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苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题12直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份苏科版九年级数学上册压轴题攻略专题12直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略(原卷版+解析)，共58页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11989" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11989 \h 1
\l "_Tc22684" 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc22684 \h 1
\l "_Tc1823" 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 PAGEREF _Tc1823 \h 3
\l "_Tc23873" 【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 PAGEREF _Tc23873 \h 5
\l "_Tc17997" 【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】 PAGEREF _Tc17997 \h 7
\l "_Tc22397" 【考点五 证明某直线是圆的切线】 PAGEREF _Tc22397 \h 8
\l "_Tc21217" 【考点六 切线的性质定理】 PAGEREF _Tc21217 \h 13
\l "_Tc22539" 【考点七 切线的性质与判定的综合应用】 PAGEREF _Tc22539 \h 15
\l "_Tc5628" 【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 PAGEREF _Tc5628 \h 22
\l "_Tc6542" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6542 \h 26
【典型例题】
【考点一 判断直线和圆的位置关系】
例题：（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
2．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离
【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ．
【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设的半径为，圆心到直线l的距离为，若、是方程的两根，则直线l与相切时，的值为 ．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【考点五 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，直径，求线段的长．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
(1)求证：是圆的切线；
(2)点在上，且，连接，，，求的长．
【考点六 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．
2．（2023·湖南永州·校考二模）如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．
【考点七 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出半径的长．
【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东深圳·校考一模）如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ）
A．B．C．3D．6
二、填空题
6．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，是的切线，，则 ．
7．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，的两边、分别切于点、，若，则 ．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，分别切于分别交于，已知到的切线长为，那么的周长为 ．
10．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．
三、解答题
11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点E在弦的延长线上，过点E作交于点D，若平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
12．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
13．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
14．（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)如果，求的长度．
15．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
16．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，内接于，为直径，，延长至点使，作平分交于点，交于点．连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
专题12 直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11989" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11989 \h 1
\l "_Tc22684" 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc22684 \h 1
\l "_Tc1823" 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 PAGEREF _Tc1823 \h 3
\l "_Tc23873" 【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 PAGEREF _Tc23873 \h 5
\l "_Tc17997" 【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】 PAGEREF _Tc17997 \h 7
\l "_Tc22397" 【考点五 证明某直线是圆的切线】 PAGEREF _Tc22397 \h 8
\l "_Tc21217" 【考点六 切线的性质定理】 PAGEREF _Tc21217 \h 13
\l "_Tc22539" 【考点七 切线的性质与判定的综合应用】 PAGEREF _Tc22539 \h 15
\l "_Tc5628" 【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 PAGEREF _Tc5628 \h 22
\l "_Tc6542" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6542 \h 26
【典型例题】
【考点一 判断直线和圆的位置关系】
例题：（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
【答案】C
【分析】过点P作于点C，根据直角三角形的性质，可得，再由直线与圆的位置，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于点C，
∵，，
∴，
∵以点为圆心的圆的半径为3，
∴以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是相切．
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．
【详解】解：根据勾股定理求得．
，，
，，
上的高为：，
即圆心到直线的距离是2.4．
，
直线和圆相交．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
2．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．
【详解】如图，
当点 与 重合时， 与直线 相切；
当点 与 不重合时， 与直线 相离，
∴ 与直线 的位置关系是相切或相离．
故选：D．
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．
【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d的取值范围是；
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立.
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若直线和圆相离，则应满足即可．
【详解】解：直线和圆相离，且点到直线的距离为5，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足是解题的关键．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：过M作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，与线段有交点，
∴r的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．
【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设的半径为，圆心到直线l的距离为，若、是方程的两根，则直线l与相切时，的值为 ．
【答案】9
【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据即可求出m的值．
【详解】解：∵d、R是方程的两个根，且直线l与相切，
∴，
∴方程有两个相等的实根，
∴，
解得，，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解．
【详解】解：∵⊙M与y轴相切，
∴；
即；
∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是；
如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或．
故答案为：；；或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
【答案】4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.
