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专题01 相似三角形（考题猜想，易错必刷40题9种题型专项训练）解析版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）
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这是一份专题01 相似三角形（考题猜想，易错必刷40题9种题型专项训练）解析版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版），共27页。试卷主要包含了下列各组图形中，不一定相似的是，如果，那么 ，已知，那么 ，已知，那么的值为 ，若，则 ，，那么 ，若，那么 等内容，欢迎下载使用。
相似图形 比例的性质
三角形的重心 黄金分割
平行线分线段成比例 相似三角形的性质
相似三角形的判定 相似三角形的判定与性质
相似三角形的应用
一．相似图形（共1小题）
1．（2024秋•虹口区校级月考）下列各组图形中，不一定相似的是
A．一组邻边对应成比例的两个矩形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．有一个内角相等的两个菱形
D．有两条边对应成比例的两个直角三角形
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【解答】解：．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意；
．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意；
．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意；
．有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
二．比例的性质（共9小题）
2．（2023秋•静安区校级期中）如果，那么下列四个选项中一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
故符合题意；
、，
，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
设，，
，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2023秋•金山区期末）如果，那么 ．
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：设，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
4．（2024•闵行区）已知，那么 ．
【分析】根据比例的性质“如果，那么”计算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查比例的性质，理解并灵活运用它是本题的关键．
5．（2024•崇明区）已知，那么的值为 ．
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
设，则，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
6．（2023秋•松江区期末）若，则 ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
7．（2023秋•嘉定区期末）如果、都不等于零），那么 ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8．（2023秋•松江区校级月考）已知，那么 ．
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
设，则，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
9．（2023秋•青浦区期末）如果，那么 ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10．（2023秋•闵行区期中）若，那么 ．
【分析】依据，可设，则，，，再代入代数式进行化简计算即可．
【解答】解：设，则
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，利用设法是解决问题的关键．
三．三角形的重心（共3小题）
11．（2023秋•普陀区期末）已知点为等边三角形的重心，为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么 ．
【分析】在中，延长交于点，根据重心的概念得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据重心的性质计算，得到答案．
【解答】解：在等边三角形中，
延长交于点，
点是的重心，
．
为等边三角形，
．
．
点是的重心，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了重心的概念、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
12．（2023秋•黄浦区期中）已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为 ．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．
【解答】解：是等腰直角的重心，，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
13．（2023秋•长宁区校级月考）已知、是的中线，、相交于点，如果，那么的长是 4 ．
【分析】根据三角形的重心的概念和性质计算即可．
【解答】解：、是的中线，
点是的重心，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
四．黄金分割（共10小题）
14．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是
A．B．
C．D．是与的比例中项
【分析】根据黄金分割的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：是线段上的黄金分割点，且，
，
，
是与的比例中项，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15．（2023秋•金山区期末）点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16．（2024•崇明区）如果点是线段的黄金分割点，那么的值是 ．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
17．（2023秋•浦东新区期末）已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：线段，是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
18．（2023秋•松江区期末）已知点是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
19．（2023秋•嘉定区期末）已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 ．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的一个黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
20．（2023秋•青浦区期末）已知线段，点是的黄金分割点，且，那么 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：线段，点是的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
21．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点在线段上，且，
点是的黄金分割点，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
22．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，其中较短，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
23．（2023•松江区一模）已知线段，是的黄金分割点，且，那么的长是 ．
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：是的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
五．平行线分线段成比例（共5小题）
24．（2023秋•长宁区校级月考）如图，点、分别在的边、上，下列条件中能够判定的是
A．B．C．D．
【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：．由，不能得到，故本选项不合题意；
．由，不能得到，故本选项不合题意；
．由，不能得到，故本选项不合题意；
．由，能得到，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
25．（2023秋•金山区校级期中）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：．，，选项能判定；
．由，不能得到，选项不能判定；
．，，选项能判定；
．，，选项能判定．
