江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是增函数
C．是周期函数D．的值域为
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数,则的图像大致为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．a＜b＜c
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在区间上单调递增的函数是（ ）
A．y＝cs(x－)B．y＝sinx－csxC．y＝sin(x＋)D．y＝|sin2x|
10．下面的结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，则
11．已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A．图像关于点中心对称
B．图像关于直线对称
C．的最大值为
D．既是奇函数又是周期函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ．
13．濮阳市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则我市这两年生产总值的年平均增长率为 ．
14．若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(lnx－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为 ．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图1，在等腰直角三角形ABC中，，,分别是上的点，，为中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中．

(1)求证：⊥平面；
(2)求点到平面的距离．
16．设数列的各项均为正整数．
(1)数列满足，求数列的通项公式；
(2)若是等比数列，且是递减数列，求公比．
17．已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．
(1)求；
(2)记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证．
19．在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.
(1)求的方程;
(2)若是四边形的等线，求四边形的面积;
(3)设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线
1．B
【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解.
【详解】由，解得，
，又，
.
故选：B.
2．C
【分析】根据全称量词命题的否定判断各选项.
【详解】，”的否定为，.
故选：C.
3．D
【分析】根据函数奇偶性、单调性、周期性的定义，逐一分析选项即可.
【详解】分段函数的左右两边的函数图像不关于轴对称， A不正确.
当时，不单调， B不正确.
当时，没有周期性， C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故选:D.
4．C
【分析】根据对数函数的定义域排除A，根据指数函数的单调性判断B，根据幂函数的单调性判断C，举反例排除D.
【详解】对于A，函数是定义域0,+∞上的增函数，但，不一定能推出，因为若不是正数，就无意义，故A错误；
对于B，函数是上的减函数，由，知，故B错误；
对于C，函数是上的增函数，由，知，故C正确；
对于D，由，，不一定能推出，如，故D错误；
故选：C
5．B
【详解】试题分析：设，则，∴在上为增函数,在0,+∞上为减函数，∴，，得或均有排除选项A，C，又中,，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B.
考点：1、函数图象；2、对数函数的性质.
6．A
【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出点的横坐标、点纵坐标，即可得点的坐标.
【详解】由图可知，点在函数的图象上，所以，
即，故，
则点在函数的图象上，所以，即，故，
则点在函数的图象上，所以，故，
又，，故点的坐标为，
故选：A
7．D
【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果.
【详解】设，
则有，，，
可得，即，解得，
所以.
故选：D.
8．B
【分析】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，再比较比较与大小，先比较与大小，比较与大小，从而可得答案
【详解】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，
比较与大小，先比较与大小，
比较与大小，，，
，即，，
故选：B．
9．B
【分析】分别求出其单调区间，再分析判断即可
【详解】对于A，由 ，则，所以函数在上递增，在上递减，所以A错误，
对于B，时，，，，所以函数在上递增，所以在单调增，所以B正确，
对于C，，由，得，所以函数在上递减，所以函数在区间上单调递减，所以C错误，
对于D，，可知函数在上递减，所以D错误，
故选：B．
10．ACD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式计算即可.
【详解】对于A，因为，所以，则，故A正确；
对于B，不妨令，则，故B 错误；
对于C，，
当且仅当时取得等号，所以，故C正确；
对于D，易知，当且仅当时取得等号，
所以，则，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】根据函数的对称性的性质、奇函数的定义、周期函数的定义，结合换元法、导数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，
，
所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，
，
所以，
因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，函数有极大值，
极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，
所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用换元法，根据导数的性质求最值是解题的关键.
12．1
【分析】令，根据，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，计算得解.
【详解】由，令，
，又，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
，即.
故答案为：1.
13．
【分析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为，由题意，解方程即可.
【详解】设该市这两年生产总值的年平均增长率为,由题意,
所以，故填.
【点睛】本题主要考查了平均增长率的问题，属于容易题.
14．2
【分析】令，，利用导数判断的单调性，作出，大致图象，求出，的交点，设，令，令，利用零点存在性定理可得，即求.
【详解】令，，
，，
令，
∴当时， ，单调递增；
当时，，单调递减，
，分别作出，大致图象如下：

联立，即，
设，，令，即，
令，知在上单调递减，
，，
，∴整数的最大值为2．
故答案为：2
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别计算，的长度，然后利用勾股定理计算直角，最后再利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）取中点，则．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可．
【详解】（1）解：（1）连接OD，OE，，
在△COD中，，
同理得，
因为，所以,
所以，
因为
所以，
所以
又因为平面,平面
所以⊥平面；
（2）（2）取中点，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系

则，
设平面的一个法向量为，
又，
所以，令，则，
则，
又，，
所以点B到平面A′CD的距离为．
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，当时有，当时有，可求
（2）分，和三种情况，验证结论成立的条件.
【详解】（1）数列满足，
设，
当时，有，即，
当时，有，得，
符合，所以．
（2）是等比数列，且各项均为正整数，则公比．
若，则，是递减数列，符合题意．
若，则当时，，不为正整数，不合题意．
若，则，
当，即时，，
这与是递减数列相矛盾，不合题意．
故公比．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求；
（2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减，
所以且，所以，可知，
又由，可知，所以，故，
由，可得，即．
（2），
化简得，
因为，所以，
所以，
又，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，故长的最大值为．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）当时，，只需证明当时，．求出导函数，再确定的单调性，从而确定的零点存在，得出极小值点，由得，代入并变形，根据已知条件即可得证．
【详解】（1）当时，，
则，
又，，
所以切线方程为：，
即．
（2）当，时，，
则有，
故只需证明当时，．
当时，函数在区间上单调递增，
又，，
故在区间上有唯一实根，且，
当时，；
当x∈x0,+∞时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，，
故，
综上，当时，．
19．(1)
(2)12
(3)证明见解析
【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可.
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.
（3）利用给定条件和新定义证明即可.
【详解】（1）由题意知，显然点在直线的上方，
因为直线为的等线，所以，
解得，所以的方程为
（2）设Px0,y0，切线，代入得:
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，
所以，即方程为
当的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为，不妨设在上方，
联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，
则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，
由，解得，故 .
所以，
所以，
所以，所以
（3）
设，由，所以，
故曲线的方程为
由（*）知切线为，也为，即，即
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，
由（2）知，
所以
由得
因为，
所以直线为的等线 .
【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到，证明即可．