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期中真题必刷易错、压轴60题（12个考点专练）原卷版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）
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这是一份期中真题必刷易错、压轴60题（12个考点专练）原卷版-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版），共23页。试卷主要包含了若，那么 ，已知是线段上的黄金分割点，且，已知等内容，欢迎下载使用。
1．（2023秋•静安区校级期中）如果，那么下列四个选项中一定正确的是
A．B．C．D．
2．（2023秋•闵行区期中）若，那么 ．
二．黄金分割（共3小题）
3．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是
A．B．
C．D．是与的比例中项
4．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 ．
5．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 ．
三．平行线分线段成比例（共5小题）
6．（2023秋•金山区校级期中）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是
A．B．C．D．
7．（2023秋•浦东新区校级期中）在中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是
A．B．C．D．
8．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
9．（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是
A．B．
C．D．
10．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
四．相似三角形的性质（共1小题）
11．（2023秋•长宁区校级期中）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于 ．
五．相似三角形的判定（共1小题）
12．（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有
A．4组B．5组C．6组D．7组
六．相似三角形的判定与性质（共29小题）
13．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
14．（2023秋•宝山区期中）某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点、在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论：
①；②．
对于结论①和②下列说法正确的是
A．①错误，②正确B．①正确，②错误C．①和②都正确D．①和②都错误
15．（2023秋•普陀区期中）如图，在，平分，，，，，则 ．
16．（2023秋•静安区校级期中）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
17．（2023秋•虹口区期中）如图，在矩形中，、、分别是边、、上点，且，，与交于点，若，则 ．
18．（2022秋•静安区校级期中）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
19．（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
20．（2023秋•黄浦区期中）如图，在中，点、分别在边、上，联结、，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
21．（2023秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形中，点为边上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点．求证：．
22．（2023秋•松江区期中）如图，已知在平行四边形中，对角线、交于点．点在上，且，与交于点．
（1）求的值；
（2）设，，试用，表示．
23．（2023秋•普陀区期中）如图，点、分别在的边、上，延长、交于点，且．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
24．（2023秋•金山区校级期中）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
25．（2023秋•黄浦区校级期中）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
（1）如图①，若四边形是矩形，且．求证：；
（2）如图②，若四边形是平行四边形．试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
26．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
27．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
28．（2023秋•闵行区校级期中）如图，已知在中，点为边的中点，点在边上，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
29．（2023秋•静安区期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．
（1）若于点，且，求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值；
（3）设、、四边形的面积分别为、、，求证：
．
30．（2022秋•杨浦区期中）如图，梯形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）求证：．
31．（2022秋•青浦区校级期中）如图，已知在梯形中，，，．
（1）求证：．
（2）连接，若，求证：．
32．（2022秋•黄浦区期中）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
33．（2022秋•青浦区期中）如图，已知，与相交于点．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
34．（2022秋•虹口区校级期中）如图，，点为内的一个动点，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
35．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，已知四边形，，对角线、交于点，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且满足．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
36．（2022秋•奉贤区校级期中）如图，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
37．（2022秋•静安区校级期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点．
（1）若，求的长；
（2）设，，试求关于的函数解析式；
（3）当为多少时，以、、为顶点的三角形与相似．
38．（2022秋•浦东新区校级期中）已知：如图，已知与均为等腰三角形，，．如果点在边上，且．点为与的交点．
（1）求证：；
（2）求证：．
39．（2022秋•青浦区校级期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且．设、两点的距离为，的面积为．
（1）求证：；
（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当与相似时，求的面积．
40．（2022秋•浦东新区校级期中）已知：梯形中，，，对角线、交于点，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）当时，求证：．
