上海外国语大学附属大境中学2025届高三上学期10月月考数学试题

这是一份上海外国语大学附属大境中学2025届高三上学期10月月考数学试题，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（前六题各4分，后六题各5分）
1. 已知复数，则的虚部为________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求解即可.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故答案为：.
2. 若幂函数的图像经过点，则此幂函数的表达式为______.
【答案】
【解析】
【分析】设此幂函数的表达式为，从而可得，求解即可.
【详解】设此幂函数的表达式为，
依题意可得，，即，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为：.
3. 曲线在点处的切线斜率为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义运算求解.
【详解】因为，则，
可知曲线在点处的切线斜率.
故答案为：.
4. 已知正实数满足，则的最大值为________.
【答案】##0.125
【解析】
【分析】利用基本不等式进行求解.
【详解】因为正实数满足，所以，
当且仅当，即时，取到最大值.
故答案为：
5. 函数的最小正周期为______．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据周期公式计算得到答案.
【详解】函数的最小正周期为.
故答案为：.
6. 数列，，c的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解.
【详解】因为，则，
可知数列为等差数列，
则，解得，
所以c的取值范围为.
故答案为：.
7. 已知向量， ，则在方向上的投影向量等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出，根据投影向量的概念即可求得答案.
【详解】由题意向量，，则，
则在方向上的投影向量为，
故答案为：
8. 在中，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边后，利用余弦定理求解．
【详解】因为，由正弦定理得，
变形得，所以，
又，所以，
故答案为：．
9. 已知，且．若函数有最大值，则关于x的不等式的解集为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由复合函数单调性可确定在上单调递减，在上单调递增；由函数有最大值可知单调递减，得到；根据对数函数单调性可将不等式化为，解不等式求得结果.
【详解】，定义域为
在上单调递减，在上单调递增
有最大值，需在上单调递减，
由，得，解得：
不等式的解集为
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性求解、根据函数有最值求解参数范围等知识，解题的关键是通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对数的底数所处的范围，再利用对数函数的单调性解不等，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.
10. 已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】首先分析各段函数的单调性，依题意只需函数的值域为，分、两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因函数在定义域上单调递增，
函数在上单调递减，在上单调递增，
要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，
当时在上单调递增，在上也单调递增，
则只需，解得；
当时在上的最小值为，则只需要，解得；
综上可得，即实数的取值范围是.
故答案为：
11. 已知非零平面向量不平行，且满足，记，则当与的夹角最大时，的值为___________
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，再结合平面向量数量积的坐标及基本不等式的应用求出向量，进而通过运算求得的值.
【详解】建立如下图所示的平面直角坐标系，设，，设点、，
令，，则，得，
设，则，则点的坐标为，
则直线的斜率分别为，
由两直线的夹角公式可得：
，
当且仅当，即时取等号，此时，则，
所以.
故答案为：4.
12. 设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】分讨论，并寻找其极限位置即可.
【详解】解：因为的图象是由的图象向右平移2个单位，再向上或向下平移个单位得到的，
当时，如图所示：
取，当的纵坐标趋向于正无穷大的时候，可以无限接近为一个矩形；
当时，若能成为一个矩形，则必有：∥，
因为，
上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大，
所以必有，这与矛盾；
当时，取此时在处切线的斜率为4，取临界，
设解得，
即当时，可以看成极限时候的矩形；
当时，若能成为矩形，
必有∥，
上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大，
所以必有，这与矛盾；
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是寻找特殊位置，找到临界值的情况，对进行合理地分类讨论，从而得到其范围.
二、选择题（前两题各4分，后两题各5分）
13. “”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据必要非充分条件的定义，可得答案.
【详解】设，，由，则“”是“”的必要非充分条件.
故答案为：B.
14. 已知双曲线的实轴为4，抛物线的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，，将代入双曲线和抛物线，求出，，进而求出渐近线方程.
【详解】由题意得，，故双曲线左顶点坐标为，
抛物线的准线为，故，解得，
点为抛物线与双曲线的一个交点，故，，
即，解得，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故选：A
15. 设、为复数，下列命题一定成立是（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，是正实数，那么
D. 如果，那么为实数
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断A、B，根据复数的模判断C，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断D.
【详解】设，
对于A：∵，
则
，
可得，不能得到，
例如，满足，但显然，故A错误.
对于B：若，，则，显然且，故B错误；
对于C：∵，则，
且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误；
对于D：令，则，因为，所以，
所以，则，所以为实数，故D正确；
故选：D
16. 已知数列满足，，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案.
【详解】因为，，
所以当时，，
又时也成立，
所以，
易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，
又当为正偶数时，存在，即，
所以，此时有，所以，
又对于任意的正奇数，，即，
所以或恒成立，所以或，
综上，实数的取值范围是，
故选：D．
三、解答题（14分+14分+14分+18分+18分）
17. 直角梯形中，，，平面，.
（1）求证：；
（2）已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直得到先证明线线垂直，然后应用线面垂直的判定在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可.
（2）先根据等体积法求出的值，再作出线面角，最后求出线面角的正切值，再求出该线面角即可.
【小问1详解】
在梯形中，
由，，，得，
所以，所以，
又因为平面，且平面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面
又平面，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以，解得，
又因为平面且平面，所以，
因为，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
故是在平面上的投影，
所以即为直线与平面所成的角的平面角，
在中，解得，
所以，所以
所以直线与平面所成角大小为
18. 已知向量，.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.
【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为
【解析】
【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解.
（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值．
【详解】解：（1）由得, ，
∴
∴
（2）

