云南湿远市2023_2024学年高二数学上学期9月月考试题

这是一份云南湿远市2023_2024学年高二数学上学期9月月考试题，共5页。试卷主要包含了已知复数满足，则复数，已知集合，，则，已知双曲线的离心率为，函数在单调递减，且为奇函数，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．已知复数满足，则复数（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的离心率为．则C的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．设的内角，，所对的边分别为，，.若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若定点满足，动点满足，则动点的轨迹是双曲线.
B．若定点满足，动点满足，则的轨迹是椭圆.
C．当时，曲线表示椭圆.
D．双曲线与椭圆有相同的焦点.
10．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则具有性质（ ）
A．最小正周期为B．图象关于直线对称
C．图象关于点对称D．在上单调递减
11．在平面直角坐标系中，，，，，设点的轨迹为，下列说法正确的是（ ）
A．轨迹的方程为
B．面积的最大值为
C．的最小值为
D．若直线与轨迹交于，两点，则
12．嫦娥五号探测器是我国第一个实施无人月面取样返回的月球探测器．如图所示，
现假设该探测器沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球
心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为
一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦半距，
用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长，则下列式子正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知平面向量，，，若，则(．
14．某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，
有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束
后统计这10名同学得分情况如右侧折线图所示，则这10名同学成绩
的分位数是.
15．已知函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其
中，则当取最小值时，椭圆的离心率为．
16．如右图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，
是上底面上其余的八个点，则用集
合列举法表示组成的集合是．
解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，BC＝．
(1)求cs∠DBA；
(2)求CD长．
18．如图所示的多面体是由三棱锥与四棱锥对接而成，其中，，，，，，是的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19．2023年7月11日第64届国际数学奥林匹克竞赛结果公布，中国队6名参赛选手全员金牌，再夺第一．某班级为了选拔数学竞赛选手，举行初次选拔考试，共有排好顺序的两道解答题．规定全部答对者，通过选拔考试．设甲答对第一道和第二道题的概率分别为，，乙答对第一道和第二道题的概率分别为，，甲，乙相互独立解题，答对与否互不影响．
(1)求甲，乙都通过考试的概率;
(2)记事件“甲、乙共答对两道题”，求．
20．已知函数，.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若函数在恒成立，求实数的取值范围.
21．某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了50名客户进行调
查，按他们购一套房的价格（万元）分成6组：，，
，，，得到频率分布直方图如
右图所示，用频率估计概率.
房产销售公司每卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）：
（1）求的值；并求出房产销售公司卖出一套房的平均佣金；
（2）若该销售公司平均每天销售4套房，请估计公司月（按30天计）利润（利润=总佣金－销售成本）.
该房产销售公司每月（按30天计）的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算：
22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．
（参考答案）
13. 23 14. 8.5 15. 16.
17.(1) (2)
【详解】（1）在三角形ABD中，由正弦定理得：，
得，
，
∵∠DBA＜∠ABC，，
故不符合题意，∴．
（2），
在三角形BCD中，由余弦定理得
CD＝＝，
∴CD＝7．
18．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）依题意，平面，平面，平面，
则有，，又，即，，两两垂直，
以点为坐标原点，射线，，分别为，，轴
非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，则，，，，，，，
则，，因此，，即，
所以.
（2）由(1)知：是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，而，，
则，令，得，
设平面与平面所成锐二面角的大小为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值是.
19．(1) (2)
【详解】（1）设事件“甲答对了道题”，事件“乙答对了道题”，，，，
由题意，，，
，，，
由题意得，甲，乙都通过考试的概率．
（2）由题意得，，
所以
．
20．（1）的单调递减区间为;（2）.
【详解】（1）
令，解得.
故的单调递减区间为
（2）由在恒成立，即，恒成立，
∵，则，作出草图，
由图知：当，
∴，即的取值范围为.
21．（1）（2）万元（3）337.2万元
【详解】（1）由，得.
设卖出一套房的平均佣金为万元，则
所以房产销售公司卖出一套房的平均佣金为万元；
（2）一个月的总佣金为万元，
月利润为万元，
所以公司月利润为337.2万元.
22．（1）（2）见解析；（3）
【详解】（Ⅰ）由已知，）
因为故所求椭圆的方程为;
（Ⅱ）法一：设，，
①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即
又因为点在椭圆上，故，解得，
此时点O到直线AB的距离为
②当直线l的斜率存在时，设其方程为．
联立得：
所以，
由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且
故
化简得，
故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值
法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）
设，
①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即
又因为点在椭圆上，故，解得，
此时点O到直线AB的距离为
②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．
联立得：
所以，
故，
即,所以,
所以,
化简得，故点O到直线AB的距离为
综上，点O到直线AB的距离为定值
（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;
当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，
则直线OB的斜率为，由得，
同理故
令，则
故综上，△AOB面积S的最小值为．
法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，
②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，
故，
令，则，
因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．
2023年秋季学期高二年级9月考试
数 学
考生注意：
1.本试满分150分，考试时间120分钟。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效。
房价区间
佣金收入
1
2
3
4
5
6
月总佣金
不超过100万元的部分
超过100万元至200万元的部分
超过200万元至300万元的部分
超过300万元的部分
销售成本占
佣金比例
2023年秋季学期高二年级9月月考
数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
A
A
D
C
C
BD
AD
BD
AD