安徽省皖东智校协作联盟2024届高三数学上学期10月联考试题含解析

这是一份安徽省皖东智校协作联盟2024届高三数学上学期10月联考试题含解析，共20页。试卷主要包含了在棱长为2的正方体中，点为线段等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分 考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则等于（ ）
A.B.0C.1D.2
2.已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
3.已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A.的最小值是B.的最小值是
C.的最大值是D.的最大值是
5.锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
是无理数的近似值，被称为黄金比值.我们把腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，是顶角为，底的第一个黄金三角形，是顶角为的第二个黄金三角形，是顶角为的第三个黄金三角形，是顶角为的第四个黄金三角形…，那么依次类推，第2023个黄金三角形的周长大约为（ ）
A.B.C.D.
7.已知定义在上的函数是偶函数，当时，若关于的方程有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
8.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论不正确的是（ ）
A.椭圆的离心率为
B.面积的最大值为
C.到的左焦点的距离的最小值为
D.若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为，，，每天读书时间的方差分别为，，，则下列正确的是（ ）
A.从高二年级抽取30人
B.被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时
C.被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时
D.估计全体学生每天的读书时间的方差为
10.在棱长为2的正方体中，点为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为定值
B.在点运动过程中，存在某个位置使得平面
C.截面三角形面积的最大值为
D.当三棱锥为正三棱锥时，其内切球半径为
11.乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，是推动外交的体育项目，被誉为“小球推动大球”.某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛甲，乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，下列说法正确的是（ ）
A.三局就结束比赛的概率为B.的常数项为3
C.D.
12.已知函数和有相同的极大值，若存在，使得成立，则（ ）
A.
B.
C.当时，
D.若的根记为，，的根记为，，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.展开式中，项的系数为______.
14.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球，5个红球，乙箱中有8个红球，2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子中随机摸出1个球.则在摸到红球的条件下，红球来自甲箱子的概率为______.
15.若正四面体的侧面所在平面内有一动点，已知到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则的值为______.
16.已知函数，函数，若，使成立，则实数的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条供市民游玩的绿道，绿道的前一部分为曲线，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为，绿道的后一段为折线段，且（如图所示）.
（1）求实数和的值以及、两点之间的距离；
（2）求面积的最大值.
18.（本小题满分12分）
如图，在棱长为的正方体中，，分别是，中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线.
（1）画出直线的位置，并说明作图依据；
（2）正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积.
19.（本小题满分12分）
教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.
（1）在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：）
（2）高考毕业，为了增加自己的教育储蓄，你利用暑假到一家商场勤工俭学，该商场向你提供了三种付酬方案：
第一种，每天支付38元；
第二种，第1天付4元，从第2天起，每一天比前一天都多付4元；
第三种，第1天付0.4元，以后每一天比前一天翻一番（即增加1倍）.
你会选择哪种方式领取报酬？
20.（本小题满分12分）
统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学.面对一个统计问题，首先要根据实际需求，通过适当的方法获取数据，并选择适当的统计图表对数据进行整理和描述，在此基础上用各种统计方法对数据进行分析，从样本数据中提取需要的信息，推断总体的情况，进而解决相应的实际问题.
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇.
同学们在学完高中统计和概率相关章节后，探讨了以下两个问题，请帮他们解决：
（1）从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间，并分别计算在三种抽样方式下抽到的两人都是男生的概率，结合计算结果分析三种抽样；
（2）一个袋子中有100个除颜色外完全相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数，分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列和数学期望.结合计算结果分析两种摸球方式的特点.
21.（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数，设，，且.
（1）证明：；
（2）当时，证明：.
参考答案及多维细目表
1.【答案】B
【解析】由题意可得，可得，，，，，则，，故
.故选B.
2.【答案】C
【解析】∵，∴，
①当时，满足，此时，解得；
②当时，由，得，解得；综上所述，，故选C.
3.【答案】A
【解析】，，，
，当时，，即和夹角为，
故是和夹角为的充分不必要条件.故选A.
4.【答案】C
【解析】由得，即，∴数列为递减的等差数列，
∵，∴，，∴当且时，；当且时，；
∴有最大值，最大值为.故选C.
5.【答案】B
【解析】由，得，
由余弦定理得，∴，即，
由正弦定理得，
∵，∴，
即.∵，∴，∴，
又为锐角三角形，∴，∴，解得，
又，，，∴，
∴.故选B.
6.【答案】D
【解析】第一个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
第二个黄金三角形：的底为，由可得腰长；
第三个黄金三角形：的底为，由可得腰长；…
以此类推，第2023个黄金三角形的底为，腰长为，
∴周长为，∵，
∴原式.故选D.
7.【答案】C
【解析】由题意可知，函数的图像如下图所示：
根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；
且时取最大值2，在时取最小值0，是部分图像的渐近线.
令，则关于的方程即可写成，此时关于的方程应该有两个不相等的实数根（其他情况不合题意），
设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当，时，此时，则；
②当，时，此时，则；
综上可知，实数的取值范围是.故选C.
8.【答案】B
【解析】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，∴，得，∴椭圆的离心率，故A正确；
对于B，∵点，，都在圆上，且，∴为圆的直径，∴，∴面积的最大值为，故B错误；
对于C，解法一：设，的左焦点为，连接，∵，
∴，
又，∴，则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；
解法二：为圆上的动点，到左焦点的距离的最小值就是到圆心的距离减去到左焦点的距离，即为，故C正确；
对于D，由直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称，
设，，则，又，，
又两式相减得，∴，
又，∴，故D正确.故选B.
