重庆市万州第二高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

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考试范围：1.1-3.1；考试时间：120分钟；命题人：何金晶 审题人：杨柳
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=x−1A. A∪B=BB. A∩B=⌀C. C∩B=⌀D. A∪C=C
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交集运算，考查并集运算，属于基础题．
根据交集、并集的定义计算可得．
【解答】
解：因为集合A=x−1所以A∪B=x|−1C∩B=x2≤x<4=B≠⌀，A∪C=x−1故正确的只有选项D．
故选：D
2.已知a>b>0>c，d∈R，则下列不等式恒成立的是( )
A. a4>b4B. |a+1|>|c+1|C. ad>cdD. bc+1>c2+1
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用不等式性质判断不等关系，属于基础题．
结合特殊值法即可判断．
【解答】
解：由题易知a>b>0，故a4>b4恒成立，故A正确;
对于B，令a=1，c=−4，易得|a+1|>|c+1|不成立，故B错误;
对于C:d=0时易得C错误;
令b=1，c=−2易得D错误，
故选A．
3.下列各组函数中，表示同一个函数的是
A. f(x)=x，g(x)=x2x
B. f(x)=x(x∈R)，g(x)=x(x∈Z)
C. f(x)=|x|，g(x)=x,x≥0,−x,x<0
D. f(x)=x，g(x)=( x)2
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：对于A中，函数f(x)=x的定义域为R，函数g(x)=x2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B中，函数f(x)=x(x∈R)和g(x)=x(x∈Z)的定义域不同，不是同一函数；
对于C中，函数f(x)=x=x,x≥0−x,x<0与g(x)=x,x≥0−x,x<0的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；
对于D中，函数f(x)=x的定义域为R，g(x)=( x)2的定义域为[0,+∞)，两函数的定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
4.函数y=x+|x|x的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数图象的判断，属于基础题．
将函数分段之后直接判断即可．
【解答】解：由已知，y=x+|x|x=x+1,x>0−x−1,x<0,
则函数y=x+|x|x的图象为选项D．
5.已知条件p：|x−1|≤2，条件q：x>a，且满足q是p的必要不充分条件，则( )
A. a>3B. a≤−1C. a>−1D. a<−1
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式的解法，考查必要不充分条件的概念，属于中档题．
求解不等式|x−1|⩽2得到命题p，根据q是p的必要不充分条件这一条件得到{x|−1≤x≤3}是{x|x>a}的真子集，列不等式求解即可．
【解答】
解：p:|x−1|⩽2，即p:−1≤x≤3，
q:x>a．
因为q是p的必要不充分条件，
所以{x|−1≤x≤3}是{x|x>a}的真子集，
所以a<−1．
故选D．
6.若不等式1A. [5,10]B. (5,10)C. [3,12]D. (3,12)
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查不等式的基本性质，属于中档题．
利用待定系数法，令4a−2b=x(a−b)+y(a+b)，求出满足条件的x，y，利用不等式的基本性质，可得4a−2b的取值范围
【解答】
解：令4a−2b=x(a−b)+y(a+b)
即x+y=4−x+y=−2解得：x=3，y=1
即4a−2b=3(a−b)+(a+b)
∵1∴3<3(a−b)≤6
∴5<4a−2b<10
故选：B．
7.定义min{a,b}=a,a≤bb,a>b，若函数f(x)=min{x2−3x+3,−|x−3|+3}，且f(x)在区间[m,n]上的值域为[34,74]，则区间[m,n]长度的最大值为 ( )
A. 1B. 74C. 114D. 72
【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数的新定义问题，分段函数的性质及应用，函数值域的求解，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．
根据定义作出函数f(x)的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行求解即可．
【解答】
解：根据定义作出函数f(x)的图象，如图所示．
其中A(1,1)，B(3,3)，即
f(x)=x2−3x+3,1⩽x⩽33−|x−3|,x<1或x>3.当f(x)=34时，若x>3或x<1，由3−|x−3|=34，得|x−3|=94，
即xC=34或xG=214;若1≤x≤3，由x2−3x+3=34，得xD=32⋅当f(x)=74时，若1≤x≤
