广东省江门市2025届高三上学期10月调研测试数学试题

这是一份广东省江门市2025届高三上学期10月调研测试数学试题，共20页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 在正方形中，与交于点，则， 若函数在处取得极大值，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上，
2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.
5.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意求集合，集合交集运算求解.
【详解】由题意可得：，
，
所以.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的判定方法进行判断.
【详解】由，
又，所以，故“”是“”的充分条件；
又若，如，，此时不成立，
所以“”是“”的不必要条件.
综上：“”是“”充分不必要条件.
故选：A
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. ，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质作差法比较大小或取特殊值判断，即可得出结果.
【详解】对于A，，
因，所以，
所以，即，故A错误；
对于B，因为，所以，
又，所以，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，若，则，
所以，故D正确.
故选：D.
4. 已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算性质计算可得答案.
【详解】因为
所以，又因为，
所以.
故选：B.
5. 下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断各函数的最小正周期，再确定各函数在区间上的单调性，即可选择判断．
【详解】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；
对于B：，其最小正周期为，故错误；
对于C：满足，以为周期，
当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误；
对于D，满足，以为周期，
当时，，由余弦函数的单调性可知，在区间上单调递增，故正确；
故选:D
6. 在正方形中，与交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算夹角的余弦值即可.
【详解】
建立平面直角坐标系，设正方形棱长为，
因为，
则，，，，
所以，，
所以.
故选：C
7. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果.
【详解】由题可得，两式相除可得，
则，，
∵，解得，
设天后金针菇失去的新鲜度为，
则，又，
∴，，，，
则，
故选：B.
8. 已知各项都为正数数列an满足，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，由题意，，根据递推公式可验证B，通过对赋值，可验证ACD.
【详解】由，
得，
因为数列an各项都为正数，
所以，故，即，
所以，
对于A，设，则，
设，则，
设，则，
设，则，
设，则，
则可以为，故A错误；
对于B，，，
，，
， ，
，，
，，
，，
，，
，，
，故B正确；
对于C，若， 由于，则，故C错误；
对于D，若， 由于，则，故D错误；
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数在处取得极大值，则（ ）
A. ，或
B. 的解集为
C. 当时，
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，由题可得，据此得的可能值，验证后可判断选项正误；B选项，由A分析，可得表达式，解相应不等式可判断选项正误；C选项，由A分析结合，大小关系可判断选项正误；D选项，由A分析，验证等式是否成立可判断选项正误.
【详解】A选项，由题，则，
因在处取得极大值，则或.
当时，，令；.
则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，不合题意；
当时，，令；.
则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，满足题意；
则，故A错误；
B选项，由A可知，，则.
故B正确；
C选项，当，则，则，由A分析，在0,1上单调递增，
则，故C正确；
D选项，令，由A可知，.
则
，
又，则，故D正确.
故选：BCD
10. 在中，，，，点在边上，为的角平分线，点为中点，则（ ）
A. 的面积为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，进而可得面积判断A，再结合向量的线性运算及向量数量积可判断BC，根据三角形面积及角分线的性质可判断D.
【详解】
如图所示，
由余弦定理可知，
而为三角形内角，故，，
所以面积，A选项正确；
，B选项错误；
由点为中点，则，
所以，则，C选项正确；
由为的角平分线，则，
所以，
即，则，D选项正确；
故选：ACD.
11. 已知，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】用函数对称性的定义及函数周期性的定义可判断ABC选项的正误；利用导数法可判断D选项的正误.
【详解】
，
所以的最小正周期为，故A正确；
令，可得,所以的图象关于点对称，故B错误；
对于C： ，
所以函数的图象关于直线对称，C对；
对于D: ，因为，
所以，函数为周期函数，且是函数的一个周期，
只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，
，则，
当时，，
因为且，则，故，此时f′x>0，
所以，函数在上单调递增，
当时，，
因为且，则，故，此时f′x<0，
所以，函数在上单调递减，
所以，当时，，
又因为，则，
因此，函数的值域为，D对.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用导数求得的单调递减区间.
