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    四川省内江市2023_2024学年高三数学上学期第一次月考理科试题

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    这是一份四川省内江市2023_2024学年高三数学上学期第一次月考理科试题,共22页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题,选做题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(本大题共12小题,共60分)
    1. 在复平面内,复数对应的点位于()
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    【答案】D
    【解析】
    【分析】对复数进行化简,根据复数的几何意义即可.
    【详解】
    对应的点为,在第四象限,
    故选:
    2. 已知,,则“,”是“”的()
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据给定条件,利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
    【详解】由,,,,得,于是,
    由,,取,满足,显然“,”不成立,
    所以“,”是“”的充分不必要条件.
    故选:A
    3. 已知数列是等差数列,为数列的前项和,,,则()
    A. 10B. 15C. 20D. 30
    【答案】D
    【解析】
    【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案.
    【详解】因为,,
    所以

    可得,

    故选:D.
    4. 执行如图所示的程序框图,将输出的看成输入的的函数,得到函数,若,则()
    A. B. C. 或D. 1
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据程序框图得到函数解析式,再根据函数解析式求出,再分类讨论,结合函数解析式计算可得.
    【详解】由程序框图可得,则,
    若,即时,,解得(舍去);
    若,即时,,解得
    故选:B
    5. 函数的图象大致为()
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据函数的奇偶性,结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.
    【详解】函数的定义域为,关于原点对称,且,
    所以函数为奇函数,排除A,B;
    当时,函数,则,
    当时,函数单调递增,
    当时,,函数单调递减,排除D.
    故选:C
    6. 若直线:平分圆:的面积,则的最小值为().
    A. 8B. C. 4D. 6
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据题意可知:直线:过圆心,进而可得,再利用基本不等式运算求解.
    【详解】由题意可知:圆:的圆心为,
    若直线:平分圆:的面积,
    则直线:过圆心,
    可得,即,
    则,
    当且仅当,即时,等号成立,
    所以的最小值为8.
    故选:A.
    7. 为了提高命题质量,命题组指派5名教师对数学卷的选择题,填空题和解答题这3种题进行改编,则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为()
    A. 144B. 120C. 150D. 180
    【答案】C
    【解析】
    【分析】将5名老师分为和的两种情况,计算得到答案.
    【详解】5名老师分为的情况时:共有;
    5名老师分为的情况时:共有,
    故共有种不同分派方法.
    故选:C.
    8. 设实数x,y满足,则的取值范围为()
    A. B.
    C. D. 前三个答案都不对
    【答案】B
    【解析】
    【分析】利用三角换元,结合辅助角公式即可得解.
    【详解】因为x,y满足,
    令,
    则,其中,且为锐角,
    易知,则,
    于是的取值范围是.
    故选:B.
    9. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A,B两点,且,若,则双曲线离心率为()
    A. B. C. D. 2
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据给定条件,利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.
    【详解】令,则,
    在中,,由余弦定理得,
    即,解得,于是,
    在中,令双曲线半焦距为,由余弦定理得:,解得,
    所以双曲线离心率.
    故选:A
    10. 函数,若有个零点,则的取值范围是()
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】由可得出或,数形结合可知直线与函数的图象有两个交点,从而可知直线与函数有两个零点,结合图形可得出实数的取值范围.
    【详解】由,可得,
    解得或,如下图所示:
    由图可知,直线与函数的图象有两个交点,
    又因为函数有四个零点,故直线与函数有两个零点,且,
    所以,且,
    因此,实数的取值范围是.
    故选:D.
    11. 设正方体的棱长为1,点E是棱的中点,点M在正方体的表面上运动,则下列命题:
    ①如果,则点M的轨迹所围成图形的面积为;
    ②如果∥平面,则点M的轨迹所围成图形的周长为;
    ③如果∥平面,则点M的轨迹所围成图形的周长为;
    ④如果,则点M的轨迹所围成图形的面积为.
    其中正确的命题个数为()
    A. 1B. 2C. 3D. 4
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由正方体性质得面,根据线面垂直的判定定理、性质定理证面,确定轨迹图形判断①;若分别为中点,连接,根据线面平行、面面平行的判定证面面,确定轨迹图形判断②;若分别为的中点,连接,同②方式证面面,确定轨迹图形判断③;若分别是的中点,并依次连接,先证面面,结合①得面,确定轨迹图形判断④.
    【详解】由面,而面,则,又,
    又,面,则面,
    由面,则,同理,
    ,面,则面,
    所以垂直于面所有直线,且面,
    若,则在边长为的正△的边上,
    故轨迹图形面积为,①对;
    若分别为中点,连接,
    由正方体的性质易得,,
    所以共面,且为平行四边形,故面即为面,
    由面,面,则面,
    同理可得面,,面,
    所以面面,要使∥平面,则在△边上,
