山东省烟台市牟平区第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试 数学试题（含解析）

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1. 已知集合，则的真子集个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先将两个集合化简求其交集，然后根据集合元素个数与真子集个数关系求出真子集个数.
【详解】因为，
，
所以，
的真子集个数为.
故选：B.
2. 已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.
【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，
∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，
解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
则＝＝8．
故选：C．
3. 已知函数，则“”是“函数在处有极值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得a、再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，解得或；
当时，，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；
当时，，
当或时，当时，满足函数在处取得极值，
所以，
所以由推不出函数在处有极值，即充分性不成立；
由函数在处有极值推得出，即必要性成立；
故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件；
故选：B
4. 已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是（ ）
A. 相切B. 相交
C. 相离D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】
把圆方程配方得圆心坐标和半径，由圆关于直线对称，说明圆心在此直线上，求得参数m，再求出圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系．
【详解】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2．由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．
故选：A.
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查直线与圆的位置关系．圆的一般方程可通过配方法变为标准方程，从而得出圆心坐标和半径．
5. 为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（ ）小时．（参考数据ln10≈2.3）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先由可得a的值，再根据指数和对数的运算法则，解不等式2≤0.001，即可．
【详解】解：由题意知，当x＝0时，y＝2，
所以2＝a•e﹣0，解得a＝2，
所以y＝2e﹣x，
要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，
解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，
因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，
所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），
所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．
故选：D．
6. 若两个非零向量，满足|+|＝|﹣|＝||，则向量﹣与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】|+|＝|﹣|＝||平方，得到关系，以及与关系，求出与的关系，根据向量夹角公式，即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴，∴，
∴，，
∴，
且，
∴与的夹角为．
故选：B ．
7. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数可得在上恒成立，进而可得，然后构造函数，根据函数的单调性即得.
【详解】设，，
在上恒成立，
在上单调递增，
，即在上恒成立，
，
，
设，，因为为增函数，
则在上单调递增，且，
.
故选：A.
8. 已知函数及其导函数的定义域都为，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及，再利用复合函数的导数推出的周期以及，进而可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，即函数图象关于对称，则，
因为为奇函数，所以，
即函数图象关于点对称，
则，
所以，则，所以函数以4为周期，
，
因为，所以，
即，即，
也即，
令，则有，所以，
由得，所以以4为周期，
所以，
所以，C正确，
对于其余选项，根据题意可假设满足周期为4，
且关于点对称，
，故A错误；
，B错误；
，D错误，
故选:C.
二．多选题（每小题6分，部分选对得部分分，共18分）
9. 已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（ ）
A. 圆的方程为
B. 直线的方程为
C. 均与圆相切
D. 四边形的面积为
【答案】AC
【解析】
【分析】A．将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程并判断；
B．联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；
C．根据切线的定义进行判断；
D．根据结合线段长度求解出结果并判断.
【详解】解：由圆，得，
则圆心，线段中点坐标为，
则以为直径的圆的方程为，
整理得：，
即圆的方程为，故A正确；
联立，两式作差可得：，
即直线的方程为，故B错误；
∵在以为直径的圆上，∴，
由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确；
∵，且，∴，
∴四边形的面积为，故D错误．
故选：AC．
10. 如图，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，圆锥的内接圆柱的底面半径为，圆柱的体积为，则（ ）
A. 圆锥的表面积为
B. 圆柱的体积最大值为
C. 圆锥的外接球体积为323π27
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据圆锥的截面确定底面半径和母线，代入圆锥表面积公式计算可判断A，利用相似找到圆柱的底面半径和高的关系，求出圆柱体积的解析式，利用导数法求解最大值可判断B，找到外接球的球心，利用勾股定理求出球的半径，求出体积即可判断C，作差变形，判断符号即可判断D.
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，
所以圆锥母线长为2，底面圆的半径为1，圆锥的高，
所以圆锥的表面积为，故选项A正确；
设圆柱的高为h，如图
则，解得，
则圆柱的体积为，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以圆柱的体积最大值为，故选项B正确；
如图，
设圆锥的外接球球的半径为，则由是正三角形可得，,
在中，，解得，所以圆锥外接球体积为，故选项C正确；
因为，
所以，
，
所以
，
由于与1的关系无法判断，所以与大小关系不确定，故选项D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当或时，有且仅有一个零点
B. 当或时，有且仅有一个极值点
C. 若为单调递减函数，则
D. 若与轴相切，则.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据零点的定义可得的零点即方程的根，利用导数研究函数的性质，结合图象可判断A，由导数的几何意义可判断D，根据导数与函数的单调性的关系求的范围，由此可判断C，结合单调性与极值的定义可判断B.
【详解】，令可得，化简可得，
设，则，
当，，函数在单调递减，
当，，函数在单调递增，
又，，由此可得函数图象如下：
所以当或时，有且仅有一个零点
所以当或时，有且仅有一个零点，A对，
函数的定义域为，
，
若与轴相切，设与轴相切与点，
则，，
所以，，
所以，，故D正确；
若为单调递减函数，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
且，，当时，，
由此可得函数的图象如下：
所以若为单调递减函数，则，C错，
所以当时，函数在上没有极值点，B错，
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，利用函数的单调性和图象解决问题，本题为函数综合性问题，涉及函数的零点，导数的几何意义，根据函数的单调性求参数，函数的极值，考查的知识点较多，要求具有扎实的基础知识，较强的解题能力.
