还剩9页未读，
继续阅读
第26讲 等比数列及其前n项和（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）
展开
这是一份第26讲 等比数列及其前n项和（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用），共12页。试卷主要包含了 命题规律及备考策略，理解、掌握等比数列的概念等内容，欢迎下载使用。
5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握等比数列的概念
2.能掌握等比数的通项公式与前n项和公式
3.具备类比的思想，会借助函数的图像与特征求解数列的最值与单调性问题
4.会解等比数的通项公式与前n项和问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列的递推关系式，求解数列的通项公式与前n项和公式。
知识讲解
知识点一．等比数列有关的概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
知识点二．等比数列的通项公式及前n项和公式
1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
2.等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
3.等比数列的前n项和公式： Sn=na1,(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1)
4.①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解．
②已知a1,q(q≠1),n（项数），则利用Sn=a1(1-qn)1-q求解；已知a1,an,q(q≠1)，则利用Sn=a1-anq1-q求解．
③Sn=a1(1-qn)1-q=-a11-qqn+a11-q=kqn-k(k≠0,q≠1)，Sn为关于qn的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
知识点三．等比数列的常用性质
1. 等比中项的推广．
若m+n=p+q时，则aman=apaq，特别地，当m+n=2p时，aman=ap2．
2.ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}{panqbn}也是等比数列(b，p，q≠0)．
4.若a1>0q>1或a1<00若a1>001则等比数列{an}递减．
知识点四．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
知识点五．等比数列的常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．
(3)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇-a1S偶＝q.
考点一、等比数列基本量的计算
1.（2020·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则Snan=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
2.（2019·全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A．16B．8C．4D．2
1.（2024·全国·高考真题）已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.
(1)求an的通项公式；
(2)求数列Sn的前n项和.
2.（2024·浙江·模拟预测）公比为q的等比数列an满足an>0，a4=2a3+3a2，则q=（ ）
A．-1B．1C．3D．9
3.（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若an为等比数列，a5+a8=-3，a4a9=-18，则q3= .
考点二、等比数列的判断与证明
1.（2022·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
2.（2022·全国·高考真题）已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．
(1)证明：a1=b1；
(2)求集合kbk=am+a1,1≤m≤500中元素个数．
1.（21-22高三上·云南昆明·阶段练习）设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1（n∈N*）.
(1)证明：数列Sn+12是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
2.（21-22高三上·陕西渭南·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an>0，Sn2=an+12-λSn+1，其中λ为常数．
(1)证明：Sn+1=2Sn+λ；
(2)若数列an为等比数列，求λ的值．
3.（2021·全国·模拟预测）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝12，a2＝32，求{an}的通项公式.
4.（20-21高三下·江苏南京·开学考试）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为Pn，其中n∈N*，且n≤998.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列Pn+1-Pn是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.
考点三、等比数列项的性质
1.（2025·安徽·模拟预测）在等比数列an中，若a2a3a13=8，则a4a8=（ ）．
A．2B．22C．4D．8
2.（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列an的前n项和为Sn,a1a2a3=27,a5=81，则S5=（ ）
A．121B．63C．40D．31
1.（2024·广西南宁·三模）已知an是等比数列，a3=2，a7=18，则a5=（ ）
A．10B．-10C．6D．-6
2.（2024·山东淄博·二模）已知等比数列an,a2＝4,a10＝16,则a6=（ ）
A．8B．±8C．10D．±10
3.（2024·陕西西安·三模）已知Sn是等比数列an的前n项和，a1+a4+a7=2，a2+a5+a8=4，则S9=（ ）
A．12B．14C．16D．18
4.（2024·山东济南·模拟预测）已知等比数列an中所有项均为正数，若aman=a32m,n∈N*，则4m+1n的最小值为（ ）
A．32B．54C．76D．98
考点四、等比数列前n项和的性质
1.（2020·全国·高考真题）数列{an}中，a1=2，对任意 m,n∈N+,am+n=aman，若ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215-25，则 k=（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2017·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求an的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
1.（2024·江苏·三模）设等比数列an的前n项和为Sn,a5+a6=16,S6=21，则S2=（ ）
A．1B．4C．8D．25
2.（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列an的前n项和Sn=4n-1+t，则t=（ ）
A．-1B．-14C．12D．13
3.（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=t⋅3n-1-1，则t=（ ）
A．-3B．3C．1D．-1
4.（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S8+S24=140，且S24=13S8，则S16=（ ）
A．40B．-30C．30D．-30或40
考点五、奇偶项求和问题
1.（20-21高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知等比数列an中，a1=1，a1+a3+⋯+a2k+1=85，a2+a4+⋯+a2k=42，则k=（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2020·安徽·模拟预测）已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
1.（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列an的公比q=13，且a1+a3+a5+⋯+a99=90，则a1+a2+a3+⋯+a100= .