3，由x2−3x+3=74，得xE=52;若x>3或x<1，由3−|x−3|=74，得xF=174．
结合图象知，若f(x)在区间[m,n]上的值域为[34,74]，
则区间[m,n]长度的最大值为xE−xC=52−34=74，
故选B．
8.设定义在R上的函数fx满足f0=2，且对任意的x、y∈R，都有fxy+1=fx⋅fy−2fy−2x+3，则y= fx的定义域为( )
A. −2,+∞B. −1,+∞C. −∞,1D. −∞,2
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于综合题．
通过赋值法求出函数y=fx解析式，然后令fx≥0，即可求出函数y= fx的定义域．
【解答】
解：令x=y=0，得f1=f20−2f0+3=3，
令y=1，则fx+1=3fx−2f1−2x+3=3fx−2x−3，①
令x=1，则fy+1=3fy−2fy−2+3=fy+1，即fx+1=fx+1，②
联立①②得fx+1=3fx−2x−3fx+1=fx+1，解得fx=x+2，
对于函数y= fx= x+2，令x+2≥0，解得x≥−2．
因此，函数y= fx的定义域为−2,+∞，故选 A．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3,4}，集合A={x∈Z|x2−x<6}，B={−2,0,1,3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {−1,2}B. ∁(A∪B)BC. A∩(∁UB)D. (∁UA)∩(∁UB)
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算，属基础题．
根据Venn图和集合的运算求解即可．
【解答】
解：由图可知阴影部分所表示的集合为∁A∪BB，A∩(∁ UB)，B， C正确， D错误，
因为A={x∈Z|x2−x<6}={−1,0,1,2}，∁ UB={−1,2,4}，所以A∩(∁ UB)={−1,2}，故A正确．
故选ABC．
10.已知正数a，b满足a+4b=4，则( )
A. ab≤1B. a+4 b≤5
C. 4ab+1a+4ab+14b≥8D. 1a+4b≥254
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
利用基本不等式逐项计算判断即可．
【解答】
解：对于A，因为a>0，b>0，且a+4b=4，
所以4=a+4b≥4 ab，则ab≤1，
当且仅当a=4b=2时，等号成立，故A正确．
对于B，由a+4b=4，得a=4−4b，
又a>0，b>0，所以0所以a+4 b=4−4b+4 b=−4( b−12)2+5≤5，
当且仅当 b=12，即b=14时，等号成立，故B正确．
对于C，4ab+1a+4ab+14b=1a+14b+a+4b=1a+14b+4，
因为1a+14b=14(1a+14b)(a+4b)=14(2+4ba+a4b)≥1，
当且仅当4ba=a4b，即a=4b=2时，等号成立，
所以4ab+1a+4ab+14b≥5，故C错误．
对于D，由题意，1a+4b=14(1a+4b)(a+4b)
=14(17+4ba+4ab)≥14(17+2 4ba·4ab)=254，
当且仅当4ba=4ab，即a=b=45时，等号成立，故D正确．
故选ABD．
11.波恩哈德·黎曼(～)是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为0,1，其解析式为：L(x)=1q,x=pq(p,q∈Z∗,p,q互质)0,x=0或1或(0,1)内的无理数，下列关于黎曼函数的说法正确的是( )
A. L(x)=L(1−x)
B. L(a)L(b)⩽L(ab)
C. L(a+b)⩾L(a)+L(b)
D. 关于x的不等式L(x)>15x+15的解集为12
【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，属于较难题．
根据黎曼函数的定义域分类对函数进行分析，再对每一个选项逐一分析判断，即可求出结果．
【解答】
解：对于选项A，当x=0时，1−x=1，当x=1时，1−x=0，而L(0)=L(1)=0，
当x∈(0,1)时，1−x∈(0,1)，若x是无理数，则1−x是无理数，有L(x)=L(1−x)=0，
若x是有理数，则1−x是有理数，当x=pq(p,q为正整数，pq为最简真分数)，
则1−x=1−pq=q−pq(q,q−p为正整数，q−pq为最简真分数)，此时L(x)=L(1−x)=1q，
综上，当x∈[0,1]时，L(x)=L(1−x)，所以选项A正确;
对于选项B，当a,b=0,1和无理数时，L(a)L(b)=0，显然有L(a)L(b)⩽L(ab)，
当a=p1q1,b=p2q2(p1,q1,p2,q2是正整数，p1q1,p2q2是最简真分数)时，
L(ab)=L(p1p2q1q2)⩾1q1q2，L(a)L(b)=1q1q2，故L(a)L(b)⩽L(ab)，
当a=0,b=pq时，L(a)L(b)=0，有L(a)L(b)⩽L(ab)，
当a=1,b=pq时，L(a)L(b)=0，L(ab)=1q，有L(a)L(b)⩽L(ab)，
当a为无理数，b=pq时，L(a)L(b)=L(ab)=0，有L(a)L(b)⩽L(ab)，
综上可知，L(a)L(b)⩽L(ab)，所以选项B正确；
对于选项C，取a=13,b=23，则L(a+b)=L(1)=0，而L(a)+L(b)=L(13)+L(23)=23>0，所以选项C错误;
对于选项D，若x=0或x=1或(0,1)内的无理数，此时L(x)=0，显然L(x)>15x+15不成立;