    所以轨迹长为,②错;
    若分别为的中点,连接,显然,
    所以共面,即面,
    由,面,面,则面,
    又,同理可得面,,面,
    所以面面,故面内任意直线都与面平行,
    要使∥平面,则在四边形的边上运动,
    此时轨迹长为,③对;
    若分别是的中点,并依次连接,
    易知为正六边形,显然,,
    由面,面,则面,同理可得面,
    ,面,所以面面,
    由面,则面,故垂直于面所有直线,
    要使,则在边长为的正六边形边上运动,
    所以轨迹图形面积为,④对;
    故选:C
    12. 已知函数是奇函数的导函数,且满足时,,则不等式的解集为()
    AB. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据已知条件构造函数,求导后可判断当时,函数单调递减,再由,可得当时,,再由为奇函数,得时,,从而可求得不等式的解集.
    【详解】令函数,则,即当时,函数单调递减,
    因为,所以当时,,当时,.
    因为当时,,当时,,所以当时,.
    又,,所以当时,;
    又为奇函数,所以当时,,
    所以不等式可化为或,解得,
    所以不等式的解集为,
    故选:D.
    【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,考查利用导数解决函数单调性问题,解题的关键是根据题意构造函数,然后求导后可判断函数的单调性,从而利用函数的单调性解不等式,考查数学转化思想,属于较难题.
    二、填空题(本大题共4小题,共20分)
    13. 展开式中的系数是__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据通项公式可求出结果.
    【详解】,
    的通项公式为,,
    所以展开式中的系数是.
    故答案为:.
    14. 已知向量,,且,则__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由,得到,然后由求解.
    【详解】解:因为,
    所以,
    所以,
    所以.
    故答案为:
    15. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,双曲线上一点A关于原点O对称的点为B,且满足,,则该双曲线的渐近线方程为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形,即可结合双曲线的定义求解,进而可求.
    【详解】由可得,
    由于关于原点对称,,关于原点对称,
    所以四边形为矩形,故,
    由于又,
    所以,因此,
    故,进而可得,
    所以渐近线方程为:
    故答案为:
    16. 如图,在直角梯形中,,将沿翻折成,使二面角为,则三棱锥外接球的表面积为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】外接球的球心为,半径为为中点,为中点,由二面角的定义可得为二面角的平面角,所以有,作于,由题意可求得,进而可得,即可得答案.
    【详解】解:如图,设外接球的球心为,半径为为中点,为中点,
    因为,所以,∥,
    又因为,,
    所以,
    所以,,
    所以,,
    所以为二面角的平面角,
    所以,
    作于,
    因为,,,
    所以平面,
    又因为平面,
    所以,
    又因为,,
    则平面,所以∥,
    则有,
    即,
    由题意可求得:,
    设,
    由题上式可得:,
    求得:,从而求得:,
    故三棱锥外接球的表面积为.
    故答案为:
    三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. 在中,是,B,所对应的分边别为,,,且满足.
    (1)求;
    (2)若,的面积为,求的周长.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)由正弦定理化边为角,结合正弦的二倍角公式变形可得;
    (2)由面积公式求得,再由余弦定理求出,从而可得周长.
    【小问1详解】
    因为,
    所以由正弦定理得,
    因为,所以,则,
    因为,所以,
    又因为,所以;
    【小问2详解】
    因为,所以,
    又由余弦定理得,,所以,
    则,
    所以的周长为:.
    18. 如图,在直三棱柱中,,是的中点,.
    (1)求证:若为中点,求证:平面;
    (2)点为中点时,求二面角余弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据线面平行的判定定理证得平面.
    (2)建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角余弦值.
    【小问1详解】
    由于是的中点,是的中点,
    所以,所以四边形是平行四边形,
    所以,由于平面,平面,
    所以平面.
    【小问2详解】
    以为原点建立如图所示空间直角坐标系,
    由于,所以,
    平面的法向量为.
    设平面的法向量为,
    所以,令可得,故.
    设二面角为,由图可知为锐角,
    .
    19. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩(百分制)的频率分布表,已知在分数段内的学生人数为21.`
    (1)求测试成绩在分数段内的人数;
    (2)现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组,若其中至少有一名男生的概率为,求分数段内男生的人数;
    (3)若在分数段内的女生为4人,现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组,为分配到此组的3名学生中男生的人数.求的分布列及期望
    【答案】(1)6(2)2
    (3)分布列见解析,
    【解析】
    【分析】(1)利用在分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数,再利用频率和为1求出,两数相乘可得答案;
    (2)设男生有人,根据抽出2人这2人都是男生的概率为,解得可得答案;
    (3)求出在分数段内的学生人数及男生人数,可得的取值及对应的概率,可得分布列和期望.
    【小问1详解】
    某班学生共有人,
    因为,所以,
    所以测试成绩在分数段内的人数为人.
    【小问2详解】
    由(1)知在分数段内的学生有6人,设男生有人,
    若抽出2人至少有一名男生的概率为,
    则,解得,所以在分数段内男生有2人.
    【小问3详解】
    在分数段内的学生有人,所以男生有2人,
    X的取值有,