2.（2020·全国·一模）已知数列{an}中，a1=1，anan+1=2n，则{an}的前200项和S200= .
3.（23-24高三上·福建厦门·阶段练习）设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1,an+1=12an+n,n为奇数,an-2n,n为偶数.
(1)求a4，并证明：a2n-2是等比数列；
(2)求满足S2n>0的所有正整数n.
4.（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数2an,n为偶数，则S100= .
考点六、等比数列实际应用
1.（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为 mm．
2.（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为0.5%,20年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考数据：1.005240≈3.310
A．7265元B．7165元C．7365元D．7285元
1.（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为1.75%，以后按约定自动转存，那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为（ ）
A．10000×1.01756B．10000×1.01757
C．100001-1.75%61-1.75%D．100001-1.75%71-1.75%
2.（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．28B．18C．24D．14
3.（2024高三下·全国·专题练习）在等腰直角三角形ABC中，B=π2，AB=a，以AB为斜边作等腰直角三角形AB1B，再以AB1为斜边作等腰直角三角形AB2B1，依次类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的面积分别为S2，S3……若S1+S2+⋯+S8=25532，则a=（ ）
A．2B．22C．3D．4
4.（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为a(a>0)，乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg2=0.3,lg3=0.48）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
考点七、等比数列综合应用
1.（2024·山西太原·二模）已知an，bn分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是Sn和Tn，且a1=b1=1，a2+b2=4，T3=3，则S3=（ ）
A．9B．9或18C．13D．13或37
2.（2024·湖北·模拟预测）已知数列an为等差数列，bn为等比数列，a4=b4=3，则（ ）
A．b1b7≥a1a7B．b1+b7≥a1+a7
C．b1b7≤a1a7D．b1+b7≤a1+a7
1.（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1,a3,a7成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=ancsπan2，求数列bn的前2024项和．
2.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足2nan是等差数列，ann是等比数列.
(1)证明：a1=a2；
(2)记an的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*,Sn∈1,6，求a1的取值范围.
3.（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，当n=4和5时，Sn取得最大值．
(1)求Sn；
(2)若bn为等比数列，b1=S45,b2=-a6，求bn通项公式．
4.（2024·四川内江·三模）已知等差数列an的公差为4，且a2+2，a3，a5-2成等比数列，数列bn的前n项和为Sn，b1=2且Sn=2Sn-1+2n≥2.
(1)求数列an、bn的通项公式；
(2)设cn=anbnn∈N*，求数列cn的前n项和Tn.
考点八、集合中元素的特性
1.（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列an中，a1a2a3=8,a5a7=64，数列bn满足bn=lg2an，则使得不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋅⋅⋅+1bnbn+1≥20242025成立的n的最小值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
2.（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正项等比数列an中，a1=4，a3=1，则满足a1a2+a2a3+⋯+anan+1≤212成立的最大正整数n的值为 .
1.（24-25高三上·云南·阶段练习）已知在数列an中，a1=2，且对任意的m，n∈N+，都有am+n=aman，设fx=a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn，记函数fx在x=1处的导数为f'1，则使得f'1>2025成立的n的最小值为 ．
2.（2024·河北·一模）已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且b1-a1=1，b2-a2=1，b3-a4=1，则bn= ；若数列an和bn的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列cn，数列cn的前n项和为Sn，则使得Sncn+1>12成立的n的最小值为 ．
3.（2024高三·江苏·专题练习）已知正项数列an满足a1=1；且对任意的正整数n都有Sn=t22an2+an-1成立，其中Sn是数列an的前n项和，t为常数.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若cn=an2n，证明：数列cn的前n项和Tn<32.
4.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项a1=1，且满足an+1+an=3n+1.
