在实数,使得按某种顺序排列后构成等差数列？若存在,求；若不存在,说明理由.
【解析】（1）当时,,
则,故,
又,所以曲线在点处的切线方程为；
（2）,
由于,故,
令,解得或；令,解得；
可知在内单调递减,在内单调递增,
所以的两个极值点为,不妨设,
因为,且是的一个零点,故.
又因为,
故,此时依次成等差数列,
所以存在实数满足题意,且.
(四)三次函数的零点
1.若三次函数没有极值点,则有1个零点；
2. 三次函数有2个极值点,则时有1个零点；时有2个零点；时有3个零点.
【例5】（2023届江西省赣抚吉十一校高三第一次联考）已知函数,其中.
(1)若的极小值为－16,求；
(2)讨论的零点个数.
【解析】（1）由题得,其中,当时,,单调递增,无极值；当时,令,解得或；令,解得,所以的单调递减区间为,单调递增区间为,,所以当时,取得极小值,所以,解得.
（2）由（1）知当时,的极小值为,的极大值为, 当,即时,有三个零点,如图①曲线 ；当,即时,有两个零点,如图②曲线；当,即时,有一个零点,如图③曲线；当时,,易知有一个零点. 综上,当时,有一个零点；当时,有两个零点；当时,有三个零点.
(五)三次函数图象的对称性
三次函数的图象有六种,如图：
图(2)
图(1)

图(4)
图(3)

图(5)
图(6)
对函数进行求导：是二次函数,原函数的极值点与单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数与的符号起决定性作用.当为正时,原函数的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情况.当时,二次方程有两相异实根,且在的两边的符号相反,故函数存在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当时,二次方程有两相等实根,且在根的两边的符号相同,这时函数只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当时；方程无实根,的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设,得
整理得,.据多项式恒等对应系数相等,可得且,从而三次函数是中心对称曲线,且由知其对称中心仍然在曲线上.而是否具有特殊的意义？对函数进行两次求导,再令等于0,得,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足的正是函数拐点的横坐标,这一性质刚好与图象吻合.
【例6】对于三次函数,给出定义：设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心．若,请你根据这一发现.
（1）求函数的对称中心；
（2）计算.
【解析】（1）,
令,即,解得,
,
由题中给出的结论,可知函数的对称中心为.
（2）由（1）知函数的对称中心为,
所以,即,
故,
所以.
(六)三次函数与韦达定理的交汇
由于三次函数的导数是二次函数,而二次函数常与韦达定理交汇,故有时可以用定理交汇处理三次函数问题
【例7】设是函数的两个极值点,且
(1)求a的取值范围；
(2)求证：.
【解析】(1),的两个实根,又a＞0
,
由得
(2)设则
上单调递增
,
【例8】（2024年2月第二届“鱼塘杯”高考适应性练习）对三次函数,如果其存在三个实根,则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数,设,存在,满足.证明：存在,使得；
(2)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点,使得.在平面直角坐标系中,是第一象限上一点,设.已知在上有两根.
（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；
（ii）求点组成的点集,满足是上的广义正弦函数.
【解析】（1）因为,所以不妨设,
所以,
因为,所以,
所以不妨取满足题意,且此时必有,
否则若,则有,,,
而此时与已知矛盾,
综上所述,存在,使得.
（2）（i）是第一象限上一点,所以,
因为,所以,
设,则,
而时,,时,,
所以存在负根,
因为在上存在两个极值点,等价于方程在上有两个根,
等价于方程在上存在两个根,
注意到三次方程最多有3个根,所以方程有一个负根,两个不同的正根,
而,当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当且仅当,即当且仅当,
综上所述,命题（i）得证；
（ii）容易验证,时,也恰好有两个正根,
此时：由于对来说,等价于,等价于,
所以对,如果,那么,
这意味着,
然后,对两个不相等的正数,
所以当且仅当,
那么如果或,就有或,故,
此时,
所以,这意味着,
最后,由于有一个极值点,
所以都不等于（是不相等的正零点,同时该方程还有另一个负零点,但只要是根就是二重的,所以不可能是根）,这就说明,
结合的单调性以及,必有,
所以此时一定是广义正弦函数,
综上所述,满足题意的.
【例1】（2024届福建省泉州市高三5月适应性练习）已知函数．
(1)当时,若直线与曲线相切,求；
(2)若直线与曲线恰有两个公共点,求．
【解析】（1）当时,,,
因为直线与曲线相切,
设切点为,则切线斜率,
可得,解得或,
所以或．
（2）因为直线与曲线恰有两个公共点,
所以方程,
即方程有两个不等实根,
因为是方程的一个根；
当时,方程可化为（*）,
依题意,方程（*）有不等于的唯一根,
因为,若,则（*）即,,满足条件；
若,则由,解得：．
综上所述,或．
【例2】（2024届福建省泉州第五中学高考热身测试）已知函数.