    X的分布列为
    .
    20. 已知抛物线的焦点为,过点的直线与抛物线交于两点,点在第一象限,为坐标原点.
    (1)设为抛物线上的动点,求的取值范围;
    (2)记的面积为的面积为,求的最小值.
    【答案】(1);
    (2).
    【解析】
    【分析】(1)求出抛物线的焦点坐标,准线方程,设点,求出关于的函数关系,再利用二次函数性质求解作答.
    (2)设出直线的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
    【小问1详解】
    依题意,抛物线的焦点,准线方程,设,
    则,
    因此,
    而,即有,则当,即时,,
    当,即时,,
    所以的取值范围是.
    【小问2详解】
    显然直线不垂直于轴,设直线的方程为,
    由消去并整理得,显然,
    设,,则,即,
    令为点,于是的面积为,的面积为,
    因此,当且仅当,即时取等号,
    所以的最小值为.
    21. 已知函数在处取得极小值.
    (1)求实数的值;
    (2)当时,证明:.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据函数极值点与极值,求导数代入计算,即可得的值;
    (2)设,求,确定导函数的单调性与取值情况,即可得的取值情况,从而得结论.
    【小问1详解】

    由题意知,则,即,
    由,知,即.
    故,经检验符合题意;
    【小问2详解】
    由(1)得,设,
    则.
    设,则在上单调递增,
    且,所以存在唯一,
    使得,即.
    当时,单调递减;当时,单调递增.

    设,则,
    当时,单调递减,所以,所以,
    故当时,.
    【点睛】方法点睛:证明函数不等式的常用的方法:
    (1)构造差函数法:构造差函数,求导,判断函数单调性,从而得函数最值,让最值与比较大小即可得答案;
    (2)分离函数法:确定中间函数,利用导数分别证明,,即可证明结论;
    (3)放缩法:利用不等式对所证不等式进行放缩,证明放缩后的不等式成立,即可得结论.
    四、选做题(总分10分,只需要从中选择1个题目完成)
    22. 在直角坐标系中,直线经过点,倾斜角为,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
    (1)求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
    (2)设直线与曲线C相交于A,B两点,弦AB的中点为N,求的值.
    【答案】(1)的参数方程为(为参数),的直角坐标方程为
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程,根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程;
    (2)将直线参数方程代入圆的方程,得到关于参数t的一元二次方程,根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.
    【小问1详解】
    的参数方程为,即(为参数),
    因为曲线的极坐标方程为,即,
    所以化简得,
    所以的直角坐标方程为;
    【小问2详解】
    将的参数方程代入的直角坐标方程,得,
    整理,得,
    此时,
    设两点对应的参数分别为,,则,,
    所以,异号,,
    所以.
    23. 已知函数,.
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)若对任意,都有成立,求a的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)分类讨论去绝对值符号解不等式即可;
    (2)利用三角不等式化简条件式得,解不等式即可.
    小问1详解】
    当时,,
    ∴,即为,
    当时,,解得;
    当时,,恒成立;
    当时,,解得.
    综上,不等式的解集是.
    【小问2详解】
    对任意实数x都成立,即恒成立,
    ∵,
    ∴,
    当,则,
    当,则,无解;
    综上,解得,
    分数段
    频率
    0.1
    0.15
    0.2
    0.2
    0.15
    0.1
    *
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