(1)证明an-32n+14是等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am+an=am+n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
考点九、等比数列的单调性与最值
1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知an，bn为公比相同的递减等比数列，且a3=4，b4=3，则a5>b5的概率为（ ）
A．14B．13C．23D．34
2.（23-24高三下·湖北·开学考试）已知数列an是等比数列，则“存在正整数k，对于∀t∈N*，at>at+k恒成立”是：“an为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
1.（2024高三·全国·专题练习）在等比数列an中，公比为q，已知a1=1，则0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2.（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列an是以a1为首项，q为公比的等比数列，则“a11-q>0”是“an是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（23-24高三下·北京·开学考试）在无穷项等比数列an中，Sn为其前n项的和，则“an既有最大值，又有最小值”是“Sn既有最大值，又有最小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
4.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=-15×12n+t，则a1a2⋯an取最大值时，n的值为 ．
1．（23-24高三上·天津·期末）已知等比数列an的前n项和是Sn，且a1=2，a3=6a2-18，则S5=（ ）
A．30B．80C．240D．242
2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）在等比数列an中，3a1,12a3,2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=（ ）
A．3B．13C．9D．19
3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知等比数列an的前3项和为168,a2-a5=42，则a4=（ ）
A．14B．12C．6D．3
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列an的公比为q，则“a1>0且0A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高三上·天津和平·期中）an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2Sn+2，则a4= .
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn．若S2为S3和S4的等差中项，a2+a3=2，则S5= ．
1．（2023·天津和平·三模）已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1n∈N*，Sn是数列an的前n项和，则S9=（ ）
A．29-10B．29-11C．210-10D．210-11
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，a1=1，lgan+lgan+1=lg22n-1，n∈N*，则S9=（ ）
A．511B．61C．41D．9
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）对于数列an，n∈N*，“an+1=2an”是“数列an是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则P3= ；Pn= ．
5．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知an为等差数列，前n项和为Snn∈N*，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)若数列cn满足：cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Tn；
(3)若数列dn满足：dn=bnbn+1bn+1+1，求i=1ndi．
6．（2024·天津·二模）已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列．a1=1，且a3-b1=1，a4-b1=b3-a6．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)若ck=ak-1akbk，k为奇数，a2n+1-k+1a2n+1-kb2n+1-k，k为偶数．
①当k为奇数，求ck+c2n+1-k；
②求2nk=1ck．
1.（2023·天津·高考真题）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2,an+1=2Sn+2n∈N*，则a4=（ ）
A．16B．32C．54D．162
2.（2023·全国·高考真题）已知an为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7= .
3.（2023·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和．若8S6=7S3，则an的公比为 ．
4.（2022·全国·高考真题）已知等比数列an的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=（ ）
A．14B．12C．6D．3
5.（2020·山东·高考真题）在等比数列an中，a1=1，a2=-2，则a9等于（ ）
A．256B．-256C．512D．-512
6.（2020·全国·高考真题）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（ ）
A．12B．24C．30D．32
7.（2023·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=（ ）．
A．120B．85C．-85D．-120
8.（2021·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=（ ）
A．7B．8C．9D．10
9.（2020·全国·高考真题）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（ ）
A．12B．24C．30D．32
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第19题,15分
由递推数列研究数列的有关性质 等比数列通项公式的基本量计算 求等比数列前n项和 裂项相消法求前n项和
2023年天津卷，第19题,15分
等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公式
2023年天津卷，第5题,5
等比数列通项公式的基本量计算 利用等比数列的通项公式求数列中的项
2022年天津卷，第18题,15分
等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和
2021年天津卷，第19题,15分
等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题
2020年天津卷，第19题,15分
等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 等比数列通项公式的基本量计算 分组(并项)法求和
5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为15分
【备考策略】1.理解、掌握等比数列的概念
2.能掌握等比数的通项公式与前n项和公式
3.具备类比的思想，会借助函数的图像与特征求解数列的最值与单调性问题
4.会解等比数的通项公式与前n项和问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出数列的递推关系式，求解数列的通项公式与前n项和公式。
知识讲解
知识点一．等比数列有关的概念
1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
知识点二．等比数列的通项公式及前n项和公式
1.若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
2.等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
3.等比数列的前n项和公式： Sn=na1,(q=1)a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q≠1)
4.①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解．
②已知a1,q(q≠1),n（项数），则利用Sn=a1(1-qn)1-q求解；已知a1,an,q(q≠1)，则利用Sn=a1-anq1-q求解．
③Sn=a1(1-qn)1-q=-a11-qqn+a11-q=kqn-k(k≠0,q≠1)，Sn为关于qn的指数型函数，且系数与常数互为相反数．
知识点三．等比数列的常用性质
1. 等比中项的推广．
若m+n=p+q时，则aman=apaq，特别地，当m+n=2p时，aman=ap2．
2.ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
3.若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}{panqbn}也是等比数列(b，p，q≠0)．
4.若a1>0q>1或a1<00
知识点四．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
知识点五．等比数列的常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．
(3)若数列{an}的项数为2n，则S偶S奇＝q；若项数为2n＋1，则S奇-a1S偶＝q.