(1)若是函数的极值点,求的值,并求其单调区间；
(2)若函数在上仅有2个零点,求的取值范围．
【解析】（1）,,得,
当时,,得或,
的变化情况如下表所示,
所以函数的增区间是和,减区间是；
（2）令,,
得,令,,
,得,
如下表,
因为函数在上仅有2个零点,即与有2个交点,如图：
即.
【例3】（2024届陕西省铜川市高三下学期模拟）已知函数的一个极值为．
(1)求实数的值；
(2)若函数在区间上的最大值为18,求实数与的值．
【解析】（1）由,得,
令,得或；令,得；令,得或．
所以函数有两个极值和．
若,得,解得；
若,得,解得．
综上,实数的值为－22或5．
（2）由（1）得,在区间的变化情况如下表所示：
由表可知,
①当时,函数在区间上单调递增,所以最大值为,
其值为或,不符合题意；
②当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
因为,,,所以在上的最大值为,其值为或25,不符合题意；
③当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
因为,,,所以在上的最大值为,其值为或25,不符合题意；
④当时,在上单调递减,在上单调递增,
若在区间上的最大值为,其值为或,不符合题意,
又因为若,则．那么,函数在区间上的最大值只可能小于－2,不合题意,
所以要使函数在区间上的最大值为18,必须使,且,
即．所以,
所以．所以,
所以．所以或,
所以或．因为,所以舍去．
综上,实数的值为的值为5．
【例4】（2023届江苏省徐州市睢宁县高三下学期5月模拟）已知函数,,且在上的极大值为1．
(1)求实数的值；
(2)若,,,求的值．
【解析】（1）,,
① 时,,∴,无极值．
② 时,,∴,
当,即时,,无极大值；
当时,时,；时,,
∴在处取极大值,即,∴,舍去．
③时,,
∴,
时,；时,；时,．
∴在处取极大值,∴符合题意．
综上,．
（2）由（1）可知,,,
令可得,令可得或,
如图所示．

① 当时,,
当时,,则,矛盾；
当时,,∴,矛盾．
② 当时,符合题意．
③ 当时,时,,∴,
则,,∴,矛盾．
④ 当时,符合题意．
⑤ 当时,时,,∴,
则,,∴,矛盾．
⑥ 当时,符合题意．
⑦ 当时,,则,∴,与矛盾．
⑧ 当时,,,∴,与矛盾．
综上,,或,或．
【例5】（2023届重庆市第十一中学校高三上学期11月质量检测）已知函数,在处取极大值,在处取极小值.
(1)若,求函数的单调区间；
(2)在方程的解中,较大的一个记为,在方程的解中,较小的一个记为,证明：为定值.
所以,
因为,则,
【例6】已知函数．
(1)若函数有三个零点分别为,,,且,,求函数的单调区间；
(2)若,,证明：函数在区间内一定有极值点；
(3)在（2）的条件下,若函数的两个极值点之间的距离不小于,求的取值范围．
【解析】（1）因为函数,
又,,则,,
因为是方程的两根,
则,,得,,
所以．
综上得函数在区间内一定有极值点．
（3）设,是函数的两个极值点,
则,也是导函数的两个零点,
由（2）得,则,．
所以
由已知,,
则两边平方得,得出,或,
即,或,又,,
所以,即．
因为,所以．综上分析,的取值范围是,．
1.（2024届江苏省连云港市高三下学期4月阶段测试）已知函数在时取得极值．
(1)求实数的值；
(2)存在,使得成立,求实数的取值范围．
【解析】（1）易知,依题意,解得,
此时,
当或时,；当时,,
即函数在,上单调递增,在上单调递减,
因此函数在时取得极值,所以．
（2）由（1）得函数在上单调递减,在上单调递增；
因为,所以
由题意可得,解得,
所以的取值范围为．
2.设函数,其中为实常数．
(1)若,求的单调区间；
(2)若存在极值点,且其中．求证：；
又
,
即为,当时,在的右侧,
当时,在的左侧,即有,即为.
3.（2024届海南省琼中县高三上学期9月全真模拟）已知函数,．
(1)当时,求在上的值域；
(2)若的极小值为,求m的值．
【解析】（1）当时,,则,
令,得或,
当x变化时,,的变化情况如表所示：
所以在上的值域为．
（2）由,得,
令,得或,因为,
令,得；令,得或,
所以在和上单调递增,在上单调递减,
在处取得极小值,令,
解得,故m的值为6．
4.（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围；
(3)请问过点,,,,分别存在几条直线与曲线相切？（请直接写出结论,不需要证明）
①当点在切线上时,有,此时,即点为切点.
由（1）知,切线为1条；
②当点在切线上时,
由（2）知,在处取得极小值,且,
所以,此时,只有1个解,即只存在1条切线；
③当在切线上时,
由（2）知,,解得或.所以此时存在2条切线；
④设切线过此时有.