【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm，，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时，与OA相切.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
【答案】1
【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：当时，直线与相切，
∴（cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
【考点五 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，直径，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平行线的性质可得，通过证明，得出，即可求证；
（2）易得，根据，得出，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵是圆O的切线且为半径，
∴．
∴．
∴．
又∵是半径，
∴为圆O的切线．
（2）解：∵AB是直径，且，
∴
据（1）知，，
又，
∴，
∴在中：，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，得到，进而得到，然后求出，即可证明；
（2）首先得到是等边三角形，然后作于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到，进而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是半径
∴直线是的切线；
（2）由（1）得是等边三角形，
作于点H，则
∴
在中，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
(1)求证：是圆的切线；
(2)点在上，且，连接，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据四边形内接于圆和得出，再根据得出即可证明；
（2）连接，，，记与相交于点，根据用垂径定理得出，再根据，运用三角形中位线得出即可解答；
【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆
∴
∵
∴
∵
∴，即
又∵是圆的直径
∴是圆的切线
（2）如图，连接，，，记与相交于点
∵，
∴
∴，又
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟练掌握圆部分的这些知识点．
【考点六 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
又，的半径为3，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．
【答案】30
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2023·湖南永州·校考二模）如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．
【答案】/26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：是的直径，与相切于点A，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
【考点七 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为10．
【分析】（1）连接，连接，通过证明即可进行求证；
（2）连接，则，根据勾股定理求出，设的半径为，根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为10．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证；
（2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
为的直径，
．
，
是的切线．
是的切线，
，
．
，，
，
，
，
点是的中点．
（2）解：若，由()得，四边形是正方形，
是等腰直角三角形．
半径为，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知，，又，，，推证 ，由角平分线性质定理得，结论得证；
（2）由切线长定理知，由等腰三角形性质知，进一步推证，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证；
（2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
设 ，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接，
∵与相切，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
设，
中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ．
【答案】1
【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵圆O是的内切圆，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解；
（2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．
【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r．
∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．
在中，，，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴的半径为1；
（2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．，，．
∴四边形为正方形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴．
∵Q是的外心，
∴，
∴．
在中，，即，
解得（负值舍去）．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】B
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴的距离为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
【答案】C
【分析】设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为，由可求得半径，则可求得直径．
【详解】解：设三角形为，，，，
，
设内切圆的半径为，则，
，即，
解得，
内切圆的直径是6步，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于，利用圆周角定理求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为圆O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
4．（2023·广东深圳·校考一模）如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可解答．
【详解】解：连接，
∵与相切于，
∴半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】D
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，设，则，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
是的半径，是的切线，点是切点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，是的切线，，则 ．
【答案】/30度
【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，于是得到．
【详解】如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握圆周角定理和切线性质．
7．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，的两边、分别切于点、，若，则 ．
【答案】15°/度
【分析】如图，连接，，求解，可得，证明，再利用三角形的外角和的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵的两边、分别切于点、，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，分别切于分别交于，已知到的切线长为，那么的周长为 ．
【答案】/16厘米
【分析】根据题意，结合切线长定理得到相应线段长，再由三角形周长定义求解即可得到答案．
【详解】解：∵分别切于，
∴由切线长定理可得，
到的切线长为，
，
∴
，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角形周长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．
10．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．
【答案】1
【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
∵为的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，，，
如图，连接，，
∵为的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
则的半径为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
三、解答题
11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点E在弦的延长线上，过点E作交于点D，若平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边等角和角平分线的定义证明，进而证明，由，得到，据此即可证明结论；
（2）连接交于，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出的长，进而求出，再求出的长，根据矩形的判定与性质求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于，如图所示，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为的中点，即，
又∵，
∴根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，周角定理，平行线的判定和性质，矩形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理，综合利用相关的知识解决问题是本题的关键．
12．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接、，证明，则，可证是的切线；
（2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的半径为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作，垂足为点，连接，证明是的平分线，进而根据，，可得是的切线；
（2）勾股定理得出，设的半径为，则，进而根据切线的性质，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点，连接，
，是的中点，
，
，
，
又，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，在中，，，，
，
，是的切线，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
．
的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