考点一、等比数列基本量的计算
1.（2020·全国·高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则Snan=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
2.（2019·全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=
A．16B．8C．4D．2
1.（2024·全国·高考真题）已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an+1-3.
(1)求an的通项公式；
(2)求数列Sn的前n项和.
2.（2024·浙江·模拟预测）公比为q的等比数列an满足an>0，a4=2a3+3a2，则q=（ ）
A．-1B．1C．3D．9
3.（24-25高三上·宁夏银川·开学考试）若an为等比数列，a5+a8=-3，a4a9=-18，则q3= .
考点二、等比数列的判断与证明
1.（2022·全国·高考真题）记Sn为数列an的前n项和．已知2Snn+n=2an+1．
(1)证明：an是等差数列；
(2)若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
2.（2022·全国·高考真题）已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．
(1)证明：a1=b1；
(2)求集合kbk=am+a1,1≤m≤500中元素个数．
1.（21-22高三上·云南昆明·阶段练习）设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1（n∈N*）.
(1)证明：数列Sn+12是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
2.（21-22高三上·陕西渭南·期中）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an>0，Sn2=an+12-λSn+1，其中λ为常数．
(1)证明：Sn+1=2Sn+λ；
(2)若数列an为等比数列，求λ的值．
3.（2021·全国·模拟预测）已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝12，a2＝32，求{an}的通项公式.
4.（20-21高三下·江苏南京·开学考试）某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为13，每步上两个台阶的概率为23，为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为Pn，其中n∈N*，且n≤998.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的概率分布；
(2)证明：数列Pn+1-Pn是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率.
考点三、等比数列项的性质
1.（2025·安徽·模拟预测）在等比数列an中，若a2a3a13=8，则a4a8=（ ）．
A．2B．22C．4D．8
2.（2024·贵州贵阳·二模）记等比数列an的前n项和为Sn,a1a2a3=27,a5=81，则S5=（ ）
A．121B．63C．40D．31
1.（2024·广西南宁·三模）已知an是等比数列，a3=2，a7=18，则a5=（ ）
A．10B．-10C．6D．-6
2.（2024·山东淄博·二模）已知等比数列an,a2＝4,a10＝16,则a6=（ ）
A．8B．±8C．10D．±10
3.（2024·陕西西安·三模）已知Sn是等比数列an的前n项和，a1+a4+a7=2，a2+a5+a8=4，则S9=（ ）
A．12B．14C．16D．18
4.（2024·山东济南·模拟预测）已知等比数列an中所有项均为正数，若aman=a32m,n∈N*，则4m+1n的最小值为（ ）
A．32B．54C．76D．98
考点四、等比数列前n项和的性质
1.（2020·全国·高考真题）数列{an}中，a1=2，对任意 m,n∈N+,am+n=aman，若ak+1+ak+2+⋯+ak+10=215-25，则 k=（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2017·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S2=2，S3=-6.
（1）求an的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．
1.（2024·江苏·三模）设等比数列an的前n项和为Sn,a5+a6=16,S6=21，则S2=（ ）
A．1B．4C．8D．25
2.（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列an的前n项和Sn=4n-1+t，则t=（ ）
A．-1B．-14C．12D．13
3.（2024·山西晋中·模拟预测）设等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=t⋅3n-1-1，则t=（ ）
A．-3B．3C．1D．-1
4.（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，若S8+S24=140，且S24=13S8，则S16=（ ）
A．40B．-30C．30D．-30或40
考点五、奇偶项求和问题
1.（20-21高三上·陕西宝鸡·阶段练习）已知等比数列an中，a1=1，a1+a3+⋯+a2k+1=85，a2+a4+⋯+a2k=42，则k=（ ）
A．2B．3C．4D．5
2.（2020·安徽·模拟预测）已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
1.（21-22高三上·山东聊城·期末）已知等比数列an的公比q=13，且a1+a3+a5+⋯+a99=90，则a1+a2+a3+⋯+a100= .
2.（2020·全国·一模）已知数列{an}中，a1=1，anan+1=2n，则{an}的前200项和S200= .
3.（23-24高三上·福建厦门·阶段练习）设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1,an+1=12an+n,n为奇数,an-2n,n为偶数.
(1)求a4，并证明：a2n-2是等比数列；
(2)求满足S2n>0的所有正整数n.
4.（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1,an+1=an+1,n为奇数2an,n为偶数，则S100= .