当x=pq(p,q为正整数，p,q互质)，由L(x)>15x+15，得到1q>p5q+15，
整理得到p+q<5，又p,q为正整数，p,q互质，所以p=1,q=2或p=1,q=3均满足，所以x可以取12或13，所以选项D错误．
故选AB．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f( x)=x+1，则f(x)= ．
【答案】x2+1(x≥0)
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求解，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
令 x=t，t≥0，利用换元法即可求出f(x)的解析式．
【解答】
解：∵f( x) =x+1，
令 x=t，t≥0，得x=t2，
∴f(t)=t2+1，
故f(x)=x2+1，x≥0．
故答案为：x2+1(x≥0)．
13.若不等式ax2+5x+1≤0的解集为x−12≤x≤−13，则不等式x−ax−3≤1的解集为 ．
【答案】xx>3
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，分式不等式的解法，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
由一元二次不等式的解集与相应方程根的关系可求得a，根据分式不等式的解法求不等式x−ax−3≤1的解集．
【解答】
解：∵不等式ax2+5x+1≤0的解集为{x|−12≤x≤−13}，
∴−12，−13是方程ax2+5x+1=0的两根，且a>0，
故−12−13=−56=−5a，∴ a=6，
∴x−ax−3≤1即为x−6x−3⩽1，
整理得−3x−3≤0，
∴x>3．
∴不等式x−ax−3≤1的解集为{x|x>3}，
故答案为：{x|x>3}．
14.已知a>0，b>0，c>0，a2−ab+9b2−5c=0，则cab的最小值是 .当cab取最小值时，m2−3m≥a+b−13c恒成立，则m的取值范围是 ．
【答案】1
(−∞,−1]∪[4,+∞)

【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用，不等式的恒成立问题，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
移项整理可得5cab=ab+9ba−1，再由基本不等式求得cab的最小值；当cab取最小值时，有a=3b，c=3b2，代入不等式中，可将原问题转化为m2−3m≥−b2+4b恒成立，求得函数f(b)=−b2+4b的最大值后，解关于m的一元二次不等式，即可．
【解答】
解：因为a2−ab+9b2−5c=0，即a2+9b2−ab=5c
所以5cab=a2+9b2ab−1=ab+9ba−1≥2 ab⋅9ba−1=5，当且仅当ab=9ba，即a=3b时，等号成立，
所以cab的最小值是1;
当cab取最小值时，有cab=1，a=3b，所以c=3b2，
所以m2−3m≥a+b−13c恒成立等价于m2−3m≥3b+b−13·3b2=−b2+4b，
令f(b)=−b2+4b=−(b−2)2+4，则原问题转化为m2−3m≥f(b)max，
当b=2时，f(b)max=4，
所以m2−3m≥4，解得m≤−1或m≥4，
所以m的取值范围是(−∞,−1]∪[4,+∞)．
故答案为1；(−∞,−1]∪[4,+∞)．
四、解答题：本题共5小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=x|−2≤x≤12，B=x|2m≤x≤m+1．
(1)当m=0时，求∁R(A∩B)；
(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)当m=0时，B={x|0≤x≤1}，于是A∩B={x|0≤x≤12}，
故∁R(A∩B)=x|x>12或x<0．
(2)由A∪B=A，可得B⊆A．
当B=⌀时，2m>m+1，即m>1，此时符合题意；
当B≠⌀时，由B⊆A可得：m≤1m+1≤122m≥−2，解得：−1≤m≤−12．
故实数m的取值范围为：[−1,−12]∪(1,+∞)．

【解析】本题考查集合交并补混合运算，含参数的并集运算问题，属于基础题．
(1)将m=0代入，利用交集和补集的定义计算即得；
(2)根据题设得到B⊆A，因为集合B含参数，故要就集合B是否为空集进行分类讨论，再取其并集即得．
16.(本小题15分)
设命题p：对任意x∈0,1，不等式2x−3≥m2−4m恒成立，命题q：存在x∈−1,1，使得不等式x2−2x+m−1≤0成立．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．
【答案】解：(1)若p为真命题，则2x−3min≥m2−4m成立，而x∈0,1，有2x−3min=−3，
所以−3≥m2−4m，∴1≤m≤3．
(2)若q为真命题，即存在x∈−1,1，使得不等式x2−2x+m−1≤0成立，只需x2−2x+m−1min≤0，
而x2−2x+m−1min=−2+m，∴−2+m≤0，∴m≤2；
若q为假命题，p为真命题，则1≤m≤3m>2，所以2若p为假命题，q为真命题，
p为假命题，则m<1或m>3，q为真命题，则m≤2，
所以m<1;
综上：m<1或2
【解析】本题考查不等式的恒成立、存在性问题，考查计算能力，属于中档题．
(1) p为真命题时，任意x∈0,1，不等式2x−3≥m2−4m恒成立可转化为2x−3min≥m2−4m，求解即可;