故选：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
26．（2023秋•浦东新区校级期中）在中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是
A．B．C．D．
【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．
【解答】解：，
，
当时，，
，故选项能够判断；
而，，选项不能判断；
故选：．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
27．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：．当时，能判断；
．当时，能判断；
．当时，不能判断；
．当时，能判断；
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
28．（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是
A．B．
C．D．
【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段．
【解答】解：由题意，
，
线段没法先作出，
选项错误，
根据平行线分线段成比例定理，只有符合．
故选：．
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项看似正确，实际上前面的线段没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选导致出错．
六．相似三角形的性质（共1小题）
29．（2023秋•长宁区校级期中）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于 24 ．
【分析】由于△，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△的最大边的长．
【解答】解：设△的最大边长是，
根据相似三角形的对应边的比相等，可得：
，
解得：，
△最大边的长等于24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
七．相似三角形的判定（共2小题）
30．（2023秋•奉贤区期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，联结．下列两个三角形不一定相似的是
A．与B．与C．与D．与
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【解答】解：如图，
根据旋转的性质得，，
，，，，，
，，
，
故不符合题意；
，，，
，
，
又，
，
故不符合题意；
，，
，
故不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，
故符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．
31．（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有
A．4组B．5组C．6组D．7组
【分析】题目所给的五组条件分别是边的比和角相等，若选角相等，则任选两组即可；若选边成比例且角相等，则角必须是对应边的夹角；若都选边的比相等，则要证两个三角形的三边都对应成比例；可由此进行判断．
【解答】解：选①②，可得：，由可判定两个三角形相似；
选①④或②⑤，可通过判定两个三角形相似；
若选③④、③⑤或④⑤，可通过判定两个三角形相似；
所以共有6组；故选．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质（共8小题）
32．（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是
A．B．C．D．
【分析】依据题意，由四边形是平行四边形，从而，，，又，故垂直平分，进而可以判断；依据题意，可得，又，从而，则，结合，故可判断；由，又，，可得，进而，即，故可判断；由，可得，再由，故，则，从而可以判断．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，．
又，
垂直平分．
，正确，故不符合要求．
．
，
．
．
又，
，正确，故不符合要求．
，
，，
，，即．
，正确，故不符合要求．
，
．
又，
．
，错误，故符合要求．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
33．（2022秋•崇明区期末）如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为
A．B．C．D．
【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出．
【解答】解：过点作，交延长线于，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
是正方形对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
；
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
34．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
35．（2023秋•普陀区期中）如图，在，平分，，，，，则 2 ．
【分析】根据平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得，最后再根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，即可解答．
【解答】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
36．（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得，，，，从而证明字模型相似，，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（2）连接，利用（1）的结论可得，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得，再根据，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
37．（2023秋•黄浦区期中）如图，在中，点、分别在边、上，联结、，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
38．（2023秋•松江区月考）如图1，在中，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，在上且，延长交于，若，求的值．
【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似，证明，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（2）过点作，交的延长线于点，利用（1）的结论可得，先，，从而求出的长，进而求出的值，再根据已知设，，从而求出，的长，然后证明字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，再证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，从而求出的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：过点作，交的延长线于点，
，
，
设，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的值为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
39．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．
（1）求证：；
（2）点在底边上，，，联结，如果与的面积相等，求的长．
【分析】（1）根据题意可证明，，所以，则；
（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）根据题意可得，，
，
，
，
和面积相等，
，
解得．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．
九．相似三角形的应用（共1小题）
40．（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，再根据矩形的性质可得，从而可得，，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设米，利用（1）的结论可得：，从而利用相似三角形的性质可得米，然后根据题目的已知可得，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；
（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的，
理由：设米，
由（1）可得：，
，
，
米，
矩形花坛的面积平方米，
由题意得：，
，
整理得：，
△，
此方程没有实数根，
矩形花坛的面积不能占空地面积的．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
相似图形 比例的性质
三角形的重心 黄金分割
平行线分线段成比例 相似三角形的性质
相似三角形的判定 相似三角形的判定与性质
相似三角形的应用
一．相似图形（共1小题）
1．（2024秋•虹口区校级月考）下列各组图形中，不一定相似的是
