四川省内江市2023_2024学年高三数学上学期第一次月考理科试题含解析

这是一份四川省内江市2023_2024学年高三数学上学期第一次月考理科试题含解析，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1. 在复平面内，复数对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】对复数进行化简，根据复数的几何意义即可.
【详解】
对应的点为，在第四象限，
故选：
2. 已知，，则“，”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】由，，，，得，于是，
由，，取，满足，显然“，”不成立，
所以“，”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（）
A. 10B. 15C. 20D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列性质“若则”和等差数列前项和公式计算可得答案.
【详解】因为，，
所以
，
可得，
则
故选：D.
4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（）
A. B. C. 或D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图得到函数解析式，再根据函数解析式求出，再分类讨论，结合函数解析式计算可得.
【详解】由程序框图可得，则，
若，即时，，解得（舍去）；
若，即时，，解得
故选：B
5. 函数的图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，结合导数的性质判断其单调性进行判断即可.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，排除D．
故选：C
6. 若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（）．
A. 8B. C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：圆：的圆心为，
若直线：平分圆：的面积，
则直线：过圆心，
可得，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：A.
7. 为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题进行改编，则每种题型至少至少指派1名教师的不同分派方法种数为（）
A. 144B. 120C. 150D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】将5名老师分为和的两种情况，计算得到答案.
【详解】5名老师分为的情况时：共有；
5名老师分为的情况时：共有，
故共有种不同分派方法.
故选：C.
8. 设实数x，y满足，则的取值范围为（）
A. B.
C. D. 前三个答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角换元，结合辅助角公式即可得解.
【详解】因为x，y满足，
令，
则，其中，且为锐角，
易知，则，
于是的取值范围是．
故选：B.
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线的左、右两支于A，B两点，且，若，则双曲线离心率为（）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.
【详解】令，则，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，于是，
在中，令双曲线半焦距为，由余弦定理得：，解得，
所以双曲线离心率.
故选：A
10. 函数，若有个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得出或，数形结合可知直线与函数的图象有两个交点，从而可知直线与函数有两个零点，结合图形可得出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
解得或，如下图所示：
由图可知，直线与函数的图象有两个交点，
又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，
所以，且，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
11. 设正方体的棱长为1，点E是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题：
①如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为；
②如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
③如果∥平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为；
④如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为．
其中正确的命题个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由正方体性质得面，根据线面垂直的判定定理、性质定理证面，确定轨迹图形判断①；若分别为中点，连接，根据线面平行、面面平行的判定证面面，确定轨迹图形判断②；若分别为的中点，连接，同②方式证面面，确定轨迹图形判断③；若分别是的中点，并依次连接，先证面面，结合①得面，确定轨迹图形判断④.
【详解】由面，而面，则，又，
又，面，则面，
由面，则，同理，
，面，则面，
所以垂直于面所有直线，且面，
若，则在边长为的正△的边上，
故轨迹图形面积为，①对；
若分别为中点，连接，
由正方体的性质易得，，
所以共面，且为平行四边形，故面即为面，
由面，面，则面，
同理可得面，，面，
所以面面，要使∥平面，则在△边上，
所以轨迹长为，②错；
若分别为的中点，连接，显然，
所以共面，即面，
由，面，面，则面，
又，同理可得面，，面，
所以面面，故面内任意直线都与面平行，
要使∥平面，则在四边形的边上运动，
此时轨迹长为，③对；
若分别是的中点，并依次连接，
易知为正六边形，显然，，
由面，面，则面，同理可得面，
，面，所以面面，
由面，则面，故垂直于面所有直线，
要使，则在边长为的正六边形边上运动，
所以轨迹图形面积为，④对；
故选：C
12. 已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则不等式的解集为（）
AB. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数，求导后可判断当时，函数单调递减，再由，可得当时，，再由为奇函数，得时，，从而可求得不等式的解集.
【详解】令函数，则，即当时，函数单调递减，
因为，所以当时，，当时，.
因为当时，，当时，，所以当时，.
又，，所以当时，；
又为奇函数，所以当时，，
所以不等式可化为或，解得，
所以不等式的解集为，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后求导后可判断函数的单调性，从而利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 展开式中的系数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据通项公式可求出结果.
【详解】，
的通项公式为，，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
14. 已知向量，，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，然后由求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足，，则该双曲线的渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直关系以及双曲线的对称性可得四边形为矩形，即可结合双曲线的定义求解，进而可求.
