内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学卷

这是一份内蒙古呼和浩特市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考察知识范围：集合与逻辑 不等式 函数及其性质 导数 三角函数 解三角形 向量与复数
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.
【详解】而的共轭复数是
故选：B.
3. 已知：，则的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出的解集，的充分不必要条件是其子集，选出即可.
【详解】解：由得，的充分不必要条件是的子集，C符合，
故选：C.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.
4. 如图，在中，是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得.
【详解】因为是的中点，所以．
所以，所以，所以．
故选：D
5. 在中，下列条件不是的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理判断A；由余弦函数的性质判断B；由二倍角公式结合选项A判断C；由反例说明判断D.
【详解】对于A，在中，由正弦定理得，A不符合；
对于B，在上单调递减，而，，B不符合；
对于C，，又，
即，因此，C不符合；
对于D，当，满足，而，D符合.
故选：D
6. 已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出a的值，再解对数不等式得定义域作答.
【详解】因函数是偶函数，则对任意实数，
恒成立，
因此，解得，函数有意义，必有，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：B
7 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出和的平方和，再利用两角差的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简求出的值．
【详解】因，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
故．
故选：D．
8. 已知满足，且在处的切线方程为，则=（ ）
A. 0B. 1C. -1D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数为奇函数得到，得到函数解析式，求导，由切线斜率得到方程，求出，求出答案.
【详解】函数的定义域为R，
因为，所以函数是R上的奇函数，
所以，解得，所以，
又，故符合要求，
则，
因为在处的切线方程为，
所以，即，解得，
所以.
故选：D
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若一元二次不等式的解集是，则的值是.
B. 若集合，则集合的子集个数为.
C. 函数的最小值为.
D. 若函数，则在区间上单调递增.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式解集求出判断A；解指数对数不等式判断B；举例说明判断C；利用幂函数性质确定单调性判断D作答.
【详解】对于A：因为一元二次不等式的解集是，
则和为方程的两根且，于是，解得，有，A正确；
对于B：，，
则，因此的子集有个，B正确；
对于C：，当时，，，C错误；
对于D：函数的定义域为，函数是偶函数，在上单调递减，
因此函数在上单调递增，D正确.
故选：ABD
10. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数的图象关于点成中心对称图形
C. 函数的导函数的图象关于直线对称
D. 若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.
【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误；
对于B，令，，
即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；
对于C，由选项B知，，即，
两边求导得，即，
因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称，
由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，
因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
11. 已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是（ ）
A. 的一个周期是B. 是非奇非偶函数
C. 在单调递减D. 的最大值大于
【答案】ABD
【解析】
【分析】先根据周期函数定义判断选项A，再根据函数的意义，转化为分段函数判断B选项，结合三角函数的图象与性质判断C，D选项.
【详解】，
一个周期是，故A正确；
，
是非奇非偶函数，B正确；
对于C，时，，不增不减，所以C错误；
对于D，，，D正确.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于中档题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若正数，满足，则的最小值为______．
【答案】16
【解析】
【分析】“1”
根据式子结构，利用“1”的妙用求出最小值.
【详解】∵正数，满足，
∴，当且仅当也即当时取“”．
故答案为：16.
13. 已知函数在上恰有个极大值点，的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，由求出的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
，
因为，所以，
因为在内恰有两个极大值点，则，解得．
故答案为：.
14. 已知是R上的奇函数，且对任意的x∈R均有成立．若，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用导数得到的单调性，再将问题转化为，从而得解．
【详解】由得．
令，则，
所以在上单调递增，
又，为奇函数，
所以，，
则．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值．
【答案】（1）；
（2）最小值，；最大值1，
【解析】
【分析】（1）将化为，根据最小正周期公式即可求得最小正周期，根据正弦函数的单调性即可求得单调递减区间；
（2）根据x的范围，确定的范围，根据正弦函数的性质，即可求得答案.
【小问1详解】
由于，故的最小正周期为；
令，即，
故的单调递减区间为；
【小问2详解】
因为，所以，
由于函数在上单调递增，在上单调递减，，
又，
故当，即时，取到最大值；
当，即时，取到最小值.
16. 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线y=f(x)在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果.
17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.
【解析】
【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，
又由，得，
即，可得．
又因为，可得B=．
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，
有，故b=．
由，可得．因为a因此，
所以，
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18. 已知函数.
（1）若，求函数的零点.
（2）若使得成立，试求的取值范围
（3）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接由方程求解即可；
（2）由题意利用导数确定函数单调性，求出函数的最大值，建立不等式得解；
（3）求出切线方程得出与坐标轴交点坐标，表示出三角的面积，求出切线与函数交点坐标，代入即可得解.
【小问1详解】
由，解得，
即函数的零点为.
【小问2详解】
，
∴，
令，则，
∴hx在上单调递减，
∴，∴f′x≥0，
故在上单调递增，
∴，
∴，即.
【小问3详解】
由题可知，故切点，
∵，∴，
所以切线方程为：，
交轴于，交轴于，
设切线交函数于点，因为，故，
又，故B的位置只能在C的上方.
如图，则的面积为，
或（舍），故，
所以函数过点，
∴，∴.
【点睛】关键点点睛：根据切线方程，设出切线和函数交点坐标，据此能表示出三角形的面积，利用面积求出交点坐标，即可代入函数解析式求解.
19. 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵A，取值为一个标量，写作或．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数．
（1）求的对称轴方程；
（2）在中，若，，，对任意实数t恒有，求面积的最大值；
（3）在中，若，点I为内心，且满足，求最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由给定定义求出，利用三角恒等变换化简函数式，再利用正弦函数的性质求出对称轴.
（2）由（1）的信息求出，利用向量数量积的运算律，结合一元二次不等式恒成立求出，进而表示出三角形面积并求出最大值.
（3）由二倍角公式求出，延长AI交BC于点D，内切圆切BC，AC于E，F，利用共线向量定理的推论，结合函数单调性求出最大值.
【小问1详解】
，
由，得，
所以的对称轴为.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
由，得，则，解得，
由，得，两边平方并整理得，
对任意实数t恒成立，
则，得，
于是，又，，解得，
，当且仅当等号成立，
所以当时，面积的最大值为.
【小问3详解】
在中，，则，解得，
延长AI交BC于点D，内切圆切BC，AC于E，F，设，
则，而点共线，于是，即，
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.