黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊校2024届高三数学上学期9月月考试题

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市地区普高联谊校2024届高三数学上学期9月月考试题，共10页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，函数的图象为，若函数，则函数的单调递减区间为，下列命题中是真命题的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数，导数。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则集合的子集的个数为（ ）
A.7B.8C.15D.16
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.曲线在处的切线斜率为（ ）
A.0B.1C.2D.
4.设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.函数的图象为（ ）
A.B.C.D.
6.若函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A.B.C.D.
7.已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数是定义域为的偶函数且为奇函数，当时，，若，则（ ）
A.B.2C.D.0
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中是真命题的是（ ）
A.，B.，
C.，使D.，
10.已知函数，若函数在上有极值，则实数可以为（ ）
A.0B.1C.D.2
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A.在上是增函数B是奇函数
C.的值域是D.的值域是
12.已知函数，，则（ ）
A.时，有极小值B.有极小值
C.若，则D.的零点最多有1个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为______.
14.已知，，且，则的最小值为______.
15.已知函数对，，有，则实数的取值范围是______.
16.已知函数，若不等式恒成立，则实数的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知集合，.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19.（12分）
已知幂函数在上是减函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
20.（12分）
某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）是关于时间的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元.
（1）求该商场的日收入（单位：元）与时间的函数关系式；
（2）求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值.
21.（12分）
已知函数的定义域为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.
22.（12分）
已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若存在，使得，求的取值范围.
2023年齐市地区普高联谊校高三第一次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.B由题知，，故，∴集合的子集个数为个.
2.C，故“”是“”的充要条件.
3.B，.
4.C
5.D函数的定义域为，∵，∴该函数为奇函数（也可由“为偶函数，为奇函数，则为奇函数”判断），故A错误；又当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故B，C错误；时，时，且时取等号，故D正确.
6.C函数，定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.
7.D由题知函数，，都为增函数，又，，∴；，，∴；，，∴，∴.
8.B ∵为奇函数，∴，又为偶函数，∴，
∴，即，∴，由，易得，，∴，∴，，解得，，∴当时，，.
9.ABC，故A正确；当时，，故B正确；当，满足，故C正确；当时，，故D错误.
10.BC由题意知，在上有变号零点，又易知在上单调递减，故，可得解得.
11.BC根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；∵
，，∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确.
12.AC时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴有极小值，A正确；，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴有极大值，无极小值，B错误；由，得，即，设，∴；设，则，，当时，，为减函数，注意到，时，，不合题意；当时，，时，，为减函数，时，，为增函数，∴，设，则，当时，，为减函数；当时，，为增函数；∴，∴只有当时，才能成立，∴，故C正确；由C知，，，，为增函数；当时，，当无限趋近于0时，无限趋近于，且，即此时有两个零点，∵为增函数且，∴此时有两个零点，同理可得，当时，有两个零点.当时，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点.当时，为减函数，，此时有一个零点1，∴此时有一个零点，D错误.
13.
14.8∵，，，，，∴
，当且仅当时等号成立，故的最小值为8.
15.∵对，，有，∴函数在上单调递减，故解得.
16.依题意，，所以在上单调递增，且，为奇函数，
，令，求导得，函数在上单调递增，当时，有，于是，当时，显然成立，因此，即，令，，求导得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，则，而，有，所以的最小值为.
17.解：（1），……2分
.……3分
∵“”是“”的充分不必要条件，∴，
∴解得，∴实数的取值范围是.……5分
（2）由（1）知，.
∵，∴或，解得或，
∴实数的取值范围为.……10分
18.解：（1），，所以，，
则曲线在点处的切线方程为，即.……5分
（2）因为，所以在上单调递增.……8分
因为，所以当时，，所以.故实数的取值范围为.……12分
19.解：（1）由函数为幂函数得，解得或，…2分
又函数在上是减函数，则，即，……4分
所以，.……6分
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，……8分
所以解得，所以实数的取值范围是.……12分
20.解：（1）设，由题意可得解得
则，……3分
故.……6分
（2）因为，所以，……9分
则，当且仅当时，等号成立；……11分
故该商场第5天的日收入最少，且日收入的最小值为360000元.……12分
21.解：（1）因为的定义域为，所以对任意的恒成立.
①当时，符合题意；……2分
②当时，解得，
综上所述：，即.……4分
（2）令，开口向上的二次函数的对称轴为，
当时，单调递减，也单调递减；当时，单调递增，也单调递增.
……6分所以，……8分
而，所以，……10分
所以，解得或.……12分
22.解：（1）时，，.
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.……4分
（2）函数的定义域为，，
∴.……6分
①当时，则，则当时，，∴函数在单调递增，
∴存在，使得的充要条件是，即，
解得；……8分
②当时，则，则当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增.
∴存在，使得的充要条件是，
而，不符合题意，应舍去.……10分
③当时，，函数在上单调递减，又，成立.
……11分