考点六、等比数列实际应用
1.（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm，且斛量器的高为230mm，则斗量器的高为 mm，升量器的高为 mm．
2.（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为0.5%,20年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考数据：1.005240≈3.310
A．7265元B．7165元C．7365元D．7285元
1.（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为1.75%，以后按约定自动转存，那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为（ ）
A．10000×1.01756B．10000×1.01757
C．100001-1.75%61-1.75%D．100001-1.75%71-1.75%
2.（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．28B．18C．24D．14
3.（2024高三下·全国·专题练习）在等腰直角三角形ABC中，B=π2，AB=a，以AB为斜边作等腰直角三角形AB1B，再以AB1为斜边作等腰直角三角形AB2B1，依次类推，记△ABC的面积为S1，依次所得三角形的面积分别为S2，S3……若S1+S2+⋯+S8=25532，则a=（ ）
A．2B．22C．3D．4
4.（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为a(a>0)，乙植物生长了一天，长度为16a.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的32倍，乙每天的生长速度是前一天的23，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取lg2=0.3,lg3=0.48）
A．第6天B．第7天C．第8天D．第9天
考点七、等比数列综合应用
1.（2024·山西太原·二模）已知an，bn分别是等差数列和等比数列，其前n项和分别是Sn和Tn，且a1=b1=1，a2+b2=4，T3=3，则S3=（ ）
A．9B．9或18C．13D．13或37
2.（2024·湖北·模拟预测）已知数列an为等差数列，bn为等比数列，a4=b4=3，则（ ）
A．b1b7≥a1a7B．b1+b7≥a1+a7
C．b1b7≤a1a7D．b1+b7≤a1+a7
1.（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1,a3,a7成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=ancsπan2，求数列bn的前2024项和．
2.（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足2nan是等差数列，ann是等比数列.
(1)证明：a1=a2；
(2)记an的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*,Sn∈1,6，求a1的取值范围.
3.（2024·四川达州·二模）等差数列an的前n项和为Sn,a1=8，当n=4和5时，Sn取得最大值．
(1)求Sn；
(2)若bn为等比数列，b1=S45,b2=-a6，求bn通项公式．
4.（2024·四川内江·三模）已知等差数列an的公差为4，且a2+2，a3，a5-2成等比数列，数列bn的前n项和为Sn，b1=2且Sn=2Sn-1+2n≥2.
(1)求数列an、bn的通项公式；
(2)设cn=anbnn∈N*，求数列cn的前n项和Tn.
考点八、集合中元素的特性
1.（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列an中，a1a2a3=8,a5a7=64，数列bn满足bn=lg2an，则使得不等式1b1b2+1b2b3+1b3b4+⋅⋅⋅+1bnbn+1≥20242025成立的n的最小值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
2.（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正项等比数列an中，a1=4，a3=1，则满足a1a2+a2a3+⋯+anan+1≤212成立的最大正整数n的值为 .
1.（24-25高三上·云南·阶段练习）已知在数列an中，a1=2，且对任意的m，n∈N+，都有am+n=aman，设fx=a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn，记函数fx在x=1处的导数为f'1，则使得f'1>2025成立的n的最小值为 ．
2.（2024·河北·一模）已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且b1-a1=1，b2-a2=1，b3-a4=1，则bn= ；若数列an和bn的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列cn，数列cn的前n项和为Sn，则使得Sncn+1>12成立的n的最小值为 ．
3.（2024高三·江苏·专题练习）已知正项数列an满足a1=1；且对任意的正整数n都有Sn=t22an2+an-1成立，其中Sn是数列an的前n项和，t为常数.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若cn=an2n，证明：数列cn的前n项和Tn<32.
4.（2024·全国·模拟预测）已知数列an的首项a1=1，且满足an+1+an=3n+1.