∴函数 的最小正周期为
当 时，
∴当，即时，.
【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，平面向量的数量积和三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．
19. 已知数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；
（2）根据等差数列的定义出，假设存在满足条件的三项、、（其中、、成等差数列），由已知可得出，根据等比数列的定义可得出，化简得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.
【小问1详解】
解：因为数列满足，，
则当时，，且，
所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，，故.
【小问2详解】
解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，
假设数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，
则，即，即，
由已知可得，所以，，
事实上，
，
即，矛盾，假设不成立，
故不存在这样的三项、、成等比数列.
20. 已知双曲线：的左、右焦点为、，直线与双曲线交于，两点.
（1）已知过且垂直于，求；
（2）已知直线的斜率为，且直线不过点，设直线、的斜率分别为、，求的值；
（3）当直线过时，直线交轴于，直线交轴于.是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）3 （2）0
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；
（2）先设出直线和得到韦达定理，然后列出斜率之和式子带入即可；
（3）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，当直线过点且时，此时轴，所以，
代入可得，所以；
【小问2详解】
设直线，因为直线不经过点，所以，
联立，得，
所以，
由韦达定理，
故.
【小问3详解】
如图所示，

若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，
此时不构成三角形，矛盾，所以直线的斜率不为0，设：
由，得，
满足，
此时：，
故，同理，
，
而，
故由，得
而，
代入可得，解得或（舍），
所有，经检验此时满足且，
故存在满足条件的直线，其方程为
法二：即，
由相似三角形可知，
所以（*）.
若斜率不存在，则均在右支，此时，矛盾，舍去；
所以设：，
联立，可得（**），
需满足，
由韦达定理，，，
代入（*）得或者，
解得（舍）或者，所以，
经检验，此时满足且.
故方程为：.
【点睛】关键点睛：碰到面积相等或者成比例的题的时候，往往可以利用同角的边成比例来解决，可以降低思维量和运算量.
21. 记y=f′x，分别为函数y=fx，y=gx的导函数.若存在，满足且，则称为函数y=fx与y=gx的一个“S点”.
（1）证明：函数与不存在“S点”；
（2）若函数与存在“S点”，求实数的值；
（3）已知，.若存在实数，使函数y=fx与y=gx在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论；
（2）求导，设“S点”为，解方程组得结论．
（3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围.
【小问1详解】
因为，，则，，
假设存在函数与存在“S点”
即存在满足，方程组无解，
所以函数与不存在“S点”.
【小问2详解】
因为与，则与，
设“S好点”为，满足，，
所以
【小问3详解】
由已知，，
依题意可得：存在满足，代入得，
解得，
由，又，故解得，
令，则，在上增函数，
，时，，且当时，，
所以，即．
【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题．