41．（2022秋•静安区校级期中）已知：如图，梯形中，，，、是对角线，是延长线上一点，且，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
七．相似三角形的应用（共1小题）
42．（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
八．锐角三角函数的定义（共2小题）
43．（2023秋•黄浦区校级期中）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．2
44．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
九．特殊角的三角函数值（共5小题）
45．（2023秋•宝山区期中）的值等于
A．2B．1C．D．
46．（2023秋•闵行区期中）计算：．
47．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：．
48．（2023秋•长宁区校级期中）计算：．
49．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：
一十．解直角三角形（共7小题）
50．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
51．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，，，，则线段的长 ．
52．（2023秋•静安区校级期中）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，．
（1）求的面积；
（2）求．
53．（2023秋•金山区校级期中）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，交直线于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段的长．
54．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在四边形中，，，，，．
求：（1）的长；
（2）如果点为的中点，联结，求的正切值．
55．（2022秋•青浦区期中）如图，已知中，，．
（1）求边的长；
（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．
56．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，点是边上的一点，，，．
（1）求和的长；
（2）求的值．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
57．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：
（1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到
（2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
58．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：．
59．（2022秋•长宁区校级期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆的高度（精确到．
（参考数据：，，，．
60．（2022秋•青浦区期中）环球国际金融中心（图中所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为．又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心的高度．（备用数据：，，
1．（2023秋•静安区校级期中）如果，那么下列四个选项中一定正确的是
A．B．C．D．
2．（2023秋•闵行区期中）若，那么 ．
二．黄金分割（共3小题）
3．（2023秋•崇明区期中）已知是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是
A．B．
C．D．是与的比例中项
4．（2023秋•静安区校级期中）已知点在线段上，且，设，则的长为 ．
5．（2023秋•闵行区期中）已知：点是线段的黄金分割点，其中较短，若，则 ．
三．平行线分线段成比例（共5小题）
6．（2023秋•金山区校级期中）在中，点、分别在、的延长线上，下列不能判定的条件是
A．B．C．D．
7．（2023秋•浦东新区校级期中）在中，点、分别在、上，如果，那么下列条件中能够判断的是
A．B．C．D．
8．（2023秋•虹口区期中）如图，在中，点、分别在边、的反向延长线上，下面比例式中，不能判断的是
A．B．C．D．
9．（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是
A．B．
C．D．
10．（2022秋•长宁区校级期中）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，，求的长．
四．相似三角形的性质（共1小题）
11．（2023秋•长宁区校级期中）已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于 ．
五．相似三角形的判定（共1小题）
12．（2023秋•静安区校级期中）在和△中，有下列条件：①，②，③，④，⑤，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△的有
A．4组B．5组C．6组D．7组
六．相似三角形的判定与性质（共29小题）
13．（2023秋•长宁区校级期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为
A．15B．20C．25D．30
14．（2023秋•宝山区期中）某同学对如下的问题进行探究．如图，中，，点、在边上，．由上述条件该同学得到以下两个结论：
①；②．
对于结论①和②下列说法正确的是
A．①错误，②正确B．①正确，②错误C．①和②都正确D．①和②都错误
15．（2023秋•普陀区期中）如图，在，平分，，，，，则 ．
16．（2023秋•静安区校级期中）如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．
17．（2023秋•虹口区期中）如图，在矩形中，、、分别是边、、上点，且，，与交于点，若，则 ．
18．（2022秋•静安区校级期中）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
19．（2023秋•崇明区期中）如图，在梯形中，．点是对角线上的一点．过点分别作、的平行线，与交于点，与交于点．联结交于点．
（1）求证：．
（2）当，，时，求的长．
20．（2023秋•黄浦区期中）如图，在中，点、分别在边、上，联结、，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
21．（2023秋•金山区校级期中）如图，在平行四边形中，点为边上一点，联结并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点．求证：．
22．（2023秋•松江区期中）如图，已知在平行四边形中，对角线、交于点．点在上，且，与交于点．
（1）求的值；
（2）设，，试用，表示．
23．（2023秋•普陀区期中）如图，点、分别在的边、上，延长、交于点，且．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
24．（2023秋•金山区校级期中）如图，在中，，于，是的中点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
25．（2023秋•黄浦区校级期中）已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
（1）如图①，若四边形是矩形，且．求证：；
（2）如图②，若四边形是平行四边形．试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论．
26．（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD平分∠BAC，DF∥BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且∠E＝∠C．