14．（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)如果，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得，然后根据圆周角定理证明是直角三角形，据此即可证得，从而证明是切线；
（2）根据勾股定理求得的长，然后根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
∵是圆的直径，
∴，即．
又，
∴．
∴在直角中，，
又，
，
，即，
∴是的切线；
（2）解：是的直径，
，
交于点E，
，
.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明是关键．
15．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)4．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得；
（3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴∠OAD=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
（3）∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴在中，．
∵，平分，
∴．
∵在等边中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
16．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，内接于，为直径，，延长至点使，作平分交于点，交于点．连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，根据三角形的内角和和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接．根据角平分线的定义得到．求得．推出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，且，
．
，且，
．
．
∵点在上，
为的切线；
（2）证明：连接．
平分，且，
．
．
在中，．
，
又，，
为等边三角形，
．
．
；
（3）解：，，
，
．
又在中，，
，，
，．
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11989" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11989 \h 1
\l "_Tc22684" 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc22684 \h 1
\l "_Tc1823" 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 PAGEREF _Tc1823 \h 3
\l "_Tc23873" 【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 PAGEREF _Tc23873 \h 5
\l "_Tc17997" 【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】 PAGEREF _Tc17997 \h 7
\l "_Tc22397" 【考点五 证明某直线是圆的切线】 PAGEREF _Tc22397 \h 8
\l "_Tc21217" 【考点六 切线的性质定理】 PAGEREF _Tc21217 \h 13
\l "_Tc22539" 【考点七 切线的性质与判定的综合应用】 PAGEREF _Tc22539 \h 15
\l "_Tc5628" 【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 PAGEREF _Tc5628 \h 22
\l "_Tc6542" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6542 \h 26
【典型例题】
【考点一 判断直线和圆的位置关系】
例题：（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
2．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离
【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ．
【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设的半径为，圆心到直线l的距离为，若、是方程的两根，则直线l与相切时，的值为 ．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【考点五 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，直径，求线段的长．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
(1)求证：是圆的切线；
(2)点在上，且，连接，，，求的长．
【考点六 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．
2．（2023·湖南永州·校考二模）如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．
【考点七 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出半径的长．
【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东深圳·校考一模）如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ）
A．B．C．3D．6
二、填空题
6．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，是的切线，，则 ．
7．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，的两边、分别切于点、，若，则 ．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，分别切于分别交于，已知到的切线长为，那么的周长为 ．
10．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．
三、解答题
11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点E在弦的延长线上，过点E作交于点D，若平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
12．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
13．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
14．（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)如果，求的长度．
15．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
16．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，内接于，为直径，，延长至点使，作平分交于点，交于点．连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
专题12 直线与圆的位置关系压轴题八种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11989" 【典型例题】 PAGEREF _Tc11989 \h 1
\l "_Tc22684" 【考点一 判断直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc22684 \h 1
\l "_Tc1823" 【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】 PAGEREF _Tc1823 \h 3
\l "_Tc23873" 【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 PAGEREF _Tc23873 \h 5
\l "_Tc17997" 【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】 PAGEREF _Tc17997 \h 7
\l "_Tc22397" 【考点五 证明某直线是圆的切线】 PAGEREF _Tc22397 \h 8
\l "_Tc21217" 【考点六 切线的性质定理】 PAGEREF _Tc21217 \h 13
\l "_Tc22539" 【考点七 切线的性质与判定的综合应用】 PAGEREF _Tc22539 \h 15
\l "_Tc5628" 【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 PAGEREF _Tc5628 \h 22
\l "_Tc6542" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6542 \h 26
【典型例题】
【考点一 判断直线和圆的位置关系】
例题：（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）如图，，为上一点，且，以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能
【答案】C
【分析】过点P作于点C，根据直角三角形的性质，可得，再由直线与圆的位置，即可求解．
【详解】解：如图，过点P作于点C，
∵，，
∴，
∵以点为圆心的圆的半径为3，
∴以点为圆心，半径为3的圆与的位置关系是相切．
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）中，，，，以为圆心，以长为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【分析】此题首先应求得圆心到直线的距离，根据直角三角形的面积公式即可求得；再进一步根据这些和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．
【详解】解：根据勾股定理求得．
，，
，，
上的高为：，
即圆心到直线的距离是2.4．
，
直线和圆相交．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，关键是根据三角形的面积求出斜边上的高的长度．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
2．（2022秋·九年级单元测试）已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交B．相离C．相切或相交D．相切或相离
【答案】D
【分析】根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．
【详解】如图，
当点 与 重合时， 与直线 相切；
当点 与 不重合时， 与直线 相离，
∴ 与直线 的位置关系是相切或相离．
故选：D．
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．
【考点二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值】
例题：（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】解：∵直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，
∴d的取值范围是；
故答案为：.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，设的半径等于r，圆心O到直线l的距离为d，则当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交；反之也成立.
