江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷

这是一份江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对数函数的性质求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.
【详解】由题意得，又因为，所以，
所以，
故选：C.
2. 将函数图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（ ）
A. B. 1C. D. －1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，先求出y=gx的表达式，再求的值.
【详解】函数的图象先向左平移个单位得到，
将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数，
所以，
故选：A.
3. 已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算后与比较可得．
【详解】，则，即，
故选：A．
4. “”是“函数的值域为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解．
【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点，
所以，则或，
“”是或的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5. 已知，都是锐角，，，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得，，再利用两角差的余弦公式可得结果.
【详解】由，以及，都是锐角可得，；
所以
.
故选：A
6. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）
A. 1895秒B. 1896秒C. 1985秒D. 2528秒
【答案】C
【解析】
【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解．
【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为，高为，
所以细沙体积为
所以该沙漏的一个沙时为秒，
故选：C
7. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】考虑患流感的这个人可能来至于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.
【详解】由题意得，从这三个地区中任意选取一人，则这个人可能来至于三个地区中患流感的人当中，
故这个人患流感概率为，
故选：D
8. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到，，通过指数函数单调性得，再根据幂函数性质证明出，同取对数得到，则有，再利用单调性即可得到大小关系.
【详解】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,
即.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 一组数据：x1，x2，…，x10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x1，x10后得到一组新数据，则（ ）
A. 两组数据的极差相同B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同D. 两组数据的标准差相同
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C，由中位数的概念可判断B，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D，根据极差及等差数列的通项公式可判断A．
【详解】对于C，原数据的平均数为 ，
去掉，后平均数为，则C正确；
对于B，原数据的中位数为，
去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，则B正确；
对于A，原数据的极差为，
去掉，后的极差为，即极差变小，则A错误；
对于D，设公差为d，则原数据的方差为
，
去掉，后的方差为
，
即方差变小．标准差也变小，则D错误.
故选：BC
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解.
【详解】由题意可得，故A正确；
，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点，
数形结合可得，故C正确；
设f′x为的导函数，
则，其中，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，
故选：ACD．
11. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为[，]
D. 当时，的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，作出如图空间直角坐标系，由向量法结合向量垂直判断即可；
对B，由几何关系得出与平面所成线面角，可得，则点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆；
对C，由得点P在上，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置；
对D，将平面与平面沿展成平面图形，线段即为的最小值，利用余弦定理即可求.
【详解】对A，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，A错；
对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B对；
对C，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，C错；
对D，如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知，
所以，D对.
故选：BD
【点睛】（1）容易建系的几何体一般可通过建系快速解决长度、角度等问题. 本题A中，通过线面平行得线与该面的法向量垂直，即可得参数间的关系，即可进一步讨论线线垂直的问题；
（2）B中轨迹问题，关键结合正方体的线面垂直性质得出线面角，即可得出所求轨迹为圆弧；
（3）C中截面问题，关键结合正方体的对称性，转化为三角形面积的和，再进一步转换成讨论高的范围问题；
（4）D中求不同表面线段和问题，一般展开成平面讨论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设是一个随机试验中的两个事件，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】运用条件概率和并事件的概率公式即可解决.
【详解】，将代入可以求得，
，将，代入，求得
故答案为：.
13. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分离常数，求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得出答案.
【详解】解：，
则，即，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
综上，函数的值域为.
故答案为：.
14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______
【答案】8
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解.
【详解】函数的定义域为，且，
所以为奇函数，又，所以函数单调递增，
又，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的高为，求三角形的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【小问1详解】
因为，，为内角，所以，
因为，所以可化为：，
即，即，
因为，解得：，即．
【小问2详解】
由三角形面积公式得，代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周长为.
16. 如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.

（1）求质点移动5次后移动到1的位置的概率；
（2）设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意，质点向左或向右移动的概率均为，且是等可能的，要使得质点移动5次后移动到1的位置，只需质点向右移动3次，向左移动2次，结合独立重复试验的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量可能取值为，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.
【小问1详解】
由题意，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，
可得质点向左或向右移动的概率均为，且是等可能的，
要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，
所以概率为.
【小问2详解】
由题意知，质点向左或向右移动的概率均为，且是等可能的，
移动5次中向右移动的次数为，可得随机变量可能取值为，
可得，，
，，
，，
所以变量的分布列为
则期望为.
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18. 如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知利用线面平行的判定定理得平面，进而由线面平行的性质定理即可证明结论；
（2）取中点，连接，，，由等边三角形的性质得，又由面面垂直的性质定理可得平面，可得三线两两垂直，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【小问1详解】
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面与平面交于，平面，所以；
【小问2详解】
取中点，连接，，，因为，，
所以是等边三角形，由三线合一得：，
又因为是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
故三线两两垂直，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为且由（1）知，
所以四边形为平行四边形，可得，
所以，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又平面的一个法向量可取，所以，
设二面角的大小为，由题意为锐角，所以，
所以二面角的余弦值为.
19. 已知函数.
（1）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，结合导函数特征，分与两种情况，结合，得到实数a的取值范围；
（2）在第一问的基础上，取，得到在上恒成立，令，则，从而，再用裂项相消法求和，不等式得证.
【小问1详解】
，，，，
，
时，，
∴，函数在上单调递增，
∴恒成立，满足条件.
时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根，
，，
，
当时，，此时函数单调递减，
，则，不满足条件，舍去.
综上可得：实数a取值范围是.
【小问2详解】
证明：由（1）可知：取时，函数在上单调递增，
∴在上恒成立，
令，则，
∴，
∴，
∴.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
0
1
2
3
4
5