令,则.
解,可得,所以在上单调递增；
解,可得或,所以在上单调递减,在上单调递减.
所以,在处取得极小值,在处取得极大值.
又,,所以,当时,有3条切线.
所以,过点的切线有3条.
又方程,可化为,
解得或,所以,过点的切线有2条.
5. （2024届内蒙古包头市高三上学期调研）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有2个零点,求的值．
（注：）
当时,,故单调递增,
又,当且时,,当时,,
如图作出函数的大致图象,

由图可知,要使,两个函数有两个交点,则,
即当时,有且只有2个零点．
6．（2024届江苏省南通市模拟预测）设,函数．
(1)当时,求过点且与曲线相切的直线方程：
(2)是函数的两个极值点,证明：为定值．
【解析】（1）当时,,则导数．
设切点为,则,
所以切线方程为．
7．已知曲线在点处的切线与曲线的另外一个交点为为线段的中点,为坐标原点．
(1)求的极小值并讨论的奇偶性．
(2)直线的斜率记为,若,,求证：．
【解析】（1）已知,,
则,
当时,,当或时,,
在上单调递增,在上单调递减,
则当时,取得极小值,
当时,,显然,
且,为奇函数；
当时,,
∴为非奇非偶函数．
综上所述,的极小值为；当时,为奇函数,
当时,为非奇非偶函数．
（2）由（1）知,∴曲线在点处的切线方程为：
,
其与原曲线方程联立化简得：,
从而,
由于P为线段的中点,∴,
8．设函数,．
(1)若是的极值点,求a的值,并讨论的单调性．
(2)已知函数,若在区间内有零点,求a的取值范围．
(3)设有两个极值点,,试讨论过两点,的直线能否过点,若能,求a的值；若不能,说明理由．
【解析】（1）由,求导得．
由,得．∴．
令,得,．
∴当时,,）单调递增；
当时,,单调递减；
（2）由,
求得,
①当,时,恒成立,单调递增,
又,∴在区间内没有零点,
若有两个极值点,则,显然不合题意．
综上,过两点,的直线不能过点．
9．已知函数,,用表示,中的最小值,设函数,讨论零点的个数．
【解析】显然的定义域为．
当时,．
从而,故在上没有零点．
当时,,．
∴时,,从而,故是的零点；
时,,从而,故不是的零点．
10．（2024届青海省部分学校高三下学期联考）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有3个不同的零点,求的取值范围．
【解析】（1）,
令,解得或,
①当,即时,
当时,极大值；极小值,
所以,解得,
综上,的取值范围为.
11．（2023届上海市嘉定区高三三模）已知函数,其导函数为,
(1)若函数有三个零点,且,试比较与的大小.
(2)若,试判断在区间上是否存在极值点,并说明理由.
(3)在（1）的条件下,对任意的,总存在使得成立,求实数的最大值.
【解析】（1）因为,故一正一负,
,所以,所以是方程的两根,
由韦达定理得,
因为
所以,故,,,
因为,,所以；
（2）,开口向上,
,,,
①当时,,
根据零点存在定理可知,存在使得,
且时,,单调递增,时,,单调递减,
所以在区间上存在极大值点,
②当时,,,
根据零点存在定理可知,存在使得,且时,,
时,,所以在区间上存在极小值点；
（3）对任意的,总存在使得成立,
设,的最大值为,则,
即①,②,③,
①当时,求函数的极小值；
②设是的最大零点,试比较与1的大小．
【解析】（1）方法一：设,
因为是的角平分线,所以,
因为
所以,
代入,,化简得：,因为,
所以实数的取值范围．
方法二：因为是的角平分线,所以,
,又,又,
所以,故,
在和中由余弦定理得
所以
,
又,则
所以,又,所以
在中有,所以,所以
得,所以实数的取值范围
（2）①法一：当时,由（1）知,则,此时,
由余弦定理有：及得,
法二：由,当时有.
故,
所以,
令,可得或,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
故当时,函数取极小值,极小值为．
②（ⅰ）当时,由①知,又,
故
知的零点为,故的最大零点；
（ⅱ）当时,由（1）知,
则,
由余弦定理有,代入,
解得,由知,故,
,,
设令解得：,且,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
因为,故,
且时,,
故在上有唯一零点,此时成立
（ⅲ）时,由（1）知,
则,
由余弦定理有,及,
解得,
由知,故,
所以
当时,令解得：,且,
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
因为,且的图象的对称轴
所以,又因为,
故在上无零点,且,
故成立；
当时,恒成立,则在上单调递增,
故函数至多有一个零点,
由,知成立；
综上,当时；；
当时,；
当时,．0
1
+
0
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0
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↗
极大
↘
极小
↗
0
0
增区间
极大值
减区间
极小值
增区间
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减区间
极小值3
增区间
1
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