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）已知直线l与半径长为R的相离，且点O到直线l的距离为5，那么R的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若直线和圆相离，则应满足即可．
【详解】解：直线和圆相离，且点到直线的距离为5，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系与数量之间的等价关系．直线和圆相离，则应满足是解题的关键．
2．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，已知，，，以为圆心，为半径作，与线段有交点时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】过M作于H，根据直角三角形的性质得到，然后根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：过M作于H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，与线段有交点，
∴r的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离．
【考点三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】
例题：（2022秋·九年级单元测试）设的半径为，圆心到直线l的距离为，若、是方程的两根，则直线l与相切时，的值为 ．
【答案】9
【分析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据即可求出m的值．
【详解】解：∵d、R是方程的两个根，且直线l与相切，
∴，
∴方程有两个相等的实根，
∴，
解得，，
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为，半径是2．如果⊙M与y轴相切，那么 ；如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是 ；如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是 ．
【答案】 或
【分析】根据轴与圆的位置关系，推出圆心到轴的距离和半径之间的关系即可得解．
【详解】解：∵⊙M与y轴相切，
∴；
即；
∴如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是；
如果⊙M与y轴相离，那么m的取值范围是或．
故答案为：；；或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系与直线与圆的位置关系之间的联系，是解题的关键．
2．（2023·陕西·模拟预测）如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
【考点四 判断或补全使直线为切线的条件】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当 cm时，与OA相切.
【答案】4
【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长.
【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N，
∵MN=2cm，，
∴OM=4cm，
则当OM=4cm时，与OA相切.
故答案为4.
【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）如图，为的直径，，当 时，直线与相切．
【答案】1
【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出．
【详解】解：当时，直线与相切，
∴（cm），
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
2．（2022春·九年级课时练习）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【答案】60
【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键．
【考点五 证明某直线是圆的切线】
例题：（2023秋·云南昭通·九年级校联考阶段练习）如图，已知是的直径，直线与相切于点B，过点A作交于点D，连接．
(1)求证：是的切线．
(2)若，直径，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据平行线的性质可得，通过证明，得出，即可求证；
（2）易得，根据，得出，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵是圆O的切线且为半径，
∴．
∴．
∴．
又∵是半径，
∴为圆O的切线．
（2）解：∵AB是直径，且，
∴
据（1）知，，
又，
∴，
∴在中：，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质，勾股定理等知识点，解题的关键通过正确作辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关知识点并灵活运用．
【变式训练】
1．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）如图，的半径为2，点A是的直径延长线上的一点，C为上的一点，，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先根据，得到，进而得到，然后求出，即可证明；
（2）首先得到是等边三角形，然后作于点H，利用等腰三角形三线合一性质得到，进而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵OC是半径
∴直线是的切线；
（2）由（1）得是等边三角形，
作于点H，则
∴
在中，，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了圆和三角形综合题，圆切线的判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
2．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，四边形内接于圆，是圆的直径，，的延长线交于点，延长交于点，．
(1)求证：是圆的切线；
(2)点在上，且，连接，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据四边形内接于圆和得出，再根据得出即可证明；
（2）连接，，，记与相交于点，根据用垂径定理得出，再根据，运用三角形中位线得出即可解答；
【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆
∴
∵
∴
∵
∴，即
又∵是圆的直径
∴是圆的切线
（2）如图，连接，，，记与相交于点
∵，
∴
∴，又
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴．
【点睛】该题主要考查了圆切线证明，圆心角定理，垂径定理，三角形中位线等知识点，解题的关键是熟练掌握圆部分的这些知识点．
【考点六 切线的性质定理】
例题：（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算即可；
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴，即，
又，的半径为3，
∴，
∴．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，是的直径，点是外的一点，且是的切线，交于点，若，则 ．
【答案】30
【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：是的切线，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
2．（2023·湖南永州·校考二模）如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．
【答案】/26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：是的直径，与相切于点A，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