三．填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知，则的值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的和差公式将展开,再整理得到,再利用二倍角公式求出的值.
【详解】解：由于,
则
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的和差公式、二倍角公式的应用,属于基础题．
13. 双曲线的左焦点为，点P为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用双曲线的定义将转化为，然后利用三点共线时取最小值求解即可.
【详解】∵，，
∵周长的最小值为14，
∴的最小值为14，即的最小值为，
设右焦点为，则，即，
则，即三点共线时最小，
此时，即最小值为，得，
∵，∴离心率.
故答案为：
14. 在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量的取值集合均为，则的散度.若，的概率分布如下表所示，其中，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知公式得出，根据二次函数最值与不等式性质得出，即可根据对数函数性质得出，即可得出答案.
【详解】根据已知公式，
得，
，
令，开口向下，对称轴为，
在上，，
则，
则，
故答案为：
四．解答题
15. 已知，其图象相邻对称轴间的距离为，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.
（1）求函数的解析式及图象的对称中心；
（2）在钝角中，内角的对边分别是，若，求的取值范围.
【答案】（1），对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出，再根据图像平移得到 ，由对称中心公式求得结果；
（2）由得出三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简，再利用导数求函数单调区间得出结果.
【小问1详解】
已知图象相邻对称轴间的距离为，则.
由周期公式得，，
所以，
，
令，所以，
故函数的对称中心为
【小问2详解】
由题意得，，，
所以.
所以或（舍），
所以.
因为在钝角中，所以，
所以，
则
令，，
当时，；当时，；
可得在单调递减，在单调递增.
所以当，即时，有最小值；
，所以
故.
16. 如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
（1）求证：平面BDEF；
（2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合菱形性质，利用线面垂直的判定定理求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求线面角即可.
【小问1详解】
设AC与BD相交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
且O为AC中点，，，
又，平面BDEF，∴平面BDEF．
【小问2详解】
连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且，
为等边三角形，
∵O为BD中点，∴，又，平面ABCD，
平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直，
∴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，
设，∵四边形ABCD为菱形，，．
等边三角形，∴．
，
∴，，
设平面ABF的法向量为，则
令，解得，
设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：．
17. 记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”．已知椭圆E：，椭圆E的相似椭圆M经过（2，1）点．
（1）求椭圆M的方程；
（2）直线l与椭圆E交于A，B两点，与椭圆M交于C，D两点（A，B，C，D四点位置如图），若|CD|＝2|AB|，点N在直线l上，ON⊥直线l，求|ON|的取值范围．
【答案】（1）+＝1；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意可设椭圆的方程为，将点代入，求解即可；
（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出，，由，求解即可．
【详解】（1）由条件可知，椭圆M的离心率e＝，
设椭圆M的方程为+y2＝λ（λ≠0），代入点（2，1），
得λ＝3，
所以椭圆M的方程为+＝1．
（2）当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x＝t（﹣＜t＜），
|AB|＝2，|CD|＝2，
由|CD|＝2|AB|，可得2＝4，解得t＝±，此时|ON|＝；
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx+m，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（1+2k2﹣m2）＞0，即1+2k2＞m2，
x1+x2＝，x1x2＝，
由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，
△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣6）＝8（3+6k2﹣m2）＞0，即3+6k2＞m2，
所以x3+x4＝，x3x4＝，
所以|AB|＝＝•，
|CD|＝＝•，
由|CD|＝2|AB|，可得1+2k2＝3m2，
所以|ON|2＝＝＝﹣，
所以|ON|2∈，
即|ON|∈．
综上可得，|ON|的取值范围是
【点睛】解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中范围问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若且，证明：，．
【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，，比较导数的零点，求解函数的单调区间；（2）利用二次导数，可转化为证明恒成立，再利用，可证明，只需证，化简后，构造函数，证明不等式.
【详解】解：（1）函数的定义域为0,+∞，
∵，∴
∴由得或
由得；
∴的单调递增区间为和；单调递减区间为．
（2）欲证，，即证，，
令，，则，
令，则，
因为，所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以欲证，，只需证，①
因为，所以，
即，②
令，则，当时，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，故②式可等价变形为：
所以，欲证①式成立，只需证成立
所以仅需证，
令，（），则，
∴在上单调递增，
故，即，
∴结论得证．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式恒成立，本题的关键是利用，变形，计算求得，从而转化为证明成立.
19. 混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值满足，已知初始状态值，其中，这样每一时刻的状态值构成数列.
（1）若数列为等比数列，求实数的取值范围；
（2）若，证明：
①；
②.
【答案】（1）；
（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合求解即得.
（2）①把代入，变形得，再探讨的符号及数列的单调性推理得证；②由已知结合累加法得，再由①结合累加法求得即可推理得证.
【小问1详解】
由是等比数列，得，且，
依题意，，则，
于是，即，整理得，
因此，即，解得，
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
①由知，，则，
由，得数列是递减数列，则；
又，则同号，有与同号，即，于是，
所以．
②由，得，
由①知，，则，又，因此，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问0
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