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山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研 数学试题（含解析）
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这是一份山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了保持卡面清洁，不折叠，不破损，下列说法错误的是，曲线在处的切线方程是，已知，则，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
2．命题的否定为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
4．已知，则（ ）
A．B．3C．D．
5．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样
本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
7．曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称D．在单调递增
10．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，曲线对称中心的横坐标为定值
D．，使在上是减函数
11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．曲线关于坐标轴对称
C．曲线与轴没有交点
D．的面积不大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则____________．
13．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．
14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）记中的内角所对的边分别是，已知，
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．（本小题满分15分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点．
（1）若，证明：平面；
（2）已知，求平面和平面所成的二面角的正弦值．
18．（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下，
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球：方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19．（本小题满分17分）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）求的面积．
9月运城市调研答案
一、1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C
二、9．AD 10．BC 11．ABD
三、13．2 14． 15．
四、答案：
15．解：（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
（2）由，得，
由，得，所以
所以，
所以
所以的周长
16．解：（1）由题可得：，
当时，在上单调递增．
当时，可得，
若时，单调递减，
若时，单调递增，
综上可得：
当时在上单调递增．
当时在单调递减，在单调递增．
（2）由得，而
令在上单调递减，
，
17．（1）证明：因为平面平面，
可知，
且为的中点，则，
若，即，则，
且平面，
所以平面．
（2）由题意可知：平面，
以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得；
设平面的法向量为，则，
令，可得；
由题意可得：
所以平面和平面所成二面角的正弦值为
18．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件
（1）
所以摸球一次就实验结束的概率为
（2）①因为是对立事件，，
所以
所以选到的袋子为乙袋的概率为
②由①可知
所以方案一种取到白球的概率为
方案二种取到白球的概率为
因为，
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就实验结束的概率更大。
19．解（1）因为点在抛物线上，
则，解得．
（2）证明：由（1）可知：，即，
方法一：因为点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程，可得，
解得或，
所以，可得，
另解：根据韦达定理可得即：
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以，
．
方法二：因为点在抛物线上，
所以，两式相减得：．
所以：
可得，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以，
．
（3）由（2）题意可知：，
方法一：梯形的面积为：
即，同理可得，
梯形的面积为：
，
即，
则的面积为：
．
方法二：
所以的面积为：
本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A．2B．C．D．
2．命题的否定为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．6
4．已知，则（ ）
A．B．3C．D．
5．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样
本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200
B．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10
C．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
7．曲线在处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称D．在单调递增
10．设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，无极值点
C．，曲线对称中心的横坐标为定值
D．，使在上是减函数
11．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线的方程是
B．曲线关于坐标轴对称
C．曲线与轴没有交点
D．的面积不大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则____________．
13．双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为____________．
14．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）记中的内角所对的边分别是，已知，
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．（本小题满分15分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，为的中点．
（1）若，证明：平面；
（2）已知，求平面和平面所成的二面角的正弦值．
18．（本小题满分17分）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
（1）求首次摸球就试验结束的概率；
（2）在首次摸球摸出红球的条件下，
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球：方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
19．（本小题满分17分）已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）求的面积．
9月运城市调研答案
一、1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C
二、9．AD 10．BC 11．ABD
三、13．2 14． 15．
四、答案：
15．解：（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
（2）由，得，
由，得，所以
所以，
所以
所以的周长
16．解：（1）由题可得：，
当时，在上单调递增．
当时，可得，
若时，单调递减，
若时，单调递增，
综上可得：
当时在上单调递增．
当时在单调递减，在单调递增．
（2）由得，而
令在上单调递减，
，
17．（1）证明：因为平面平面，
可知，
且为的中点，则，
若，即，则，
且平面，
所以平面．
（2）由题意可知：平面，
以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，可得；
设平面的法向量为，则，
令，可得；
由题意可得：
所以平面和平面所成二面角的正弦值为
18．解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件
（1）
所以摸球一次就实验结束的概率为
（2）①因为是对立事件，，
所以
所以选到的袋子为乙袋的概率为
②由①可知
所以方案一种取到白球的概率为
方案二种取到白球的概率为
因为，
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就实验结束的概率更大。
19．解（1）因为点在抛物线上，
则，解得．
（2）证明：由（1）可知：，即，
方法一：因为点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程，可得，
解得或，
所以，可得，
另解：根据韦达定理可得即：
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以，
．
方法二：因为点在抛物线上，
所以，两式相减得：．
所以：
可得，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以，
．
（3）由（2）题意可知：，
方法一：梯形的面积为：
即，同理可得，
梯形的面积为：
，
即，
则的面积为：
．
方法二：
所以的面积为：
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