A．一组邻边对应成比例的两个矩形
B．两个顶角相等的等腰三角形
C．有一个内角相等的两个菱形
D．有两条边对应成比例的两个直角三角形
【分析】利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．
【解答】解：．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意；
．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意；
．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意；
．有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查相似的判定，难度不大，判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
二．比例的性质（共9小题）
2．（2023秋•静安区校级期中）如果，那么下列四个选项中一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，
，
故符合题意；
、，
，
，
故不符合题意；
、，
，
故不符合题意；
、，
设，，
，
故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．（2023秋•金山区期末）如果，那么 ．
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：设，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
4．（2024•闵行区）已知，那么 ．
【分析】根据比例的性质“如果，那么”计算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：
【点评】本题考查比例的性质，理解并灵活运用它是本题的关键．
5．（2024•崇明区）已知，那么的值为 ．
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
设，则，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
6．（2023秋•松江区期末）若，则 ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
7．（2023秋•嘉定区期末）如果、都不等于零），那么 ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8．（2023秋•松江区校级月考）已知，那么 ．
【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
设，则，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键．
9．（2023秋•青浦区期末）如果，那么 ．
【分析】利用比例的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10．（2023秋•闵行区期中）若，那么 ．
【分析】依据，可设，则，，，再代入代数式进行化简计算即可．
【解答】解：设，则
，，，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，利用设法是解决问题的关键．
三．三角形的重心（共3小题）
11．（2023秋•普陀区期末）已知点为等边三角形的重心，为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么 ．
【分析】在中，延长交于点，根据重心的概念得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据重心的性质计算，得到答案．
【解答】解：在等边三角形中，
延长交于点，
点是的重心，
．
为等边三角形，
．
．
点是的重心，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了重心的概念、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
12．（2023秋•黄浦区期中）已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为 ．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．
【解答】解：是等腰直角的重心，，
，
由勾股定理得：，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
13．（2023秋•长宁区校级月考）已知、是的中线，、相交于点，如果，那么的长是 4 ．
【分析】根据三角形的重心的概念和性质计算即可．
【解答】解：、是的中线，
点是的重心，
，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
四．黄金分割（共10小题）
14．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是
A．B．
C．D．是与的比例中项
【分析】根据黄金分割的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：是线段上的黄金分割点，且，
，
，
是与的比例中项，
故选：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15．（2023秋•金山区期末）点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
16．（2024•崇明区）如果点是线段的黄金分割点，那么的值是 ．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
17．（2023秋•浦东新区期末）已知线段，是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：线段，是线段的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
18．（2023秋•松江区期末）已知点是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
19．（2023秋•嘉定区期末）已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么 ．
【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的一个黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
20．（2023秋•青浦区期末）已知线段，点是的黄金分割点，且，那么 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：线段，点是的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
21．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点在线段上，且，
点是的黄金分割点，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
22．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 ．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，其中较短，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
23．（2023•松江区一模）已知线段，是的黄金分割点，且，那么的长是 ．
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：是的黄金分割点，且，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
五．平行线分线段成比例（共5小题）
24．（2023秋•长宁区校级月考）如图，点、分别在的边、上，下列条件中能够判定的是
A．B．C．D．
【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：．由，不能得到，故本选项不合题意；
．由，不能得到，故本选项不合题意；
．由，不能得到，故本选项不合题意；
．由，能得到，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
25．（2023秋•金山区校级期中）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：．，，选项能判定；
．由，不能得到，选项不能判定；
．，，选项能判定；
．，，选项能判定．
故选：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
26．（2023秋•浦东新区校级期中）在中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是
A．B．C．D．
【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．
【解答】解：，
，
当时，，
，故选项能够判断；
而，，选项不能判断；
故选：．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
27．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：．当时，能判断；
．当时，能判断；
．当时，不能判断；