【详解】函数的定义域为，∵，
令得，
∴函数的单调递减区间是．
故答案为：
13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性与三角函数的奇偶性求解即可.
【详解】因为当时，，
所以当时，则，所以，
又函数是定义在上的偶函数，所以.
故答案为：.
14. 已知，且，则的最小值为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】先将所求式子化简，再根据基本不等式得到的最小值，则可判断当，求得最小值.
【详解】根据题意：，
若，则， 若，则，
因为，则，
,
当且仅当即时取等号;
则当时，的最小值是，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，求三角函数值，再根据二倍角公式，即可求解；
（2）利用角的变换，再结合两角差的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，，则，
则，，
；
【小问2详解】
，所以，
所以，
当，所以，
当，所以，
综上可知，的值为或
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）记数列的前项和为，若，求满足条件的最大整数.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用退一相减法可得及，即可得证；
（2）根据等差数列求和公式可得，则，利用裂项相消法可得，解不等式即可.
【小问1详解】
由已知，
当时，，即；
当时，，
则，即，
又时，满足，
所以，
设，，
即数列bn为等差数列，即数列为以为首项2为公差的等差数列；
【小问2详解】
由等差数列可知，
则，
所以，
即，，
解得，
即满足条件的最大整数.
17. 已知的三个内角所对的边分别为，且，记的面积为，内切圆半径为，外接圆半径为.
（1）若，求；
（2）记，证明：；
（3）求取值范围：
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得，进而求得.
（2）根据三角形的面积公式证得结论成立.
（3）用表示，然后利用导数求得的取值范围.
【小问1详解】
∵,,,
由余弦定理，得 ，
∵,.
【小问2详解】
∵的面积为,内切圆半径为，
∴,
又∵,∴，∴.
【小问3详解】
由正弦定理得,得,
因为,，
由（2）得，
又因为，
所以, 所以,
由,解得,
令，，
则在上单调递增, 所以,
故的取值范围为.
18. 设函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）证明：：
（3）若方程有两个实根，求实数的取值范围，
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.
（2）利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.
（3）利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
【小问1详解】
，则.
在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
令
.
令，解得.
；.
在上单调递减，在上单调递增.
，即.
【小问3详解】
令，
问题转化为在上有两个零点.
.
①当时，
，在递减，至多只有一个零点，不符合要求.
②当时，
令，解得
当时，，递减；
当时，，递增.
所以.
当时，，只有一个零点，不合题意.
令，
当时，，
所以在递增，.
由于，，
，使得，
故满足条件.
当时，，
所以在递减，.
由于，
，使得，
故满足条件.
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．
19. 如果定义域为的函数同时满足以下三个条件：（1）对任意的，总有；（2）；（3）当，且时，恒成立.则称为“友谊函数”.请解答下列问题：
（1）已知为“友谊函数”，求的值；
（2）判断函数是否为“友谊函数”？并说明理由；
（3）已知为“友谊函数”，存在，使得，且，证明：.
【答案】（1）
（2）是，理由见解析.
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）结合条件，利用“赋值法”可求函数值.
（2）根据给出的条件，逐一验证即可.
（3）先判断函数的单调性，结合反证法进行证明.
【小问1详解】
由条件（1）可知：；
结合条件（3），令，则.
所以：.
【小问2详解】
函数是“友谊函数”.理由如下：
对条件（1）：因为，，当时，，所以在0,1上单调递增，所以，.
对条件（2）：.
对条件（3）：设，且，则：
.
所以：.
综上可知：函数是“友谊函数”.
【小问3详解】
设且，则，
所以
所以函数在0,1上单调递增.
下面用反证法证明：.
假设，则或.
若，则，这与矛盾；
若，则，这与矛盾.
故假设不成立，所以.
【点睛】方法点睛：对于抽象函数的问题，“赋值法”是解决问题的突破口.合理赋值是解决问题的突破口.