【考点七 切线的性质与判定的综合应用】
例题：（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的圆交边于点，交边于点，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为10．
【分析】（1）连接，连接，通过证明即可进行求证；
（2）连接，则，根据勾股定理求出，设的半径为，根据，列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∴，
设的半径为，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为10．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线．
【变式训练】
1．（2023·河南周口·校联考三模）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证；
（2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
为的直径，
．
，
是的切线．
是的切线，
，
．
，，
，
，
，
点是的中点．
（2）解：若，由()得，四边形是正方形，
是等腰直角三角形．
半径为，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径作半圆，与相切于点，过点A作交的延长线于点，且．
(1)求证：是半的切线；
(2)若，，求半的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点 作 于点 ，由切线的性质知，，又，，，推证 ，由角平分线性质定理得，结论得证；
（2）由切线长定理知，由等腰三角形性质知，进一步推证，由直角三角形性质，求解圆半径为 ．
【详解】（1）证明：过点 作 于点 ．
为半 切线，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
，
是半 的半径．
，
是半的切线．
（2） 是半的切线， ，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
，
的半径为 ．
【点睛】本题考查圆切线的判定和性质，切线长定理，等腰三角形性质，角平分线性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用已知的角之间的数量关系结合直角三角形性质求解角度是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，为上的一点，的平分线交于点，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点．且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出半径的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线求得，由等边对等角可得，由是直径和等量代换可得，即可得证；
（2）连接，设，证明，可得，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）解：连接，如图，
设 ，
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
【考点八 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系】
例题：（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，与的的三边分别相切于点D、E、F，若，则的半径为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【分析】连接，首先根据切线长定理得到，，然后证明出四边形是正方形，然后设，根据勾股定理求解即可．
【详解】如图，
连接，
∵与相切，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴矩形是正方形，
∴，
设，
中，，，，
由勾股定理得，，
∴，
∴（舍去），
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式训练】
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ．
【答案】1
【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵圆O是的内切圆，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键．
2．（2023秋·陕西延安·九年级统考期末）如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．
(1)求的半径．
(2)若Q是的外心，连接，求的长度．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面积公式，即可求解；
（2）证明四边形为正方形，边长为1，再利用切线长定理结合勾股定理即可．
【详解】（1）解：如图，连接，设的半径为r．
∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．
在中，，，，
∴．
∵，
∴，
解得，
∴的半径为1；
（2）解：∵是的内切圆，分别切边于点D，E，F，
∴，，．，，．
∴四边形为正方形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴．
∵Q是的外心，
∴，
∴．
在中，，即，
解得（负值舍去）．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【过关检测】
一、单选题
1．（2022秋·湖南长沙·九年级校联考期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离
【答案】B
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴的距离为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
2．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾（短直角边）长为7步，股（长直角边）长为24步，问该直角三角形（内切圆）的直径是多少？（ ）
A．3步B．5步C．6步D．8步
【答案】C
【分析】设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为，由可求得半径，则可求得直径．
【详解】解：设三角形为，，，，
，
设内切圆的半径为，则，
，即，
解得，
内切圆的直径是6步，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆，利用等积法得到关于内切圆半径的方程是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，过点作的切线交的延长线于点，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于，利用圆周角定理求出的度数，即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为圆O的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
4．（2023·广东深圳·校考一模）如图，是的直径，，垂足为，直线与相切于点，交于点，直线交的延长线于点，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据垂直的定义及平行线的判定可知，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质即可解答．
【详解】解：连接，
∵与相切于，
∴半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，掌握平行线的性质及切线的性质是解题的关键．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】D
【分析】连接，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，设，则，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
