辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列图书馆标志是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】是轴对称图形，
故选A．
2. 可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg，将数据0.000085用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将数据0.000085用科学记数法表示为：.
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A选项计算错误，不合题意；
，故B选项计算错误，不合题意；
，故C选项计算正确，符合题意；
，故D选项计算错误，不合题意；
故选：C．
4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 投掷一枚质地均匀的硬币时，硬币落下后正面朝上
B. 今天是星期一，明天是星期三
C. 从只装有白球的盒子里随机摸出一个球，摸到一个白球
D. 玩“石头，剪刀，布”游戏，对方出“剪刀”
【答案】C
【解析】A．属于随机事件，故本选项不符合题意；
B．属于不可能事件，故本选项不符合题意；
C．属于必然事件，故本选项符合题意；
D．属于随机事件，故本选项不符合题意；
故选C．
5. 如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ）
A. 线段 DAB. 线段 CA
C. 线段 CDD. 线段 BD
【答案】C
【解析】由图可得，△ABC 中 AB 边上的高线是线段CD，
故选：C．
6. 阅读下列材料，其①~④步中数学依据错误的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】证明：①（已知），
（垂直的定义）
②又（已知），
（两直线平行，同位角相等）
③（等量代换）
④（垂直的定义）
故错误为②，
故选：B．
7. 小敏同学从家出发到学校去上学，离开家不久后，发现忘记带数学作业本了，于是返回家里寻找作业本，一段时间后找到作业本并立马去学校．若用表示小敏同学离开家的距离，用表示离开家的时间，则下列图象能近似得刻画小敏同学离开家的距离与离开家的时间之间的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】小敏从离开家到发现作业本忘在家里这段中，距离随着时间的增加而增大，发现作业本忘在家里到回到家中这段中，距离随着时间的增大而减小，故选项A和选项C错误；
小芳回到家里到找到作业本这段中，距离随着时间的增加不变，故选项B正确，选项D错误；
故选：B．
8. 如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长 到点C，如图：

，
，
，
∵，
∴
，
，
故选：B．
9. 某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为0.3，
∴个杯子叠在一起总高度为，
故选：D ．
10. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由作图可得垂直平分AB，
∴，
∴的周长为，
故选：D
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知∠α=50°，则∠α的余角的度数为_____°．
【答案】40
【解析】由题意得∠α的余角=90°-50°=40°
12. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
在这批乒乓球中任取一个，它为优等品概率是______（精确到0.1）．
【答案】0.8
【解析】由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在0.8附近，
则这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.8，
故答案为：0.8．
13. 如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为______．
【答案】74
【解析】如图，
∵，
∴，
又∵长方形纸片的对边平行，
∴，
故答案为：．
14. 若，则______．
【答案】2
【解析】；
，
，
故答案为：2．
15. 如图，在中，，，射线上有一点P，M，N分别为点P关于直线，的对称点，连接，若，则的长为______．
【答案】或
【解析】当点在线段上时，如图：
∵M，N分别为点P关于直线，的对称点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在线段的延长线上时，如图：
∵M，N分别为点P关于直线，的对称点，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算
（1）
（2）
解：（1）
；
（2）
；
17. 先化简，再求值：，其中，．
解：
，
当，时，原式．
18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出关于直线l对称的（A与，B与，C与相对应）；
（2）在直线l上找一点P，使得最小；
（3）在（2）的条件下，若点P到的距离为，到的距离为，则______（填“”，“”或“”）．
解：（1）如图所示，为所求；
（2）连接交直线于点P，点P即为所求；
，
当点三点共线时，有最小值，
有最小值；
（3）连接，设点P到距离为，到的距离为，
由对称的性质得：，
，
，
，
，即．
19. 某校将举办主题为“2024爱沈阳”研学活动.七年一班决定在甲、乙两位同学中选择一人参加，并采用如下游戏确定参加人员．如图，一个均匀的转盘被平均分成20等份，分别标有1至20这20个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.甲、乙两位同学参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选一种：
（1）猜“是奇数”或“是偶数”；
（2）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（3）猜“是大于10的数”或“小于10的数” ．
如果由乙同学转动转盘，甲同学猜数，那么为了尽可能获胜，试说明甲同学应选择哪一种猜数方法？怎样猜？
解：由题知，猜“是奇数”概率为：，猜“是偶数”概率为：，
即甲乙获胜概率相同；
由题知，猜“是3的倍数”概率为：，猜“不是3的倍数”概率为：，
，则甲获胜的可能性大；
由题知，猜“是大于10的数”概率为：，猜“小于10的数”概率为：，
，则甲获胜的可能性小；
甲同学应选择猜数方法（2），且猜“不是3的倍数”．
20. 教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，积累了研究运算的经验．
现定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：．
例如：．
（1）求的值．
（2）若，求x的值．
解：（1），
；
（2），
，
整理得，
解得．
21. 数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程．
（1）在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______；
（2）林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2．
①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______；
②点M表示的实际意义是______；
（3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，）
解：（1）在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化．
故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度．
（2）①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，
小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为；
②，
，则用时，
点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为；
（3）由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了，
故段的．
第一次在段运动时的路程．
，
达不到斜板顶端．
22. 数学活动：探究利用角平分线的对称性构造全等三角形解决问题．
（1）如图1，是平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形.方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点C，连接，，则的依据是______；
（2）如图2，在中，，，和是的角平分线，，相交于点F
①的度数为______；
②求证：；
（3）如图3，在中，，延长的边到点G，平分交延长线于点D，若，请判断和的数量关系，并说明理由．
解：（1）由题意知，在和中，
，
故答案为：；
（2）① ，，和是的角平分线，
，，
，
故答案为：60；
如图，在上取点G，使得，
在和中，
，
，，
，
又，
在和中，
，
，
；
（3），理由如下：
如图，在的延长线上取点E，使得，
和中，
，
，，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
．
23. 【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
解：（1）证明：由图可知，
，，
正方形边长为，
，
即．
故答案为：，；
（2）证明: ∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
又, ,
∴.
∴；
（3）证明： 由题意，第一种方法：

，
第二种方法：
，
，
，
；
（4）由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为108,
，
设则，
在中,
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．已知：如图，直线，.求证：.
证明：①（已知），（垂直的定义）
②又（已知），（同位角相等，两直线平行）
③（等量代换）
④（垂直的定义）
随机抽取的乒乓球数n
20
40
100
200
400
100015
优等品数m
15
33
78
158
321
801
优等品率
0.75
0.825
0.78
0.79
0.8025
0.801
时间
0
1
2
4
6
7
8
9
10
12
速度
0
2
4
8
12
11
10
9
8
0