9.【答案】ACD
【解析】对A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；
对B，抽取的高二年级每天的总读书时间为，抽取的高一年级每天的总读书时间为，高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；
对C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为（小时），故C正确；对D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为，∴估计全体学生每天的读书时间的方差为，故D正确.故选ACD.
10.【答案】AC
【解析】对A，，而为定值.
连接，∵且，∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面，∴上所有点到平面的距离不变，
∴三棱锥的高不变，∴为定值，故A正确；
对B，若平面，平面，则，又，∴，不成立，故B错误；
对C，∵为定值，∴只要到的距离最长，过作于，过作于，连接，∵，∴，又，，平面，∴平面，又平面，则，要使最长，只需最长，即点在时，最长，此时，故C正确；
对D，当在点时，为正三棱锥，设三棱锥的内切球的半径为，由等体积法：，∴，∴，故D错误.故选AC.
11.【答案】BCD
【解析】设实际比赛局数为，则，，，因此三局就结束比赛的概率为，故A错误；，由，则常数项为3，故B正确；
，故C正确；
，
∵，∴，令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∵，
∴关于对称，且越极端，越可能快结束，有，得，则D正确.故选BCD.
12.【答案】ACD
【解析】，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，上单调递减，∴在处取得极大值，
，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，上单调递减，∴在处取得极大值，依据题意，和有相同的极大值，故，解得，故A正确；
作出函数图象如下图所示，若，则，故B错误；
由图像可知，当时，，，∴，C正确；
对于D，若时，则，，，
则有，∴，可得，同理可得，
∴，故D正确.故选ACD.
13.【答案】
【解析】，∵的指数是3，∴得到，∵的指数是2，得到，∴项的系数为.
14.【答案】
【解析】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，故从甲箱中摸到红球的概率为；
从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为；
因此，摸到红球的概率为，∴红球来自甲箱子的概率.
15.【答案】
【解析】设正四面体二面角平面角为，则，点到底面的距离为，点到定直线的距离为，则.再由点到底面的距离与到点的距离之比为正常数，可得，故，∵平面内，点为定点，直线为定直线，又动点的轨迹是抛物线，故，故.
16.【答案】
【解析】
∵，
则，
设，，，如图，∴，∴，当且仅当，，三点共线且在，之间时等号成立，又，故的最大值为；∵，令，则，
化简可得，
∴，∴，
又，使成立，∴，∴，故.
17.【解析】（1）图像的最高点为，且，∴，根据图像可知，则，，解得，∴的解析式为，
令，得即的坐标为，∴，
综上，，，、两点之间的距离为10.……5分
（2）在中，，，由余弦定理可得，即，由均值不等式得，∴.∴面积最大值为.10分
18.【解析】（1）延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置.
∵，∴平面，平面，
∴平面平面，∴平面平面，则即为直线的位置.（也可根据线面平行性质确定直线位置）……6分
（2）设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三
棱台，
.……12分
19.【解析】（1），
∴在十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为17000元.……4分
（2）设到商场勤工俭学的天数为，则第一种方案领取的报酬为；
第二种方案每天报酬与天数成首项为4，公差为4的等差数列，利用等差数列的前项和公式可得：领取的报酬为；
第三种方案每天报酬与天数成首项为0.4，公比为2的等比数列，利用等比数列的前项和公式可得：领取的报酬为.，
当时，；当时，；当时，.
令，
则，
当时，，此时数列单调递减，则；
当时，，此时数列单调递增，即.
∵，则，又∵，，故当时，，即，
当时，，即.令，其中，
则，
令，则，
当时，，此时数列单调递增，则，则，
∴当时，数列单调递增，则，即，
综上所述，当时，，应选第一种方案；
当时，，应选第三种方案.……12分
20.【解析】（1）设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组表示样本点.设事件“抽到两名男生”，有放回简单随机抽样的样本空间
，
；……2分
不放回简单随机抽样的样本空间
，；……4分
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间，
∵按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，∴，因此.……5分
计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现.所以改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.……6分
（2）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验是独立的，因此，
的分布列为，，
的数学期望为；……8分
对于不放回摸球，各次试验不独立，服从超几何分布，
的分布列为，，
的数学期望为.……10分
说明：二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.……12分
21.【解析】（1）由题意得：设，，
∴，又∵垂足位于第一象限，垂足位于第四象限，，
∴的轨迹方程为.…4分
（2）由对称性，不妨设在第一象限，设，则，
设直线的斜率为，记，由为的角平分线，
则，其中，，，，
∴，
同理得：，代入中，，
化简得：，将代入，中，解得：，，
∴，，
设直线的方程为，将代入，解得：，
∴直线的方程为，，
由点到直线距离公式得：，
由直线的斜率为，设直线的方程为，
将点代入，解得：，
∴直线的方程为，将其与联立得：
，
设，则，，
由可知，，
由均值不等式，，当且仅当，
即时，等号成立，∵，故，∴，当且仅当时，等号成立，的最大值为.……12分
22.【解析】（1），不妨设，，即，得，令，则，即证：，令，，
∴在上是减函数，∴，∴得证，
∴成立.……5分
（2）方法一：当时，，，
令，则，
∴在单调递增，∴，
当时，，
设，则，
在单调递减，∴，即，
令，∴，
即，
∴，若能证，即可证，
即证：，令，，
∴在单调递增∴，得证.∴当时，.……12分
方法二：证明：令，，
当时，，当时，，
从而在单调递减，上单调递增，
当时，，即，，
（这里用到，），
令，，
从而，，从而，即.
当时，要证即证，
令，则只需证，
令，则，
当时，，
∴时，，，∴.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
C
B
D
C
B
ACD
AC
BCD
ACD