第03讲 基本不等式（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

这是一份第03讲 基本不等式（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用），共7页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。


1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握基本等式的基本内容
2.能掌握基本不等式的解题方法
3.具备函数与基本不等式思想意识，会利用函数的性质与基本不等式解决最值问题
4.能够在基本不等式与其他知识点结合时，灵活运用基本不等式的解题方法
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般最值问题，考虑使用基本不等式
知识讲解
知识点.基本不等式
1．基本不等式的形式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq \r(p).(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq \f(p2,4).(简记：和定积最大)
考点一、直接法
1．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．y=x2+2x+4B．y=sinx+4sinx
C．y=2x+22-xD．y=lnx+4lnx
2．（2021·天津·高考真题）若a>0,b>0，则1a+ab2+b的最小值为 ．
1.（2024·宁夏银川·二模）已知A(3,0),B(-3,0)，P是椭圆x225+y216=1上的任意一点，则|PA|⋅|PB|的最大值为 .
2.（2024·甘肃定西·一模）x2+7x2+7的最小值为（ ）
A．27B．37C．47D．57
3.（2024·全国·模拟预测）若x>0,y>0,3x+2y=1，则8x+4y的最小值为（ ）
A．2B．22C．32D．42
4.（2024·重庆·模拟预测）若实数a，b满足ab=2， 则 a2+2b2的最小值为（ ）
A．2B．22C．4D．42
5.（2024·安徽·模拟预测）若a>0，b>0，则“a+b≤2”是“a+b≤1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.（2024·四川成都·三模）若正实数a,b满足a2+b2=m，则a+b的最大值为 （用m表示）．
考点二、配凑法