(2)先求出命题q为真时，m的范围.根据p，q一真一假，结合(1)，即可求出m的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数y=ax2−a+2x+2，a∈R
(1)y<3−2x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a>0时，求不等式y≥0的解集；
【答案】解：(1)因为函数f(x)=ax2−(a+2)x+2，
所以f(x)<3−2x恒成立，
等价于ax2−(a+2)x+2<3−2x恒成立，
即ax2−ax−1<0恒成立，
当a=0时，−1<0恒成立，满足题意;
当a≠0时，要使ax2−ax−1<0恒成立，
则a<0△<0，即a<0a2+4a<0,
解得−4综上所述，实数a的取值范围是{a|−4(2)由f(x)⩾0得ax2−(a+2)x+2⩾0，
即(ax−2)(x−1)≥0.又因为a>0，
所以：当2a>1，即0不等式(ax−2)(x−1)≥0的解集为{x∣x≤1 或 x≥2a} ；
当2a=1，即a=2时，
可得(x−1)2≥0，不等式f(x)⩾0的解集为R;
当2a<1，即a>2时，
不等式(ax−2)(x−1)≥0的解集为{x∣x≤2a 或 x≥1}．
综上，0a=2时，不等式的解集为R，
a>2时，不等式的解集为{x∣x≤2a 或 x≥1}．
【解析】【分析】本题考查了含有参数的不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，是较难题．
(1)fx<3−2x ，即ax2−ax−1<0恒成立，a=0时，−1<0恒成立，a≠0时，只需a<0，Δ<0，求解即可．
(2)不等式fx≥0，即x−1ax−2≥0，讨论a的取值情况，从而求出不等式的解集．
18.(本小题12分)
安徽省人民政府办公厅在《关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见》中提出要打造区域性特色农产品品牌.推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度.引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌.某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树.经调研发现该果树的单株产量P(单位：千克)与施肥量x(单位：千克)满足函数关系：P(x)=4(x2+2)(0⩽x⩽2)36xx+1(2(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】解：(1)根据题意知
f(x)=21P(x)−16x−(200+5x)
=84(x2+2)−16x−(200+5x)(0≤x≤2)756xx+1−16x−(200+5x)(2整理得
f(x)=84x2−21x−32(0≤x≤2)756xx+1−21x−200(2(2)当0≤x≤2时，f(x)=84x2−21x−32，
由一元二次函数图象可知在x=2时f(x)取得最大值f(2)=262，
当2当且仅当756x+1=21(x+1)，即x=5时等号成立，
∴f(2)∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元．
【解析】本题主要考查的是分段函数的实际问题，以及利用二次函数的性质、基本不等式求最值，属于中档题．
(1)利用利润公式直接求解即可；
(2)分段求解，0≤x≤2时，利用二次函数的性质求解最值；219.(本小题17分)
已知集合A为非空数集.定义：S=x|x=a+b,a,b∈A,T={xx=a−b|,a,b∈A}
(1)若集合A={1,3}，直接写出集合S，T；
(2)若集合A=x1,x2,x3,x4,x1(3)若集合A⊆x|0≤x≤2024,x∈N,S∩T=⌀,记A为集合A中元素的个数，求A的最大值．
【答案】解：(1)由已知A={1,3}，则S={2,4,6}，T={0,2}；
(2)由于集合A=x1,x2,x3,x4,x1所以T中也只包含四个元素，因为0即T={0,x2−x1,x3−x1,x4−x1}且x1=0，即T={0,x2,x3,x4}，
又0所以x3−x2=x2,x4−x2=x3，从而x3=2x2,x4=x2+x3=3x2，
此时x4−x3=x2满足题意，所以x4=3x2；
(3)设A=a1,a2,⋯ak满足题意，其中a12a1S≥2k−1,a1−a1∵S∩T=⌀，∴S∪T=S+T≥3k−1，
又S∪T中最小的元素为0，最大的元素为2ak，
则S∪T≤2ak+1,∴3k−1≤2ak+1≤4049k∈N∗,∴k≤1350，
设A={m,m+1,m+2,⋯,2024}，m∈N，
则S={2m,2m+1,2m+2,⋯,4048},T={0,1,2,⋯,2024−m}，
因为S∩T=⌀，可得2024−m<2m，即m>67423，
故m的最小值为675，于是当m=675时，A中元素最多，
即A={675,676,677,⋯,2024}时满足题意，
综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350．

【解析】本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解
(1)根据新定义直接求出S,T；
(2)首先根据定义得出T={0,x2−x1,x3−x1,x4−x1}={0,x2,x3,x4}，然后由0(3)设A=a1,a2,⋯ak满足题意，其中a1