江苏省南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

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一、单项选择题：
多项选择题：
填空题：
13.2 14. 1,5 15. 480 16. -4,0
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (10分）计算下列各式的值：
（1）； （2）lne+lg52+2lg2+3lg32
解：（1）原式 分
（2）原式＝1+lg52+lg4+2=3+lg52×4=3+1=．分
18. (12分）已知fx=3-x+2x的定义域为集合A,不等式x+1<2的解集为集合B.
求集合A和集合B； （2）求A∩CRB.
解：(1)由3-x≥0x>0 得0所以, fx=3-x+2x的定义域A=x|0由不等式x+1<2得:-2所以集合B=x|-3(2)由(1)知B=x|-3所以A∩CRB=x|1≤x≤3 分
19. (12分）（1）已知x＞2，求函数y＝x+1x-2的最小值．
解：由x＞2得x-2＞0，
则函数y＝x+1x-2=x-2+1x-2+2≥2x-2⋅1x-2+2=2+2=4，分
当且仅当x-2=1x-2，即x=3时取等号
所以，函数y＝x+1x-2取得最小值4． 分
（2）已知正数a,b满足1a+9b=1,求ab的最小值
解：∵a>0,b>0，
由基本不等式，得 1=1a+9b≥21a∙9b =6ab ，
当且仅当1a=9b=12，即a=2,b=18时等号成立 10分
∴ab≥6 即ab≥36
所以，ab的最小值36 分
20. （12分）
已知集合：A=x4x+1>1；集合B=xx2-2m+1x+m2+m<0（m为常数）．
(1)定义A-B=xx∈A且x∉B，当m=0时，求；
(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：(1)由4x+1>1得，3-xx+1>0，∴-1所以不等式4x+1>1的解集为-1,3．
故A=x-1由m=0可得 xx-1<0，解得0故B=x0则A-B=-1，0∪1,3． 分
(2)由x2-2m+1x+m2+m<0，
即x-mx-m+1<0，解得B=m,m+1． 分
因为p是q成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 分
所以m>-1m+1≤3或m≥-1m+1<3，
解得-1≤m≤2，
故m的取值范围为-1,2． 12分
21. (12分）
已知f(x)=xx-2
(1)将f(x)写出分段函数的形式；
(2)画出f(x)的图像，写出f(x)的单调增区间；
解：(1) f(x)=xx-2=xx-2，x≥2x2-x,x<2 分
(2) f(x)的图像如图所示 分
单调增区间为-∞，1和2，+∞ 分
22.(12分)已知f(x)＝ax2+23x+b 是奇函数，且f(2)＝53 .
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并利用定义加以证明．
解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2+2-3x+b =-ax2+23x+b，解得b＝0. 3分
又f(2)＝53，所以4a+26=53 ，所以a＝2. 6分
(2)由(1)知f(x)=2x2+23x=2x3+23x，
f(x)在(－∞，－1]上单调递增． 8分
证明如下：
设x1= 23(x1－x2)1-1x1x2 . 10分
因为x11，1-1x1x2>0.所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)故f(x)在(－∞，－1]上单调递增． 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
B
D
B
B
D
题号
9
10
11
12
答案
ABD
BCD
AB
BD