河南省许平汝名校2024-2025学年高二上学期第二次月考（10月）数学试题

这是一份河南省许平汝名校2024-2025学年高二上学期第二次月考（10月）数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章第1节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.圆与的位置关系为（ ）
A.相交B.相离C.外切D.内切
2.抛物线的准线方程为（ ）
A.B.C.D.
3.已知直线与垂直，则（ ）
A.0B.1C.2D.
4.设双曲线，的离心率分别为，.若，则（ ）
A.B.2C.4D.8
5.已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为（ ）
A.B.C.D.
6.已知F为双曲线的右焦点，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为E，O为坐标原点，若的面积为1，则C的焦距的最小值为（ ）
A.1B.2C.4D.
7.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为，则C的方程为（ ）
A.B.C.D.
8.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则k的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知直线和曲线相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A.曲线C的长度为B.
C.D.若，则
11.已知F是抛物线的焦点，l是C的准线，N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆相切于点E，过点N作l的垂线，垂足为P，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则或
B.若，则的面积为或
C.的周长的最小值为4
D.若为等边三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.直线的倾斜角的取值范围是________.
13.若点M在z轴上，且到点与点的距离相等，则点M的坐标为________.
14.若过圆外一点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，且，则________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知点，，，且四边形ABCD是平行四边形.
（1）求点D的坐标；
（2）求平行四边形ABCD的面积.
16.（15分）已知椭圆与双曲线有公共焦点，，与在第一象限的交点为P，且，，.
（1）求与的方程；
（2）记的上顶点为A，的左顶点为B，直线AB与的另一个交点为D，求.
17.（15分）已知圆与圆相交于P，Q两点，直线PQ的方程为.
（1）若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围；
（2）若，B是圆上的动点，且的面积的最大值为5，求圆的方程.
18.（17分）已知是双曲线的一条渐近线，点在C上.
（1）求C的方程.
（2）已知直线l的斜率存在且不经过原点，l与C交于A，B两点，AB的中点在直线上.
（i）证明：l的斜率为定值.
（ii）若，的面积为，求l的方程.
19.（17分）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，动点Q满足，设动点Q的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，求；
（3）若曲线C与x轴的交点为E，F，直线与曲线C交于G，H两点，直线EG与直线FH交于点D，证明：点D在定直线上.
2024-2025年度河南省高二年级第二次月考
数学参考答案
1.D 圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.这两圆圆心之间的距离为1，且，所以圆与圆内切.
2.D 抛物线的准线方程为.
3.C 因为，所以.
4.B ，，因为，所以，解得.
5.C 由题设可知，椭圆C的焦点为，椭圆C上任意一点到两个焦点的距离之和为，故椭圆C的标准方程为.
6.C 因为，，，所以.C的焦距为4，当且仅当时，等号成立.
7.A 设，，则，.
由得，
所以.因为，所以.
又因为，所以，，所以C的方程为.
8.B 圆，其圆心为，半径为k.
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点.
因为圆心距为，所以，解得.
9.AD 由题意可得，，，，，A，D正确，B，C错误.
10.CD 由，得.因为，所以曲线C表示以为圆心，
半径的半圆，则其周长为，A错误.
当直线l与曲线C相切时，圆心C到直线l的距离，解得（舍去）.
当直线l过点时，直线l和曲线C有2个交点，此时，解得.
当直线l和曲线C有两个交点时，，B错误.
，，则，C正确.
线段AB的中垂线的方程为，点D在直线上，D正确.
11.ABD 记l与x轴的交点为M，坐标原点为O，，则，，.易知，，则，，，.
若，则或，或，
或，A，B正确.
的周长为.令，因为，所以，，C错误.
若为等边三角形，则，因为，所以，D正确.
12. 因为直线l的斜率，所以，则.
13. 设，则，
解得，所以点M的坐标为.
14.2或4 如图，记圆C的圆心为C，AB与PC交于点D.
由题意可得，，，，.，
所以，
即，解得或16，即或4，经检验，都满足题意.
15.解：（1）由题意得直线AB的方程为，直线BC的方程为.
因为直线CD与直线AB平行，且过点，所以直线CD的方程为，
因为直线AD与直线BC平行，且过点，所以直线AD的方程为
联立解得即点D的坐标为.
（2）因为，所以点到直线AB的距离.
故平行四边形ABCD的面积.
16.解：（1）因为，，，
所以，记，，则.
由椭圆的定义可得，，，.
由双曲线的定义可得，，，.
所以的方程为，的方程为.
（2）由题意得，，则直线AB的方程为.
设，联立得，所以.
.
17.解：（1）由，得，
所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线PQ上.
因为圆的圆心在圆外，所以，圆的半径为.
故圆的半径的取值范围为.
（2）设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①.
设圆的半径为，当时，的面积取得最大值，
最大值为，解得，所以②.
由①②得或
所以圆的方程为或.
18.（1）解：因为是双曲线的一条渐近线，所以.
因为点在C上，所以，解得，，即C的方程为.
（2）（i）证明：设，由得，
由题意得，.
设，，AB中点的坐标为，则
所以，.
因为AB的中点在直线上，所以，
即，因为，所以.
（ii）解：，
点M到l的距离，所以，
解得，所以l的方程为.
19.（1）解：设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线C的轨迹方程为.
（2）解：曲线C的圆心到直线的距离，
所以.
（3）证明：设，，.
联立得，
，，.
设，，所以直线EG的方程为，
直线FH的方程为.
因为直线EG与直线FH交于点D，所以
则，即，解得，
所以点D在直线上.