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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题08解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)，共35页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14211" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14211 \h 1
\l "_Tc27346" 【类型一 遇弦作弦心距或半径】 PAGEREF _Tc27346 \h 1
\l "_Tc8016" 【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc8016 \h 5
\l "_Tc28042" 【类型三 遇切线连接圆心和切点】 PAGEREF _Tc28042 \h 14
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．
2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)若弧AE的度数为，求的度数．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若， ，则 ．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：
(1)求证：点C是弧的三等分点．
(2)求的长．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求线段的长．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于 ．
5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14211" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14211 \h 1
\l "_Tc27346" 【类型一 遇弦作弦心距或半径】 PAGEREF _Tc27346 \h 1
\l "_Tc8016" 【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc8016 \h 5
\l "_Tc28042" 【类型三 遇切线连接圆心和切点】 PAGEREF _Tc28042 \h 14
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．
【答案】/厘米
【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交弧于，
由折叠得：，
是的中点，
，
，
，
，
，
在中
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．
【答案】5
【分析】设光盘的圆心为O，过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：设光盘的圆心为O，如图所示：
过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴，
∵刻度尺宽，
∴，
在中，
，即，
解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．
【答案】
【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得，
∴圆拱形门所在圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；
（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．
【详解】（1）如图：连接
是的直径
，即
又
．
（2）的度数为
又，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
【答案】4
【分析】连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，连接，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若， ，则 ．
【答案】/50度
【分析】连接，利用三角形外角的性质即可求出，即可求出答案．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与三角形的性质，正确作出辅助线是关键．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解
(2)
【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后结合即可证明出；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后根据垂径定理得到，利用三角形中位线的性质得到，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，．
∴在中，．
∵，是的半径，
∴．
∴为的中位线．
∴．
∴．
∴．
∴；
【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；
（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
由（1），，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：
(1)求证：点C是弧的三等分点．
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，由是直径，点D是弧的中点，得到，再由圆周角定理得到，利用三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，得到，再由是直径，即可证明点C是弧的三等分点；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到，再由等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，由圆周角定理得到， 即可推出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是直径，点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是直径，
∴点C是弧的三等分点；
（2）∵是直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出是的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）连接，根据勾股定理，得出，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，解得，再根据勾股定理，得出，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，是等腰三角形，
∴是的中线，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．
（2）过作交于，可求，，，接可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：过作交于，
由（1）得：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理可求得．
【详解】解：如图，连结，
是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
∴，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．
3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
又，的半径为3，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于 ．
【答案】36
【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接，
弦，
．
，
，
由圆周角定理得，，
是的切线，
，
；
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）连接，由点D为的中点可得，再根据同圆的半径相等得，进而得到，然后再根据切线的性质得到结论；
（2）根据勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质得到，即可得到，从而得出结果．
【详解】（1）证明：连接，
∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，为的切线，
∴，
即：，
∴．
（2）解：∵
由勾股定理得：，
∵四边形内接于，
∴，
由（1）可知：，
∴，
在和中，
∴，
∴
【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设的半径为，则，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
的切线交的延长线于点，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，
则，
，为的中点，
，，
在中，，
，
解得：或（舍去），
的半径长为6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接，由圆周角定理证出，由切线的性质得出，则可得出结论；
②过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，则由可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
；
（2）①证明：连接，
平分，
，
，
，
又是的切线，
，
，
∴；
②过点作于，交于，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌握切线的性质是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14211" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14211 \h 1
\l "_Tc27346" 【类型一 遇弦作弦心距或半径】 PAGEREF _Tc27346 \h 1
\l "_Tc8016" 【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc8016 \h 5
\l "_Tc28042" 【类型三 遇切线连接圆心和切点】 PAGEREF _Tc28042 \h 14