【详解】由可得，
由于关于原点对称，,关于原点对称，
所以四边形为矩形，故，
由于又，
所以，因此，
故，进而可得，
所以渐近线方程为：
故答案为：
16. 如图，在直角梯形中，，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】外接球的球心为，半径为为中点，为中点，由二面角的定义可得为二面角的平面角，所以有，作于，由题意可求得，进而可得，即可得答案.
【详解】解：如图，设外接球的球心为，半径为为中点，为中点，
因为，所以，∥，
又因为，，
所以，
所以,,
所以，，
所以为二面角的平面角，
所以，
作于，
因为，，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，,
则平面，所以∥，
则有，
即，
由题意可求得：，
设，
由题上式可得：，
求得：，从而求得：，
故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得；
（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长．
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，则，
因为，所以，
又因为，所以；
【小问2详解】
因为，所以，
又由余弦定理得，，所以，
则，
所以的周长为：．
18. 如图，在直三棱柱中，，是的中点，.
（1）求证：若为中点，求证：平面；
（2）点为中点时，求二面角余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角余弦值.
【小问1详解】
由于是的中点，是的中点，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，由于平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由于，所以，
平面的法向量为.
设平面的法向量为，
所以，令可得，故.
设二面角为，由图可知为锐角，
.
19. 下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生人数为21.`
（1）求测试成绩在分数段内的人数；
（2）现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；
（3）若在分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
【答案】（1）6（2）2
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用在分数段内的学生数为21人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；
（2）设男生有人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为，解得可得答案；
（3）求出在分数段内的学生人数及男生人数，可得的取值及对应的概率，可得分布列和期望.
【小问1详解】
某班学生共有人，
因为，所以，
所以测试成绩在分数段内的人数为人.
【小问2详解】
由（1）知在分数段内的学生有6人，设男生有人，
若抽出2人至少有一名男生的概率为，
则，解得，所以在分数段内男生有2人.
【小问3详解】
在分数段内的学生有人，所以男生有2人，
X的取值有，
，
，
，
X的分布列为
.
20. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
（1）设为抛物线上的动点，求的取值范围；
（2）记的面积为的面积为，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设点，求出关于的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，抛物线的焦点，准线方程，设，
则，
因此，
而，即有，则当，即时，，
当，即时，，
所以的取值范围是.
【小问2详解】
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，显然，
设，，则，即，
令为点，于是的面积为，的面积为，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
21. 已知函数在处取得极小值.
（1）求实数的值；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数极值点与极值，求导数代入计算，即可得的值；
（2）设，求，确定导函数的单调性与取值情况，即可得的取值情况，从而得结论.
【小问1详解】
，
由题意知，则，即，
由，知，即．
故，经检验符合题意；
【小问2详解】
由（1）得，设，
则．
设，则在上单调递增，
且，所以存在唯一，
使得，即．
当时，单调递减；当时，单调递增．
．
设，则，
当时，单调递减，所以，所以，
故当时，．
【点睛】方法点睛：证明函数不等式的常用的方法：
（1）构造差函数法：构造差函数，求导，判断函数单调性，从而得函数最值，让最值与比较大小即可得答案；
（2）分离函数法：确定中间函数，利用导数分别证明，，即可证明结论；
（3）放缩法：利用不等式对所证不等式进行放缩，证明放缩后的不等式成立，即可得结论.
四、选做题（总分10分，只需要从中选择1个题目完成）
22. 在直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，弦AB的中点为N，求的值.
【答案】（1）的参数方程为（为参数），的直角坐标方程为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线过点及倾斜角即可写出参数方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式写出曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线参数方程代入圆的方程，得到关于参数t的一元二次方程，根据根与系数的关系及参数的几何意义求解即可.
【小问1详解】
的参数方程为，即（为参数），
因为曲线的极坐标方程为，即，
所以化简得，
所以的直角坐标方程为；
【小问2详解】
将的参数方程代入的直角坐标方程，得，
整理，得，
此时，
设两点对应的参数分别为，，则，，
所以，异号，，
所以.
23. 已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对任意，都有成立，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式即可；
（2）利用三角不等式化简条件式得，解不等式即可.
小问1详解】
当时，，
∴，即为，
当时，，解得；
当时，，恒成立；
当时，，解得．
综上，不等式的解集是．
【小问2详解】
对任意实数x都成立，即恒成立，
∵，
∴，
当，则，
当，则，无解；
综上，解得，
分数段
频率
0.1
0.15
0.2
0.2
0.15
0.1
*
0
1
2