宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析）

这是一份宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
命题人：鲜双燕
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，向量，，则是的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知为角终边上一点，则（ ）
A．B．-2C．D．
5．若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．泰姬陵于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在A处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（ ）

A．B．C．D．
7．已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
8．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为
A．11B．9
C．7D．5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的.全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若复数，则下列正确的是（ ）
A．当或时，为实数
B．若为纯虚数，则或
C．若复数对应的点位于第二象限，则
D．若复数z对应的点位于直线上，则或
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数是偶函数
D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象
11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（ ）
A．最大值为1B．最大值为1
C．最大值是2D．最大值是
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在中，是边上的一点，且满足， 则在方向上的投影向量是 （用表示）
13．
14．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知向量.
(1)求的值；
(2)若向量与垂直，求k的值.
16．在中，点D在上，，.
(1)求的值；
(2)若，求的长.
17．已知函数在点处的切线与直线平行．
(1)求的值及切线的方程；
(2)求的单调区间和极值．
18．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值；
(3)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积为，求边a的长
19．设函数的导函数为f′x，若对任意恒成立，则称函数在区间上的“一阶有界函数”．
(1)判断函数和是否为上的“一阶有界函数”，并说明理由；
(2)若函数为上的“一阶有界函数”，且在上单调递增，设，为函数图象上相异的两点，直线的斜率为，试判断“”是否正确，并说明理由；
(3)若函数为区间0,1上的“一阶有界函数”，求的取值范围．
1．C
【分析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可．
【详解】由，
，
则，
即，
故选：C.
2．B
【分析】根据复数的四则运算可得，进而可得.
【详解】由，
所以，
故选：B.
3．A
【分析】根据向量平行的坐标表示，结合充分必要条件定义即可判断.
【详解】若，则，，则，所以；
若，则，得.
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值.
【详解】因为为角终边上一点，所以，
所以.
故选：B.
5．C
【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即，
综上，
故选：C
6．A
【分析】作出辅助线，得到各角度及，在中利用正弦定理得到，进而得到.
【详解】由题设且，
过点作平行于，则，，

故，
所以，，
在中，由勾股定理可得，
在中，由正弦定理得，，即，
所以，故.
故选：A
7．D
【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点），
则设，则,
则，结合，可得，且，
故，
当且仅当，结合，即时取得等号，
即 的最小值为，
故选：D
8．B
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．
【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω＝2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则，
即T，解得：ω≤12，
当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，
∵|φ|，
∴φ，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，
故选B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.
9．ACD
【分析】根据复数的类型、几何意义，结合复数的具体形式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：当，；当，，故或时，均为实数，A正确；
对B：为纯虚数，则，解得，故B错误；
对C：复数对应的点位于第二象限，则，解得，故C正确；
对D：复数z对应的点位于直线上，则，
即，解得或，对应复数分别为或，故D正确；
故选：ACD.
10．ABD
【分析】结合函数图象依次求出,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐一判断即得.
【详解】由图可得，，，解得，故A正确；
又函数图象经过点，则，即，
因，故，解得，故.
对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；
对于C，，是奇函数，故C错误；
对于D，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
将得到函数的图象，故D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可．
【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系，
则，，，
设，则，,，
所以，，，
由，得，且，,，
对于A，当时，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
12．
【分析】由数量积的运算公式可以得到，再根据题中条件得到,
最后利用投影向量的公式进行求解即可.
【详解】
由，则，
又，则，
又，则，即，
故，
又向量在方向上的投影向量是，
故答案为：.
13．
【分析】根据条件，利用两角和的正弦公式进行化简，即可求出结果.
【详解】
，
故答案为：.
14．
【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即.
【详解】中，，，
所以，所以，
根据正弦定理，，
即，
因为，所以，
由为三角形内角可知，，
根据正弦定理，，
所以
，
其中，，
当时取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
15．(1)5
(2)
【分析】（1）求出向量的坐标，根据向量的模长公式，即得答案；
（2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示，列式计算，即得答案.
【详解】（1）由，得，
故；
（2）由题意得，
因为向量与垂直，所以，
即，解得.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理依次求得，从而得解；
（2）利用向量的线性运算与数量积的运算法则即可得解.
【详解】（1）在中，，，则，
所以
，所以，
又，则.
（2）因为，则，

所以，
又，
所以
，
则.
17．(1)，
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出，即可求出，再由点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间与极值.
【详解】（1）因为，所以，
则，故在处的切线斜率为，
，解得，即，
因此，
所以函数在点处的切线：，即．
（2）由（1）可得，定义域为，
又，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，在处取得极小值，
即极大值为，极小值为，
综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为．
18．(1)；
(2)
(3)5
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及倍角公式化简，结合正弦函数性质，即可求得答案；
（2）根据三角函数图象的平移可得的表达式，确定角的范围，即可求得答案；
（3）结合（1）求出角A，利用面积公式求出bc的值，再利用余弦定理即可求得答案.
【详解】（1）由，
得，
故函数的最小正周期为；
令，解得，
故函数的单调递减区间为；
（2）由题意得，
因为，所以，
故；
（3）由于，故，则，
而，故；
由若的面积为，得，则，
又，故，
故.
19．(1)是上的“一阶有界函数”；不是上的“一阶有界函数”；理由见解析
(2)正确；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据“一阶有界函数”的定义即可判断选项；
（2）根据函数为上的“一阶有界函数”，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再结合函数单调递增的定义进行列式，化简判断；
（3）根据函数为区间0,1上的“一阶有界函数”，求得大致满足的范围．在构造函数，利用导数判断函数的单调性，求得最小值从而确定．
【详解】（1）由，在上恒成立，故是上的“一阶有界函数”；
由，，当，，故不是上的“一阶有界函数”；
（2）若函数为上的“一阶有界函数”，则，
又函数在上单调递增，则f′x≥0，因此可得，
令，则，在上单调递减，
设，，其中，
则，故；
又在上单调递增，则，故，因此可得；
（3）由函数，则，
若hx为区间0,1上的“一阶有界函数”，则，
即，恒成立，
故，即，则，
，即，则，因此．
令，则，
其中，，在区间0,1上单调递增，
故在区间0,1上单调递增，
又，，所以存在，
使，即，则，
当x∈0,x0，， 当，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
故，
又对称轴为，
因此在区间上单调递减，恒成立，
即，
故．
【点睛】关键点点睛：新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础，以不变应万变才是制胜法宝.