(1)证明an-32n+14是等比数列，并求数列an的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得对任意的正整数n，am+an=am+n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
考点九、等比数列的单调性与最值
1.（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知an，bn为公比相同的递减等比数列，且a3=4，b4=3，则a5>b5的概率为（ ）
A．14B．13C．23D．34
2.（23-24高三下·湖北·开学考试）已知数列an是等比数列，则“存在正整数k，对于∀t∈N*，at>at+k恒成立”是：“an为递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
1.（2024高三·全国·专题练习）在等比数列an中，公比为q，已知a1=1，则0
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2.（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列an是以a1为首项，q为公比的等比数列，则“a11-q>0”是“an是单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.（23-24高三下·北京·开学考试）在无穷项等比数列an中，Sn为其前n项的和，则“an既有最大值，又有最小值”是“Sn既有最大值，又有最小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
4.（2024·四川绵阳·模拟预测）已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=-15×12n+t，则a1a2⋯an取最大值时，n的值为 ．
1．（23-24高三上·天津·期末）已知等比数列an的前n项和是Sn，且a1=2，a3=6a2-18，则S5=（ ）
A．30B．80C．240D．242
2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）在等比数列an中，3a1,12a3,2a2成等差数列，则a9+a10a7+a8=（ ）
A．3B．13C．9D．19
3．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知等比数列an的前3项和为168,a2-a5=42，则a4=（ ）
A．14B．12C．6D．3
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列an的公比为q，则“a1>0且0
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（23-24高三上·天津和平·期中）an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2Sn+2，则a4= .
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知等比数列an的前n项和为Sn．若S2为S3和S4的等差中项，a2+a3=2，则S5= ．
1．（2023·天津和平·三模）已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1n∈N*，Sn是数列an的前n项和，则S9=（ ）
A．29-10B．29-11C．210-10D．210-11
2．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，a1=1，lgan+lgan+1=lg22n-1，n∈N*，则S9=（ ）
A．511B．61C．41D．9
3．（23-24高三下·天津·阶段练习）对于数列an，n∈N*，“an+1=2an”是“数列an是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设n次传球后球在甲手中的概率为Pn，则P3= ；Pn= ．
5．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知an为等差数列，前n项和为Snn∈N*，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)若数列cn满足：cn=an⋅bn，求数列cn的前n项和Tn；
(3)若数列dn满足：dn=bnbn+1bn+1+1，求i=1ndi．
6．（2024·天津·二模）已知an为等差数列，bn是公比为2的等比数列．a1=1，且a3-b1=1，a4-b1=b3-a6．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)若ck=ak-1akbk，k为奇数，a2n+1-k+1a2n+1-kb2n+1-k，k为偶数．
①当k为奇数，求ck+c2n+1-k；
②求2nk=1ck．
1.（2023·天津·高考真题）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=2,an+1=2Sn+2n∈N*，则a4=（ ）
A．16B．32C．54D．162
2.（2023·全国·高考真题）已知an为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7= .
3.（2023·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和．若8S6=7S3，则an的公比为 ．
4.（2022·全国·高考真题）已知等比数列an的前3项和为168，a2-a5=42，则a6=（ ）
A．14B．12C．6D．3
5.（2020·山东·高考真题）在等比数列an中，a1=1，a2=-2，则a9等于（ ）
A．256B．-256C．512D．-512
6.（2020·全国·高考真题）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（ ）
A．12B．24C．30D．32
7.（2023·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=（ ）．
A．120B．85C．-85D．-120
8.（2021·全国·高考真题）记Sn为等比数列an的前n项和.若S2=4，S4=6，则S6=（ ）
A．7B．8C．9D．10
9.（2020·全国·高考真题）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（ ）
A．12B．24C．30D．32
考题示例
考点分析
2024年天津卷，第19题,15分
由递推数列研究数列的有关性质 等比数列通项公式的基本量计算 求等比数列前n项和 裂项相消法求前n项和
2023年天津卷，第19题,15分
等差数列与等比数列综合应用 等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 写出等比数列的通项公式
2023年天津卷，第5题,5
等比数列通项公式的基本量计算 利用等比数列的通项公式求数列中的项
2022年天津卷，第18题,15分
等差数列通项公式的基本量计算 等比数列通项公式的基本量计算 错位相减法求和 分组(并项)法求和
2021年天津卷，第19题,15分
等差数列前n项和的基本量计算 由定义判定等比数列 错位相减法求和 数列不等式恒成立问题
2020年天津卷，第19题,15分
等差数列通项公式的基本量计算 求等差数列前n项和 等比数列通项公式的基本量计算 分组(并项)法求和
相关试卷
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲等比数列及其前n项和(练习)(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第03讲等比数列及其前n项和(练习)(原卷版+解析)，共23页。
高考数学一轮复习考点探究与题型突破第36讲等比数列及其前n项和(原卷版+解析)： 这是一份高考数学一轮复习考点探究与题型突破第36讲等比数列及其前n项和(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了等比数列的概念，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。
专题7.3 等比数列及其前n项和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）： 这是一份专题7.3 等比数列及其前n项和（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题73等比数列及其前n项和原卷版docx、专题73等比数列及其前n项和解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
