第11讲：第二章 函数与基本初等函数 章节总结 (精讲）（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

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第一部分：典型例题讲解
题型一：函数的定义域
1．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）若函数的定义域为，则函数的定义域为
4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则的定义域为 ．
5．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
题型二：函数的值域(最值）
1．（23-24高二上·广东广州·期末）函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．4
2．（多选）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023高三上·全国·专题练习）函数的值域是 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值．
5．（23-24高一上·吉林·期末）已知函数，.
(1)时，求的值域；
(2)若的最小值为4，求的值.
6．（2023高三·全国·专题练习）求函数的值域．
7．（23-24高一上·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围；
（2）的值域为，求实数的取值范围．
题型三：求函数的解析式
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·天津南开·期中）已知，则函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（23-24高一上·山西太原·期中）已知函数则（ ）
A．B．
C．的最小值为-1D．的图象与x轴有2个交点
4．（23-24高一上·湖北·期末）函数满足，请写出一个符合题意的函数的解析式 .
5．（2024高一·全国·专题练习）已知是二次函数且，，求.
6．（23-24高一上·河北·阶段练习）（1）已知，求的解析式；
（2），求的解析式.
题型四：分段函数问题
1．（23-24高三上·安徽六安·期末）函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024高三·全国·专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若时， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高一下·广西·开学考试）已知是上的单调函数，则的取值范围是 .
5．（23-24高一下·上海·阶段练习）若函数无最大值，则实数a的取值范围 .
题型五：函数的单调性
1．（2024·陕西西安·二模）已知函数.若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东·一模）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 .
5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
题型六：函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性综合应用
1．（2024·山东烟台·一模）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北沧州·一模）已知定义在上的函数满足：，且．若，则（ ）
A．506B．1012C．2024D．4048
3．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知定义在R上的偶函数，其周期为4，当时，，则（ ）
A．B．的值域为
C．在上单调递减D．在上有8个零点
4．（多选）（23-24高一下·江西·开学考试）已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，，都有，则（ ）
A．的图象关于点中心对称B．
C．在区间上单调递增D．在处取得最大值
5．（多选）（2024·吉林白山·二模）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·陕西·开学考试）已知定义在上的函数为奇函数，为偶函数，当时，，则方程在上的实根个数为 ．
题型七：不等式中的恒成立问题
1．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数.若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知正实数满足，且对任意恒成立，则实数的最小值是 .
3．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
4．（23-24高一下·北京延庆·阶段练习）设为常数，且，函数，若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围．
5．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的定义域.
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.
(3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
6．（23-24高一上·北京·期中）若二次函数满足，且
(1)确定函数的解析式；
(2)若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.
题型八：不等式中的能成立问题
1．（23-24高一上·河南驻马店·期末）已知定义在上的函数，且是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
2．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数，
(1)若的值域为，求满足条件的整数的值；
(2)若非常数函数是定义域为的奇函数，且，，，求的取值范围.
3．（23-24高一下·云南红河·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值；
(2)若，，使得不等式成立，求的取值范围.
4．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.
5．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数的图象经过点．
(1)求的值，判断的单调性并说明理由；
(2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围．
题型九：函数的图象
1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）以下最符合函数的图像的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高三下·四川遂宁·开学考试）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
题型十：指数函数，对数函数，幂函数
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．D．1
3．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
4．（2024·河南郑州·模拟预测）函数是偶函数，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
6．（2024·河南·模拟预测）若是偶函数，则实数 ．
题型十一：函数中的零点问题
1．（2024·陕西·二模）已知，是函数的两个零点，则（ ）
A．1B．eC．D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，对任意的，都有成立，且当时，，若在区间内方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西榆林·二模）已知函数恰有3个零点，则整数的取值个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·广东·一模）已知，函数.
(1)求的单调区间.
(2)讨论方程的根的个数.
题型十二：函数模型的应用
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据：
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·四川宜宾·二模）根据调查统计，某市未来新能源汽车保有量基本满足模型，其中（单位：万辆）为第年底新能源汽车的保有量，为年增长率，为饱和度，为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆，以此为初始值，以后每年的增长率为，饱和度为1300万辆，那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为（ ）（结果四舍五入保留整数，参考数据：）
A．65万辆B．64万辆C．63万辆D．62万辆
3．（23-24高一上·广东东莞·期末）某企业从2011年开始实施新政策后，年产值逐年增加，下表给出了该企业2011年至2021年的年产值（万元）.为了描述该企业年产值（万元）与新政策实施年数（年）的关系，现有以下三种函数模型：，（，且），（，且），选出你认为最符合实际的函数模型，预测该企业2024年的年产值约为（ ）（附：）
A．924万元B．976万元C．1109万元D．1231万元
4．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24高一上·湖北荆门·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.
(1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆同型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系是：（），则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
6．（23-24高一上·云南昆明·期末）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
(1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.
(2)根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据：）
第二部分：新定义题
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）对于整系数方程，当的最高次幂大于等于3时，求解难度较大.我们常采用试根的方法求解：若通过试根，找到方程的一个根，则，若已经可以求解，则问题解决；否则，就对再一次试根，分解因式，以此类推，直至问题解决.求根的过程中常用到有理根定理：如果整系数方程有有理根，其中、，，，那么，.符号说明：对于整数，，表示，的最大公约数；表示是的倍数，即整除.
(1)过点作曲线的切线，借助有理根定理求切点横坐标；
(2)试证明有理根定理；
(3)若整数，不是3的倍数，且存在有理数，使得，求，.
2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：.
(1)求证：；
(2)解方程：；
(3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.
3．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用.设实系数一元三次方程：—①，在复数集C内的根为，，，可以得到，方程①可变为：，展开得：—②，比较①②可以得到一元三次方程根与系数关系：
(1)若一元三次方程：的3个根为，，，求的值；
(2)若函数，且，，求的取值范围；
(3)若一元四次方程有4个根为，，，，仿造上述过程，写出一元四次方程的根与系数的关系.
0
40
60
80
120
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年产值
278
309
344
383
427
475
528
588
655
729
811
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
0
10
40
60
0
1325
4400
7200
时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33