1.（2024高三·全国·专题练习）若函数fx=x+1x-3x>3在x=a处取最小值，则a= ．
2.（2022·重庆·模拟预测）已知x>0，则2x+42x+1的最小值为 .
1.（2023高三·全国·专题练习）若x>1，则x2+2x+2x-1的最小值为
2.（21-22高三上·安徽安庆·期末）下列函数的最小值为22的是（ ）
A．y=csx+2csxB．y=x+8-x
C．y=2x+22-xD．y=2x4+8x2+10x2+2
3.（2024·江西赣州·二模）已知y>x>0，则yy-x-4x2x+y的最小值为 .
4.（22-23高三下·上海浦东新·阶段练习）若关于x的不等式x2+bx+c≥0(b>1)的解集为R，则1+2b+4cb-1的最小值为 ．
考点三、常数“1”的代换
1.（2024·安徽·模拟预测）已知m,n∈0,+∞，1m+n=4，则m+9n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，则ab+3b的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
1.（2024·辽宁鞍山·模拟预测）若x>0，y>0，且x+y=1，则4x+1y的最小值为 ．
2.（2024·广西河池·模拟预测）若实数a>1>b>0，且a2+2b=b2+2a，则1a-1+1b的最小值为 .
3.（2024·上海徐汇·二模）若正数a、b满足1a+1b=1，则2a+b的最小值为 .
4.（2024·浙江·模拟预测）已知a>0，b>0，若2a2+2ab+1b2+ab=1，则ab的最大值为（ ）
A．2-2B．2+2C．4+22D．4-22
5.（2024·宁夏·二模）直线ax+by-1=0过函数f(x)=x+1x-1图象的对称中心，则4a+1b的最小值为（ ）
A．9B．8C．6D．5
6.（2024·河南·模拟预测）已知点Px,y在以原点O为圆心，半径r=7的圆上，则1x2+1+4y2+1的最小值为（ ）
A．49B．5+229C．79D．1
考点四、和积定值
1.（2024·广西·模拟预测）已知a,b∈(-∞,0)，且a+4b=ab-5，则ab的取值范围为（ ）
A．[25,+∞)B．[1,+∞)C．0,5D．0,1
2.（2023·河南焦作·模拟预测）已知正数x，y满足23x+2y-xy=0，则当xy取得最小值时，x+2y=（ ）
A．4+83B．2+43C．3+63D．8+63
1.（2024·山东·模拟预测）已知两个不同的正数a,b满足(1+a)3a=(1+b)3b，则ab的取值范围是 ．
2.（2024·湖北·模拟预测）若正数a，b满足：a3+b2=ab，则a的最大值为（ ）
A．13B．14C．2D．2
考点五、消元法
1.（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足x>3，且xy+2x-3y=12，则x+y的最小值为（ ）
A．1+26B．8C．62D．1+23
2.（2024·云南·模拟预测）已知正数x,y满足x+y=4，则1x-y4的最小值为 .
1.（2024·陕西西安·三模）已知x>0,y>0，xy+2x-y=10，则x+y的最小值为 ．
2.（2024·浙江·模拟预测）已知a,b>0,ab=1，求S=11+a+11+2b的最小值．
3.（2024·山西·三模）已知正实数x，y满足x2+3xy-2=0，则2x+y的最小值为（ ）
A．2103B．103C．23D．13
考点六、双换元
1.（2024·四川成都·三模）设a>b>0，若a2+λb2≤a3+b3a-b，则实数λ的最大值为（ ）
A．2+22B．4C．2+2D．22
2.（23-24高三上·河南·阶段练习）正数a，b满足a>b，ab=4，则a3+b3a2-b2的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
1.（2024·全国·模拟预测）已知x>y>0，6x+y+2x-y=1，则2x-y的最小值为 ．
2.（2024高三·全国·专题练习）设正实数x,y满足x>23,y>2，不等式9x2y-2+y23x-2≥m恒成立，求m的最大值．
1．（2022·福建泉州·模拟预测）若正实数x，y满足1x+y=2，则x+4y的最小值是（ ）
A．4B．92C．5D．9
2．（2024·天津·二模）已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，抛物线上的点M4,y0到F的距离为6，双曲线x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左焦点F1在抛物线的准线上，过点F1向双曲线的渐近线作垂线，垂足为H，则H与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（ ）．
A．2B．3C．5D．3
3．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知a>0，b>0，则“a+b>2”是“ab>1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2023·天津南开·一模）已知实数a>0,b>0,a+b=1，则2a+2b的最小值为 .
5．（2022·天津南开·模拟预测）若实数x，y满足x>y>0，且xy=4，则x-yx+y2的最大值为 .
6．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）若a，b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是 ．
7．（2024·天津·模拟预测）若a>0，b>0，且a+b=1，则a+1ab+1b的最小值为
1．（2024·天津河西·三模）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e12+e22的最小值为（ ）
A．3+3B．5+32C．2+32D．4
2．（2024·天津·二模）已知向量a=1,1,b=2x+y,2，其中a ∥ b且xy>0，则x2+yxy的最小值为（ ）
A．2+1B．2+2C．4D．2-1
3．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列an中，a4，3a3，a5成等差数列．若数列an中存在两项am，an，使得2a1为它们的等比中项，则1m+4n的最小值为（ ）
A．1B．3C．6D．9
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S8-2S4=6，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10B．14C．20D．24
5．（2024·天津武清·模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2CD=2AD=2，在等腰直角三角形CDE中，∠C=90°，则向量AE在向量CB上的投影向量的模为；若M，N分别为线段BC，CE上的动点，且AM⋅AN=52，则MD⋅DN的最小值为 .
6．（2024·天津·模拟预测）已知正△ABC的边长为3，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，AM=λAB，AN=μAC，BD=DC.
（1）若AN=2NC，则AD⋅BN= ；
（2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为 .
7．（23-24高三下·天津·开学考试）已知x>0,y>0,lg2x+lg4y=lg2，当x= 时，1x+14y+1取得最小值，最小值是 ．
1．（2020·天津·高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则12a+12b+8a+b的最小值为 ．
2．（2019·天津·高考真题） 设x>0，y>0，x+2y=4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为 .
3．（2021·全国·高考真题）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则MF1⋅MF2的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
4．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，BC=1，∠A=60∘，AD→=12AB→,CE→=12CD→，记AB=a,AC=b，用a→,b→表示AE⃗= ；若BF=13BC，则AE⋅AF的最大值为 ．
5．（2018·天津·高考真题）已知a , b∈R，且a-3b+6=0，则2a+18b的最小值为 .
6．（2017·天津·高考真题）若a,b∈R，ab>0，则a4+4b4+1ab的最小值为 .
5年考情
考题示例
考点分析
2023年天津卷，第14题,5分
余弦定理解三角形 用基底表示向量 用定义求向量的数量积 基本不等式求积的最大值
2021年天津卷，第13题,5分
基本不等式求和的最小值
2020年天津卷，第14题,5分
基本不等式求和的最小值