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．
2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)若弧AE的度数为，求的度数．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若， ，则 ．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：
(1)求证：点C是弧的三等分点．
(2)求的长．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求线段的长．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于 ．
5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法压轴题三种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14211" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14211 \h 1
\l "_Tc27346" 【类型一 遇弦作弦心距或半径】 PAGEREF _Tc27346 \h 1
\l "_Tc8016" 【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc8016 \h 5
\l "_Tc28042" 【类型三 遇切线连接圆心和切点】 PAGEREF _Tc28042 \h 14
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．
【答案】/厘米
【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交弧于，
由折叠得：，
是的中点，
，
，
，
，
，
在中
，
．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半径组成的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．
【答案】5
【分析】设光盘的圆心为O，过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，利用勾股定理求出x的值即可．
【详解】解：设光盘的圆心为O，如图所示：
过点O作垂直直尺于点A，连接，再设，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴，
∵刻度尺宽，
∴，
在中，
，即，
解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
【答案】
【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．
【答案】
【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得：，即：，
解得，
∴圆拱形门所在圆的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)若的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；
（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．
【详解】（1）如图：连接
是的直径
，即
又
．
（2）的度数为
又，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．
【答案】4
【分析】连接并延长交于D，连接，得到，根据圆周角定理得到，根据含角直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，连接，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若， ，则 ．
【答案】/50度
【分析】连接，利用三角形外角的性质即可求出，即可求出答案．
【详解】解：连接，如图所示，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆与三角形的性质，正确作出辅助线是关键．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解
(2)
【分析】（1）首先根据直径的性质得到，然后结合即可证明出；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后根据垂径定理得到，利用三角形中位线的性质得到，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴．
∴．
∵．
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，．
∴在中，．
∵，是的半径，
∴．
∴为的中位线．
∴．
∴．
∴．
∴；
【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；
（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
由（1），，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：
(1)求证：点C是弧的三等分点．
(2)求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，由是直径，点D是弧的中点，得到，再由圆周角定理得到，利用三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，得到，再由是直径，即可证明点C是弧的三等分点；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到，再由等边三角形的性质得到，利用勾股定理求出，由圆周角定理得到， 即可推出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是直径，点D是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
又∵是直径，
∴点C是弧的三等分点；
（2）∵是直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出是的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）连接，根据勾股定理，得出，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出，再根据三角形的面积公式，得出，解得，再根据勾股定理，得出，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴是等腰三角形；
（2）解：如图，连接，
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，是等腰三角形，
∴是的中线，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，可证，从而可证，即可求证．
（2）过作交于，可求，，，接可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：过作交于，
由（1）得：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
解得：，
；
故答案：．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连结，根据切线的性质得到，根据，得到，根据，得到，在中，根据三角形内角和定理可求得．
【详解】解：如图，连结，
是的切线，
，
，
，
，
，
设，
在中，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在中，根据三角形内角和定理求是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
∴，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．
3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
又，的半径为3，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于 ．
【答案】36
【分析】连接，根据直角三角形的性质求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接，
弦，
．
，
，
由圆周角定理得，，
是的切线，
，
；
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）连接，由点D为的中点可得，再根据同圆的半径相等得，进而得到，然后再根据切线的性质得到结论；
（2）根据勾股定理求出的长，再根据圆内接四边形的性质得到，即可得到，从而得出结果．
【详解】（1）证明：连接，
∵点D为弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，为的切线，
∴，
即：，
∴．
（2）解：∵
由勾股定理得：，
∵四边形内接于，
∴，
由（1）可知：，
∴，
在和中，
∴，
∴
【点睛】本题考查圆的切线性质，圆内接四边形的性质，弦、弧、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的有关性质．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）设的半径为，则，求得，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
的切线交的延长线于点，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，
则，
，为的中点，
，，
在中，，
，
解得：或（舍去），
的半径长为6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接，由圆周角定理证出，由切线的性质得出，则可得出结论；
②过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，则由可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
；
（2）①证明：连接，
平分，
，
，
，
又是的切线，
，
，
∴；
②过点作于，交于，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌握切线的性质是解题的关键．
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