河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期10月份期中联考数学试题

这是一份河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期10月份期中联考数学试题，共20页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、平面向量与复数、数列、函数与基本初等函数、一元函数的导数及其应用、三角函数与解三角形、立体几何．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式确定集合，并确定集合中元素，然后由交集定义计算．
【详解】依题意得，，则．
故选：C．
2. 若复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法法则可求，从而可求.
【详解】由题意得，．
故选：B.
3. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项.
【详解】，，，所以．
故选：A.
4. 设数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 100B. 110C. 210D. 190
【答案】D
【解析】
【分析】先由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以，则，，
所以是以10为首项，2为公差的等差数列，
则.
故选：D.
5. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆台体积公式计算即得.
【详解】根据题意，可得该圆台的体积为:
.
故选：B.
6. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】，则，整理得，
而向量均为非零向量，则反向共线且，有；
反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
7. 已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解.
【详解】，其中，且，
则有，解得，即，
则，即，
画出与图象如图所示：
由图可知，曲线y=fx与的交点个数为.
故选：B.
8. 如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（ ）
A. 268米B. 265米C. 266米D. 267米
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高.
【详解】
如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．
根据题意易得，．
在中，由正弦定理得，
在中，,则，
在中，,则，
所以米．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，由诱导公式可判断选项正误；B选项，由两角差的正切公式可判断选项正误；C选项，由正切倍角公式可判断选项正误；D选项，由正弦倍角公式结合可判断选项正误.
【详解】A选项，由诱导公式，，得，故A错误；
B选项，由A，，故B正确；
C选项，由A，，故C错误；
D选项，由A，，故D正确.
故选：BD
10. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为0D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，A正确；
设，则，因为A，O，C三点共线，
所以，解得，B正确；
由，，可得，结合向量数量积的定义式，
可知等于模与在方向上的投影的乘积，
易知当点N位于点B时，取得最小值，
最小值为，C错误；
当点N为位于点C时，取得最大值，
最大值为，D正确．
故选：ABD
11. 已知数列是常数列，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据是常数列，得.将代入公式即可判断A项；因为，再根据裂项相消法求和可判断B项；根据放缩法，知，当且仅当时等号成立，再代入选项运算即可判断C项；根据放缩法得，再结合裂项相消法求和即可判断D项.
【详解】依题意得，所以.
对于A，，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，当且仅当时等号成立，
所以，
即，故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】先写出命题“，”的否定，由题可知其为真命题，然后利用的范围求得的范围即可.
【详解】由题意得“，”是真命题，故，
因为，所以m的取值范围是．
故答案为：
13. 已知，函数在上单调递增，则的最大值为________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解.
【详解】因为，所以，
又在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
而，，所以由正弦函数性质得，
解得，则的最大值为.
故答案为：.
14. 曲线与曲线的公切线方程为________．
【答案】（或）
【解析】
【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解.
【详解】设，的公切线为，
且与曲线相切于点，与曲线相切于点，
由，得，则，即①．
由，得，则，即②．
易得，即③，将②③代入①，可得，
令，则，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立，则，
所以，，
故曲线与曲线的公切线方程为，即，
故答案：（或）
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理角化边整理得，再由余弦定理即可得解.
（2）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出即可求解.
【小问1详解】
由以及正弦定理得，
即，，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
中，由余弦定理有，
解得或一（舍去），
根据正弦定理可得，解得，
所以.
16. 如图，在五棱锥中，，，，，，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角．
【小问1详解】
因为，，，，
所以，，
则，，
因为，平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．
，，，
则，．
易得平面的一个法向量为n=0,1,0，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，取得．
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17. 已知函数（）．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，再利用导数与函数单调性单间的关系，即可求解；
（2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
因为时，令，得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
由，得到，
因为，所以，则，
令，则，
当时，，即在区间上单调递增，
当时，，即在区间上单调递减，所以，
得到，所以，故的取值范围为．
18. 已知数列，满足，，．
（1）求，的值；
（2）求，的通项公式；
（3）求数列的前项和．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系直接求得.
（2）根据递推关系，利用构造等比数列的方法，对分成奇数、偶数两种情况来求得.
（3）利用错位相减求和法、分组求和法来求得.
【小问1详解】
根据题意可得，．
【小问2详解】
依题意得，则，所以．
当n为奇数时，，即，
当n为偶数时，，
当n为偶数时，，即，
当n为奇数时，．
综上，
小问3详解】
由（2）得
设
，
则，
两式相减得
，
则．
设
，
则
两式相减得
，
则．
故
．
19. 定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.
（1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；
（2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；
（3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由定义中的任意性，将条件不等式转化为.求，构造二次函数，使即可；
（2）按与的大小分类讨论，求解函数的值域，再结合定义建立关于的不等式求解可得；
（3）利用（1）结论得，转化命题证明，构造函数，设出隐零点探求零点范围，证明即，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数，证明即可.
【小问1详解】
由，，
得，令，解得.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
因为为二次函数，且，所以的对称轴为，
设，
要使“”为三角形函数，只要，
取，则，
，满足，
则，即成立.
故若，取，可使得“”为三角形函数.
（答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以）
【小问2详解】
，
①当时，，
则任意，故“”为三角形函数.
②当时，由，
则，；
要使“”为三角形函数，
由，解得，
则有，
所以；
③当时，则，
要使“”为三角形函数，由，解得，
则有，
所以；
综上所述，实数的取值范围为.
【小问3详解】
，.
由（1）知，，
则任意，；
下面证明.
由，，
则，
令，
则，所以在上单调递减.
又，由参考数据可知，，
则存在唯一的实数，使，即().
所以当时，，在上单调递增；
当时，，上单调递减；
故，
由()式可知，
则，
令，
则，
所以在单调递增，
故.
即.
所以成立，即.
故“”为三角形函数，命题得证.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．