辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

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1．下列关系中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误；
对于B，因为不是有理数，所以，故B正确；对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误；
对于D，因为不是整数，所以，故D错误.
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则一定有 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D【详解】对于A，若，，，，则，故A错误.
对于B，若，则，故B错误. 对于C，，
若，，则，即，所以C错误.
对于D，由，可知，即，所以，故D正确.
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B【详解】由，设集合，，则为的真子集.
所以“”是“”的必要不充分条件.
4．已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．或 B．或 C． D．
【答案】A由题意知，，，所以图中阴影部分表示或.
5．设集合，则集合A的真子集个数为（ ）
A．4个B．7个C．15个D．16个
【答案】C【详解】由和可得，所以集合A的真子集个数为个.
6.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【详解】等价于，∴“”为真命题等价条件为，
∴命题“”是真命题的一个充分不必要条件，则a的取值范围是的真子集，
7．已知，，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C【详解】解：设，所以，解得，因为，，则，因此，.
8．若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D【详解】解集为，
当时， 的解集为，
因为关于x的不等式组的整数解只有，所以，即，
当时，的解集为空集，不满足题意，
当时，的解集为，不满足题意，综上，的取值范围.
二、多选题9．下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题，则
D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
【答案】BD【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立，若，如，此时，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题，则，故C错误；
对于D，若集合中只有一个元素，
当时，；当时，可得，所以必要性成立，故D正确；
10．若集合，，满足，则实数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD【详解】因为，所以，因为，
所以当时，，满足，即符合题意；
当时，，要满足，则有或，解得或；
综上所述，的值可能是.故选：BCD.
对于集合，则下面结论正确有( )
A.如果，那么； B.如果，那么；
C.如果，，那么 D.如果，，那么
【答案】AC【详解】对于A：因为，所以，故，故A正确；
对于B：因为，所以为偶数，且不能被4整除，
若，则存在使得，
因为和同奇或同偶，若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合，
若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合，
所以，故B不正确；对于C：因为，，所以存在使得，
所，
因为所以，故C正确.
对于D,，故D不正确故答案为：AC
三、填空题
12．已知集合，，若，则 .
【答案】【详解】依题意可知，由于，所以，此时，
所以，解得或（舍去），所以.
13．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】．【详解】由根与系数的关系知且且．∴，，故不等式，即，即．解得，故原不等式的解集为．

【答案】
解答题
15．求下列方程组的解集
（1）； （2）
【答案】（1）（2）；
【详解】（1）解：由不等式组，
①+②，可得，②-③，可得，
联立方程组，解得， …4分
代入①式，可得， …6分
所以不等式组的解集为. …7分
（2）方程组由①可得，代入②可得，解得或， …10分
所以方程组的解为或，故方程组的解集为 …13分
16设全集，集合M=，
（1）若m=2，求MN，（CRM）N；
（2）若“xM”是“xN”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【详解】（1）当，，， …2分
…4分
∴， …6分
或. …8分
（2）因为“xM”是“xN”的充分不必要条件，所以M ⫋ N
①当时，即，解得， …10分

②当时，则且等号不同时成立 ，解得. …13分
综上：. …15分
17．“绿水青山就是金山银山”．随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，从2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭．一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）．假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.
（1）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；
（2）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.
【答案】（1） ；（2）见解析【详解】（1）
甲两周购买鸡蛋的平均价格为， …2分
乙两周购买鸡蛋的平均价格为， …5分
甲两周购买鸡蛋的平均价格为， …7分
乙两周购买鸡蛋的平均价格为， …10分
由（1）知，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的
平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠．
证法一（比较法）：依题意，且，
， …13分
所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠． …15分
证法二（分析法）：依题意，且，
要证： ，
只需证：
只需证：
只需证：（已知）．
所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，
即乙的购买方式更实惠．
18．（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【详解】当，不等式为恒成立，符合题意； …2分
当时，由题意可得：，即，解得：， …5分
综上可知：的取值范围是 …7分
（2）由, 整理得 ，
当时，得，解集为；
当时，得，解集为；
当时，，得或，解集为；
当时，，得，解集为；
当时，，得或，解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为. …17分
（每个结果2分，都写集合没有综上不扣分，没写集合结果扣2分）
19．法国数学家佛郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根α、β有如下关系：，．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数α和β满足如下关系：，，那么这两个数α和β是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程，例如：，，那么m和n是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题：
(1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足，，求的值；
(2)已知实数x、y满足，，求的值．
(3)已知是关于的一元二次方程的两个实根,且，求使的值为整数的所有的值.
【答案】(1)；(2)22或37．(3)的所有取值为.
【详解】（1）由，，得m，n可看作方程的两个不相等的实数根，
则， …2分
，所以． …4分
由，，得xy，可看作一元二次方程的两个实数根，解得或， …6分
于是，或，，
当，时，； …8分
当，时，． …10分
所以的值为22或37．
由韦达定理可知，，，， …11分
又因为是该方程的两个实根，所以，则 …13分
所以， …15分
因为为整数,，所以必为的因式，则的值可能为，
则实数的值可能为，
所以的所有取值为. …17分