（1）求证：AD2＝AF•AB；
（2）求证：AD•BE＝DE•AB．
27．（2023秋•青浦区校级期中）如图，在中，平分交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如果，，，求的长．
28．（2023秋•闵行区校级期中）如图，已知在中，点为边的中点，点在边上，点在线段的延长线上，且，点在线段上，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
29．（2023秋•静安区期中）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．
（1）若于点，且，求证：四边形是菱形；
（2）若，求的值；
（3）设、、四边形的面积分别为、、，求证：
．
30．（2022秋•杨浦区期中）如图，梯形中，，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，交于点．
（1）若，，求线段的长；
（2）求证：．
31．（2022秋•青浦区校级期中）如图，已知在梯形中，，，．
（1）求证：．
（2）连接，若，求证：．
32．（2022秋•黄浦区期中）如图，已知在菱形，点是的中点，于点，连接、、，交于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
33．（2022秋•青浦区期中）如图，已知，与相交于点．
（1）如果，，，求的长；
（2）如果，，求的长．
34．（2022秋•虹口区校级期中）如图，，点为内的一个动点，已知．
（1）求证：；
（2）若，试求的值．
35．（2022秋•黄浦区校级期中）如图，已知四边形，，对角线、交于点，，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且满足．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求证：．
36．（2022秋•奉贤区校级期中）如图，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
37．（2022秋•静安区校级期中）如图，已知中，，，，把线段沿射线方向平移至，直线与直线交于点，又连接与直线交于点．
（1）若，求的长；
（2）设，，试求关于的函数解析式；
（3）当为多少时，以、、为顶点的三角形与相似．
38．（2022秋•浦东新区校级期中）已知：如图，已知与均为等腰三角形，，．如果点在边上，且．点为与的交点．
（1）求证：；
（2）求证：．
39．（2022秋•青浦区校级期中）已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交边于点（点与点、都不重合），是射线上一点，且．设、两点的距离为，的面积为．
（1）求证：；
（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当与相似时，求的面积．
40．（2022秋•浦东新区校级期中）已知：梯形中，，，对角线、交于点，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）当时，求证：．
41．（2022秋•静安区校级期中）已知：如图，梯形中，，，、是对角线，是延长线上一点，且，联结．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求证：．
七．相似三角形的应用（共1小题）
42．（2023秋•宝山区期中）某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道、之间的距离为9米，表示这块空地，米．现要在空地内划出一个矩形区域建造花坛，使它的一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
（1）如果矩形花坛的边，求出这时矩形花坛的两条邻边的长；
（2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由．
八．锐角三角函数的定义（共2小题）
43．（2023秋•黄浦区校级期中）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．2
44．（2022秋•青浦区校级期中）如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点，且．
（1）当时，连接，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）连接，若为等腰三角形，求的长．
九．特殊角的三角函数值（共5小题）
45．（2023秋•宝山区期中）的值等于
A．2B．1C．D．
46．（2023秋•闵行区期中）计算：．
47．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：．
48．（2023秋•长宁区校级期中）计算：．
49．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：
一十．解直角三角形（共7小题）
50．（2023秋•静安区校级期中）在中，，如果，，那么的长是
A．B．C．D．
51．（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，，，，则线段的长 ．
52．（2023秋•静安区校级期中）如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，．
（1）求的面积；
（2）求．
53．（2023秋•金山区校级期中）在中，，，，是斜边上一点，过点作，垂足为，交直线于点．
（1）当时，求线段的长；
（2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式，及其定义域；
（3）当时，求线段的长．
54．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在四边形中，，，，，．
求：（1）的长；
（2）如果点为的中点，联结，求的正切值．
55．（2022秋•青浦区期中）如图，已知中，，．
（1）求边的长；
（2）设边的垂直平分线与边的交点为，求的值．
56．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，在中，，点是边上的一点，，，．
（1）求和的长；
（2）求的值．
一十一．解直角三角形的应用（共1小题）
57．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据：
（1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到
（2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米．
一十二．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
58．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：．
59．（2022秋•长宁区校级期中）如图，为测量学校旗杆的高度，小明从旗杆正前方3米处的点出发，沿坡度为的斜坡前进米到达点，在点处放置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得测角仪的高为1.5米．、、、、在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直．
（1）求点的铅垂高度（结果保留根号）；
（2）求旗杆的高度（精确到．
（参考数据：，，，．
60．（2022秋•青浦区期中）环球国际金融中心（图中所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点处）测得金融中心的顶端（点的仰角为，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点处），测得点的仰角为．又点、、在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心的高度．（备用数据：，，
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