第11讲导数的概念与切线方程（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

这是一份第11讲导数的概念与切线方程（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用），共9页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。


1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分
【备考策略】1.理解、掌握导数的定义，能够运用导数求解基本初等函数的导数
2.能掌握导数的几何意义与切线的性质
3.具备数形结合的思想意识，会求在一点与过一点的切线方程
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数求导数的切线方程。
知识讲解
知识点一.导数的定义
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率lim∆x→∞fx0+∆x-f(x0)∆x=lim∆x→∞∆y∆x为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f (x0)或y，|x=x0，即f x0=lim∆x→∞∆y∆x=lim∆x→∞fx0+∆x-f(x0)∆x
2.函数y=f(x)的导数：
f (x)=y，=lim∆x→∞fx+∆x-f(x)∆x,
3.利用定义求导数的步骤：
= 1 \* GB3 ①求函数的增量：∆y=fx0+∆x-fx0；
= 2 \* GB3 ②求平均变化率：∆y∆x=fx0+∆x-f(x0)∆x
= 3 \* GB3 ③取极限得导数：f x0=lim∆x→∞∆y∆x
知识点二.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x-f(x0)∆x=f'(x0)相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
知识点三.导数的运算
1.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
2.导数的运算法则
（1）［f（x）±g（x）］′＝f′（x）±g′（x）；
（2）［f（x）·g（x）］′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；
3.复合函数的导数
复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法链接
考点一、导数的定义
1.（2025高三·全国·专题练习）设函数f(x)可导，f'(1)=1则lim△x→0f(1+△x)-f(1)3△x= ．
2.（2024·湖北黄石·三模）已知函数fx=lg2x，则limx→2fx-f2x-2= .
1.（2025·四川内江·模拟预测）已知函数fx=-12x2+lnx，则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx的值为（ ）
A．eB．-2C．-12D．0
2.（23-24高三上·上海青浦·期中）已知a∈R，曲线y=fx经过点1,2且在该点处的切线方程为ax+y-5=0，则 limh→0f1+h-2h= .
3.（2024·全国·模拟预测）已知符号“lim”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①limx→0sinxx=1；②limx→0(1+x)1x=e，则依据两个公式，类比求limx→0sinxcsxx= ；limx→0(1+sin2x)1sinxcsx= .
4.（20-21高三上·北京·期中）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c=f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
① 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；
② 在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；
③ 在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；
④ 在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.
其中所有正确结论的序号是 ．
考点二、导数的运算与求值
1.（2022·全国·高考真题）当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2，则f'(2)=（ ）
A．-1B．-12C．12D．1
2.（2020·全国·高考真题）设函数f(x)=exx+a．若f'(1)=e4，则a= ．
1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=2f'3x-29x2+lnx（f'x是fx的导函数），则f1=
2.（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数fx=lnx+ax，若f'1=2，则a= .
3.（2025高三·全国·专题练习）在等比数列an中，a1013=2，若函数fx=12xx-a1x-a2⋯x-a2025，则f'0=（ ）
A．-22024B．22024C．-22025D．22025
4.（2025高三·全国·专题练习）已知三次函数fx=x3+2x-1，若x1+x2=0，则fx1+fx2= .
考点三、在一点处的切线方程
1.（2023·全国·高考真题）曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为（ ）
A．y=e4xB．y=e2xC．y=e4x+e4D．y=e2x+3e4
2.（2020·全国·高考真题）函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为（ ）
A．y=-2x-1B．y=-2x+1
C．y=2x-3D．y=2x+1
1．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知fx=x3+x2-x+2，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为（ ）
A．y=x+2B．y=-4x+1C．y=-x+4D．y=4x-1
2．（21-22高三上·天津·期中）曲线y=xex在点1,1e处的切线方程为（ ）
A．y=x-1B．y=xC．y=0D．y=1e
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知f(x)=x2-lnx在x=1处的切线与圆C:(x-a)2+y2=4相切，则a= ．
4．（23-24高三上·天津滨海新·期中）函数y=lnx-2x的导数为 ，曲线y=lnx-2x在x=1处的切线方程为 ．
考点四、过一点的切线方程
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x2．
(1)求fx在区间2023,2024上的平均变化率；
(2)求曲线y=fx在点2,f2处的切线方程；
(3)求曲线y=fx过点2,0的切线方程．
2.（2021·全国·高考真题）若过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）
A．ebC．01.（2025·四川内江·模拟预测）若过点m,n(m>0)可以作两条直线与曲线y=12lnx相切，则下列选项正确的是（ ）
A．2nlnm
C．2m>lnn>0D．2m2.（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线y=x2-3lnx的一条切线方程为y=-x+m，则实数m=（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
3.（2024高三·全国·专题练习）过点3,0作曲线fx=xex的两条切线，切点分别为x1,fx1，x2,fx2，则x1+x2=（ ）
A．-3B．-3C．3D．3
考点五、切线的倾斜角与斜率
1.（全国·高考真题）曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
2.（重庆·高考真题）曲线y=2-12x2与y=14x3-2在交点处切线的夹角是 ．（用弧度数作答）
1.（23-24高三上·云南·阶段练习）已知函数f(x)=x3-f'(1)x2+3的导数为f'(x)，则f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为 ．
2.（23-24高三上·天津·阶段练习）曲线y=2x-lnx在x=1处的切线的倾斜角为α，则cs2α-π2= ．
3.（2024高三下·全国·专题练习）已知三次函数fx有三个零点x1，x2，x3，且在点xi,fxi处切线的斜率为kii=1,2,3，则1k1+1k2+1k3= .