是的半径，是的切线，点是切点，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，是的切线，，则 ．
【答案】/30度
【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，于是得到．
【详解】如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握圆周角定理和切线性质．
7．（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，的两边、分别切于点、，若，则 ．
【答案】15°/度
【分析】如图，连接，，求解，可得，证明，再利用三角形的外角和的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
∵的两边、分别切于点、，
∴，而，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，四边形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟记以上基础知识是解本题的关键．
8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
9．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，分别切于分别交于，已知到的切线长为，那么的周长为 ．
【答案】/16厘米
【分析】根据题意，结合切线长定理得到相应线段长，再由三角形周长定义求解即可得到答案．
【详解】解：∵分别切于，
∴由切线长定理可得，
到的切线长为，
，
∴
，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求三角形周长，涉及切线长定理、三角形周长等知识，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．
10．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是 ．
【答案】1
【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可．
【详解】解：在中，
∵，，，
∴，
∵为的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴，，，
如图，连接，，
∵为的内切圆，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
则的半径为1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．
三、解答题
11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，点E在弦的延长线上，过点E作交于点D，若平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边等角和角平分线的定义证明，进而证明，由，得到，据此即可证明结论；
（2）连接交于，根据圆周角定理可得，根据垂径定理可得，根据勾股定理求出的长，进而求出，再求出的长，根据矩形的判定与性质求出的长，即可求出的长．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接交于，如图所示，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为的中点，即，
又∵，
∴根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，周角定理，平行线的判定和性质，矩形的判定与性质，垂径定理以及勾股定理，综合利用相关的知识解决问题是本题的关键．
12．（2023秋·河北张家口·九年级张家口市第一中学校考期末）已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得，
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接、，证明，则，可证是的切线；
（2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求的半径．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由勾股定理得，，
∴的半径为3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作，垂足为点，连接，证明是的平分线，进而根据，，可得是的切线；
（2）勾股定理得出，设的半径为，则，进而根据切线的性质，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点，连接，
，是的中点，
，
，
，
又，
，
即是的平分线，
点在上，与相切于点，
，且是的半径，
，是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，在中，，，，
，
，是的切线，
，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
．
的半径长为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
14．（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）如图，已知是以为直径的的外接圆，，交于点D，交于点E，连接，交于点F，延长到点P，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)如果，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得，然后根据圆周角定理证明是直角三角形，据此即可证得，从而证明是切线；
（2）根据勾股定理求得的长，然后根据垂径定理即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
∵是圆的直径，
∴，即．
又，
∴．
∴在直角中，，
又，
，
，即，
∴是的切线；
（2）解：是的直径，
，
交于点E，
，
.
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明是关键．
15．（2023秋·河南开封·九年级开封市第十三中学校考期末） 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)4．
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
（2）由，得到，由（1）有，可得，从而，根据“等角对等边”证得；
（3）在中，求得，又由（2）有，可得是等边三角形，从而，，因此在中，，根据“三线合一”可得，再求出，证得，从而．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴∠OAD=∠DAC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
（3）∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴在中，．
∵，平分，
∴．
∵在等边中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
16．（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）如图，内接于，为直径，，延长至点使，作平分交于点，交于点．连接，．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接，根据三角形的内角和和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接．根据角平分线的定义得到．求得．推出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，且，
．
，且，
．
．
∵点在上，
为的切线；
（2）证明：连接．
平分，且，
．
．
在中，．
，
又，，
为等边三角形，
．
．
；
（3）解：，，
，
．
又在中，，
，，
，．
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
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