．当时，能判断；
故选：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
28．（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是
A．B．
C．D．
【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段．
【解答】解：由题意，
，
线段没法先作出，
选项错误，
根据平行线分线段成比例定理，只有符合．
故选：．
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项看似正确，实际上前面的线段没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选导致出错．
六．相似三角形的性质（共1小题）
29．（2023秋•长宁区校级期中）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于 24 ．
【分析】由于△，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△的最大边的长．
【解答】解：设△的最大边长是，
根据相似三角形的对应边的比相等，可得：
，
解得：，
△最大边的长等于24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．
七．相似三角形的判定（共2小题）
30．（2023秋•奉贤区期末）如图，将绕点顺时针旋转，使得点落在边上，点、的对应点分别为、，边交于点，联结．下列两个三角形不一定相似的是
A．与B．与C．与D．与
【分析】根据旋转的性质得到，，，，，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．
【解答】解：如图，
根据旋转的性质得，，
，，，，，
，，
，
故不符合题意；
，，，
，
，
又，
，
故不符合题意；
，，
，
故不符合题意；
根据题意，无法求解与相似，
故符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定、旋转的性质是解题的关键．
31．（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有
A．4组B．5组C．6组D．7组
【分析】题目所给的五组条件分别是边的比和角相等，若选角相等，则任选两组即可；若选边成比例且角相等，则角必须是对应边的夹角；若都选边的比相等，则要证两个三角形的三边都对应成比例；可由此进行判断．
【解答】解：选①②，可得：，由可判定两个三角形相似；
选①④或②⑤，可通过判定两个三角形相似；
若选③④、③⑤或④⑤，可通过判定两个三角形相似；
所以共有6组；故选．
【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定方法：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
八．相似三角形的判定与性质（共8小题）
32．（2024•青浦区二模）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过作的垂线交于点，与相交于点，且，那么下列结论错误的是
A．B．C．D．
【分析】依据题意，由四边形是平行四边形，从而，，，又，故垂直平分，进而可以判断；依据题意，可得，又，从而，则，结合，故可判断；由，又，，可得，进而，即，故可判断；由，可得，再由，故，则，从而可以判断．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，．
又，
垂直平分．
，正确，故不符合要求．
．
，
．
．
又，
，正确，故不符合要求．
，
，，
，，即．
，正确，故不符合要求．
，
．
又，
．
，错误，故符合要求．
故选：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
33．（2022秋•崇明区期末）如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为
A．B．C．D．
【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出．
【解答】解：过点作，交延长线于，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
是正方形对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
；
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
34．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
35．（2023秋•普陀区期中）如图，在，平分，，，，，则 2 ．
【分析】根据平行线的性质可得，，从而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算可得，最后再根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，即可解答．
【解答】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可得等腰三角形是解题的关键．
36．（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得，，，，从而证明字模型相似，，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（2）连接，利用（1）的结论可得，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得，再根据，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】（1）证明：，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
37．（2023秋•黄浦区期中）如图，在中，点、分别在边、上，联结、，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，由已知条件得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
，
，
．
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
38．（2023秋•松江区月考）如图1，在中，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）如图2，在上且，延长交于，若，求的值．
【分析】（1）利用两角相等的两个三角形相似，证明，然后利用相似三角形的性质即可解答；
（2）过点作，交的延长线于点，利用（1）的结论可得，先，，从而求出的长，进而求出的值，再根据已知设，，从而求出，的长，然后证明字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，再证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，从而求出的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：，，
，
，
；
（2）解：过点作，交的延长线于点，
，
，
设，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的值为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
39．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形中，，分别交对角线、底边于点、，且．
（1）求证：；
（2）点在底边上，，，联结，如果与的面积相等，求的长．
【分析】（1）根据题意可证明，，所以，则；
（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）根据题意可得，，
，
，
，
和面积相等，
，
解得．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形的面积比，得出方程是解题关键．
九．相似三角形的应用（共1小题）
40．（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
【分析】（1）过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，，，再根据矩形的性质可得，从而可得，，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设米，利用（1）的结论可得：，从而利用相似三角形的性质可得米，然后根据题目的已知可得，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：米，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得：，
，
这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12；
（2）矩形花坛的面积不能占空地面积的，
理由：设米，
由（1）可得：，
，
，
米，
矩形花坛的面积平方米，
由题意得：，
，
整理得：，
△，
此方程没有实数根，
矩形花坛的面积不能占空地面积的．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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