4.（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数y=-x(x+1)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（ ）
A．0,π4B．0,π4∪3π4,πC．π2,2π3D．3π4,π
5.（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知直线y=a与函数fx=ex，gx=lnx的图象分别相交于A，B两点.设k1为曲线y=fx在点A处切线的斜率，k2为曲线y=gx在点B处切线的斜率，则k1k2最大值为（ ）
A．1B．eC．eaD．1e
考点六、公切线
1.（2024·全国·高考真题）若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= .
2.（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线．
(1)若x1=-1，求a；
(2)求a的取值范围．
1.（2024·四川成都·模拟预测）已知函数y=x的图象与函数y=ax（a>0且a≠1）的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 .
2.（2024·辽宁大连·一模）斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆x2+y2=12都相切，则实数a的值为（ ）
A．0或2B．-2或0C．－1或0D．0或1
3.（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数fx=4ex-2x-2x(x>0)，函数gx=-x2+3ax-a2-3a(a∈R)．若过点O0,0的直线l与曲线y=fx相切于点P，与曲线y=gx相切于点Q，当P、Q两点不重合时，线段PQ的长为 ．
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=ex-1,gx=14ex2，若直线l是曲线y=fx与曲线y=gx的公切线，则l的方程为（ ）
A．ex-y=0B．ex-y-e=0
C．x-y=0D．x-y-1=0
1．（22-23高三上·天津·期中）若fx=x2-2x-4lnx，则f'x>0的解集为（ ）
A．0,+∞B．-∞,-1∪2,+∞C．2,+∞D．-∞,-1
2．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）已知函数fx=2x2-8x+10,x>2e2-x+x-1, x≤2，若fx≥x-m恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．18,5-2ln2B．(-∞,4-2ln2]
C．14,4-2ln2D．12,5-2ln2
3．（22-23高三上·天津·期中）函数f(x)=lg12x的导数为 .
4．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数fx的导函数，满足fx=2xf'1+x3，则f1等于 .
5．（20-21高三上·天津·期中）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3x-y=0，则a= .
6．（22-23高三上·天津河北·期末）函数fx=xlnx-1，gx=ax+ba,b∈R，若a=1时，直线y=gx是曲线fx的一条切线，则b的值为
7．（20-21高三上·天津南开·期中）已知函数fx=11-x+11+x，则fx在x=2处的导数f'2=
1．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若曲线y=x3+alnx在点(1,1)处的切线方程为y=kx-4，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2021·天津宁河·一模）设曲线y=ax-lnx2+1在点0,1处的切线方程为y=2x+1，则a= .
3．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程是x-2y+1=0，若h(x)=f(x)x，h'(2)的值为 .
4．（23-24高三下·天津·开学考试）函数fx=lg2x+2x-xln2的图象在x=1处切线的斜率为 .
5．（21-22高三上·天津南开·期中）曲线y=ex在x=0处的切线方程为 ；若该切线也是曲线y=lnx+b的切线，则b= .
6．（2020·天津·一模）设函数fx=x3-1x，则fx在动点Px0,fx0处的切线斜率的最小值为
7．（20-21高三上·天津北辰·期中）若曲线y=lnx+a的一条切线为y=ex+b，其中a,b为正实数，则a+eb+2的取值范围是 .
1.（2019·全国·高考真题）曲线y=2sinx+csx在点(π，–1)处的切线方程为
A．x-y-π-1=0B．2x-y-2π-1=0
C．2x+y-2π+1=0D．x+y-π+1=0
2.（2021·全国·高考真题）曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为 ．
3.（2019·天津·高考真题） 曲线y=csx-x2在点0,1处的切线方程为 .
4.（2019·全国·高考真题）曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 ．
5.（2024·全国·高考真题）设函数fx=ex+2sinx1+x2，则曲线y=fx在点0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．16B．13C．12D．23
6.（2022·全国·高考真题）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
7.（2022·全国·高考真题）若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
8.（2020·全国·高考真题）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .
9.（2021·全国·高考真题）已知函数f(x)=x3-x2+ax+1．
（1）讨论fx的单调性；
（2）求曲线y=fx过坐标原点的切线与曲线y=fx的公共点的坐标．
5年考情
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参)
2023年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零
2021年天津卷，第20题,16分
求在曲线上一点处的切线方程(斜率)
利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析
2020年天津卷，第20题,16分
利用导数证明不等式
函数
导函数
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝sin x
y′＝cs_x
y＝xα(α为实数)
y′＝αxα－1
y＝cs x
y′＝－sin_x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axlna
特别地(ex)′＝ex
y＝lgax(a>0，a≠1)
y′＝eq \f(1,xln a)
特别地(ln x)′＝eq \f(1,x)