北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷

这是一份北京市昌平一中教育集团2024—2025学年上学期九年级数学期中试卷，共14页。试卷主要包含了10，下列各组中的四条线段成比例的是等内容，欢迎下载使用。

2024.10
本试卷共4页，三道大题，28个小题，满分100分。考试时间120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡。
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了（ ）
A.黄金分割数B.平均数C.众数D.中位数
2.将抛物线平移后得到抛物线，则平移方式为（ ）
A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位
C.向上平移1个单位D.向下平移1个单位
3.下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A.3cm，5cm，6cm，9cmB.3cm，5cm，8cm，9cm
C.3cm，6cm，7cm，9cmD.3cm，9cm，10cm，30cm
4.下列函数中，当时，随的增大而减小的是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A.B.C.D.
6.已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（ ）
ABCD
7.小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是某次小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2：AC与BD交于点，，若点到AB的距离为10cm，点到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）
图1图2
A.2cmB.C.D.9cm
8.函数的自变量的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当时，随的增大而减小；
④当时，关于的方程有4个实数根；
其中正确的结论个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
9.在函数中，自变量的取值范围是______.
10.如图，点，分别在的AB，AC边上.只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______.（写出一个即可）
11.已知，则______.
12.点，在抛物线上，则______.（填“>”，“<”或“=”）
13.如图，，点，分别在BE，AF上.如果，，，那么DF的长为______.
14.如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴交轴于点.的面积小于2，则的取值范围是______.
15.如图，在矩形ABCD中，若，，，则AE的长为______.
16.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：与直线：如图所示，有下面四个推断：
①二次函数有最大值；
②抛物线关于直线对称；
③关于的方程的两个实数根为，；
④若过动点垂直于轴的直线与抛物线和直线分别交于点和，则当时，的取值范围是.
其中所有正确推断的序号是______.
三、解答题（共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17.如图，四边形四边形.
（1）______；
（2）求边x，y的长度.
18.已知二次函数.
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；
（3）当时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值.
19.如图，的高AD，BE相交于点.
（1）写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；
（2）请任选一对进行证明.
20.已知：二次函数
（1）若图象经过原点，求二次函数的表达式；
（2）求证：无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点.
21.如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度.他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米.已知小明的身高DE为1.8米，他的影长AE为2米.求信号发射塔的高度BC.
22.如图，直线与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为，点的横坐标为.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积.
23.如图，点是矩形ABCD的边AB上一点，沿直线CE将翻折，使得点落在AD边上，记作点.
（1）求证：；
（2）若，且，求BC的长.
24.2024年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的8块金牌，优秀成绩的取得离不开艰辛的训练.某跳水运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条拋物线，运动员离水面OB的高度与离起跳点的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点的水平距离为3m时，离水面的高度为7m.求：
（1）关于的函数表达式：
（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB.
25.“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日影短至，故曰夏至，至者，极也.”夏至入节的时间为每年公历的6月21日或6月22日.某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午12时，在北半球不同纬度的地方，100cm高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为x（单位：度），影长为y（单位：厘米），x与y的部分数据如下表：
（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度x和影长y之间的关系，在平面直角坐标系xOy中，画出此函数的图象；
（2）北京地区位于大约北纬40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为______cm（精确到0.1）；
（3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量了100cm高的物体的影长均为40cm，那么他们生活的地区纬度差约是______度.
26.在平面直角坐标系xOy中，已知点和在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为.
（1）当时，求的值；
（2）若，求的取值范围.
27.在等腰直角中，，，过点作BC的垂线点为直线AB上的一个动点（不与点，重合），将射线PC绕点顺时针旋转交直线于点.
图1备用图
（1）如图1，点在线段AB上，依题意补全图形；
①求证：；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明.
（2）点在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系.
28.定义：对于平面直角坐标系xOy中的两个图形，，图形上的任意一点与图形上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离.若图形与图形的距离小于等于1，称这两个图形互为“近邻图形”.
图1图2图3
（1）已知点，点.
①如图1，在点，，中，与线段AB互为“近邻图形”的是______.
②如图2，将线段AB向下平移2个单位，得到线段CD，连接AC，BD，若直线与四边形ABDC互为“近邻图形”，求的取值范围；
（2）如图3，在正方形EFGH中，已知点，点，若直线与正方形EFGH互为“近邻图形”，直接写出的取值范围.
昌平一中教育集团2024-2025学年第一学期期中联合质量检测
初三 数学试卷
2024.10
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）
二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）
三、解答题（共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，7分，共68分）
17.解：（1）；
（2）四边形四边形，
，
解得：，.
18.解：（1）抛物线的对称轴为直线；
（2）二次函数的图象如图所示：
（3）观察图象得，当自变量时
当时，取最小值，此时，当时，取最大值，此时，
当时，.
即：函数最大值为0，最小值为.
19.解：（1），，（写出一个即可）
（2）（答案不唯一）
证明：的高AD，BE相交于点，
.
，.
20.（1）解：把代入得，解得，
所以抛物线表达式为；
（2）证明：令，则

方程有两个不相等的实数根，可得两个交点横坐标
无论为任何实数，该二次函数的图象与轴都有两个交点.
21.解：，，
，，，
，，，
，，（米），
信号发射塔的高度为19.8米.
22.解：（1）将代入反比例函数表达式得：，解得：，
反比例函数的表达式为：，
点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，
当时，，，
把，代入一次函数表达式得：，
解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）在中，当时，，
解得：，
，，
.
23.（1）证明：四边形ABCD是矩形
，
沿直线CE将翻折，使得落在AD边上，

.
；
（2）解： ，即
解得.
四边形ABCD是矩形
沿直线CE将翻折，使得点落在AD边上，

，即
解得
24.（1）根据题意，得抛物线的对称轴为直线，经过点，.
设关于的函数表达式为.
解得
关于的函数表达式为；
（2）令，则，
解得或（不合题意，舍去）.
运动员从起跳点到入水点的水平距离OB为
25.（1）解：函数的图象如下：
（2）解：根据（1）中图象可得：当时，，
故答案为：30.0（答案不唯一）；
（3）解：根据（1）中图象可得：当时，或，，
故答案为：44（答案不唯一）；
26.解：（1）将点和代入二次函数中，
得：，，
当时，则，
解得：；
（2），，，
，
解得：，
抛物线的对称轴为，，
，.
27.（1）解：（1）补全图形，如图.
①证明：如图①，设PD与BC的交点为.
图①
根据题意可知，.
，.
，.
.
②.
证明：如图②，过点作交BC于点.
图②
，，.
，.
..
.
，.
（2）过点作交CB的延长线于点，如图③，
图③
，


又 ，
在和中，
.
28.解：（1）①如图1中，
图1
观察图形可知，与线段AB互为“近邻图形”的是，.
故答案为：，；
②如图②中，
图2
当直线在点的上方时，过点作直线，
过点作，交BA的延长线于点.
不妨假设，则，，
，，
当直线在点的下方时，过点作直线，
不妨假设，同法可得，
，，
观察图象可知，满足条件的的取值范围为；
（2）如图3中，
图3
观察图象可知，满足条件的的值为.x
0
5
15
23.5
25
35
45
55
65
y
43.5
33.4
15.0
0
2.6
20.3
39.4
61.3
88.5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
B
A
D
B
C
题号
9
10
11
12
13
14
15
16
答案
答案不唯一
>
6
1
①②