2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题练习(学生版+解析)，共30页。

\l "_Tc2555" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2555 \h 2
\l "_Tc13071" 题型一：定义法求轨迹方程 PAGEREF _Tc13071 \h 2
\l "_Tc71" 题型二：直接法 PAGEREF _Tc71 \h 3
\l "_Tc13239" 题型三：代入法（相关点法） PAGEREF _Tc13239 \h 4
\l "_Tc10956" 题型四：点差法 PAGEREF _Tc10956 \h 5
\l "_Tc10575" 三、专项训练 PAGEREF _Tc10575 \h 6
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
题型二：直接法
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知点的坐标分别为，直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知点， ，直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
题型三：代入法（相关点法）
1．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为
3．（23-24高二下·江西上饶·期末）已知椭圆 的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为 .
4．（23-24高二上·四川成都·期中）点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为 .
5．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．
(1)求动点C的轨迹方程C；
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
三、专项训练
1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高二上·广东佛山·期末）长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
5．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
8．（23-24高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是 ．
10．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为 ．
11．（23-24高二·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程 ．
12．（23-24高二上·全国·课后作业）设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是 .
专题01 圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc123" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc123 \h 1
\l "_Tc2555" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2555 \h 2
\l "_Tc13071" 题型一：定义法求轨迹方程 PAGEREF _Tc13071 \h 2
\l "_Tc71" 题型二：直接法 PAGEREF _Tc71 \h 5
\l "_Tc13239" 题型三：代入法（相关点法） PAGEREF _Tc13239 \h 8
\l "_Tc10956" 题型四：点差法 PAGEREF _Tc10956 \h 14
\l "_Tc10575" 三、专项训练 PAGEREF _Tc10575 \h 18
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
3.1定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
3.2直接法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3.3代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
3.4点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、典型题型
题型一：定义法求轨迹方程
1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出的轨迹方程.
【详解】设动圆圆心为，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,所以，即，
因为，,所以，
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出的轨迹方程.
【详解】设，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,
所以，即，
因为，,所以,
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解.
【详解】由圆M：，得圆心，半径，
由圆N：，得圆心，半径．
设圆P的半径为r，则有，．
两式相减得，
所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，
又，所以C的方程为．
故选：B．
4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两圆相切，得，结合，得动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，再根据求出，可得结果.
【详解】圆：的圆心，半径为，
当动圆与圆相外切时， 则，即
当动圆与圆相内切时，因为定点在圆外，所以只能是圆内切于动圆，所以，即
综上所述：，又，
所以动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，
因为，，所以，，
所以，
所以动圆圆心P的轨迹方程是.
故选：D
5．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．
【详解】设动圆M的半径为r，依题意：，
点M到定直线的距离为，
所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离，
即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线，
所以此动圆的圆心M的轨迹方程是.
故选：D．
6．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
题型二：直接法
1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出动点，利用条件直接建立关系，化简得出，从而得出结论.
【详解】设，因为，所以，
又因为直线与直线的斜率之积为，所以，
整理得.
故选：C.
2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知点的坐标分别为，直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，分别求出直线的斜率，结合题意列出方程，整理即可得解.
【详解】解：设，直线的斜率为，直线的斜率为，有
直线的斜率与直线的斜率的差是1，所以，
通分得：，整理得：，
即点的轨迹方程为.
故选：B.
3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设动点P的坐标为（x，y），则由条件得
即（x≠0）．
所以动点P的轨迹C的方程为
故选A．
4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 .
【答案】
【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.
【详解】设，则，整理得到，
即.
因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，故，
解得，
故答案为：，.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知点， ，直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 .
【答案】
【分析】有已知条件结合斜率公式求解即可
【详解】设P点坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴曲线C的方程为.
故答案为：.
题型三：代入法（相关点法）
1．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为．设，，线段的中点，根据得到轨迹方程.
【详解】由已知，求得，得双曲线方程为，
从而其渐近线方程为．
设，，线段的中点，
由已知不妨设，，
从而，，
由得，
所以，即，
则M的轨迹C的方程为．
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为
【答案】
【分析】相关点法求轨迹方程：设，先根据条件，求出，两点的坐标，再联立直线和求出交点，根据，两点关于对称，确定用，表示点的坐标，再由点在圆上，列方程整理即可.
【详解】
依题意作图，有，，设()，.
过点的圆的切线的方程为，
所以，.
联立
解得，所以点.
又点，关于点对称，所以
，即，
又点在圆上，所以，
把代入整理得，，又，
所以点的轨迹方程().
故答案为：().
3．（23-24高二下·江西上饶·期末）已知椭圆 的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】先利用椭圆的几何性质得到的轨迹方程为：，再根据的坐标与的坐标关系可得的轨迹方程.
【详解】
如图，延长交的延长线于，连接.
因为为的平分线且，
故为等腰三角形且，，
所以.
在中，因为，所以，
故的轨迹方程为：.
令，则，所以即，
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.
4．（23-24高二上·四川成都·期中）点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设的内心为，连接交轴于点，由内角平分线性质定理得到，设，再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则，然后利用向量关系把的坐标用的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.
【详解】如图，设的内心为，连接交轴于点，连接
在中是的角平分线.
根据内角平分线性质定理得到.
同理可得.
所以，根据等比定理得：
在椭圆中，
所以
设，则

同理
又，则，可得
所有

由，得，
所以，代入椭圆方程.
得，由，则.
所以的内心轨迹方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.
5．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．
(1)求动点C的轨迹方程C；
【答案】(1)
【分析】（1）设出点，根据已知列式得出点与点坐标的关系，即可根据点是圆上的动点，代入化简即可得出答案；
【详解】（1）设，，则，
则，，
，
，即，
点是圆上的动点，
，整理得，
则动点C的轨迹方程C为：.
6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为，，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；
【答案】(1)；
【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；
【详解】（1）设C（x，y），G（，），M（，），
因为M是△ABC的外心，所以
所以M在线段AB的中垂线上，所以，
因为，所以，
又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心，
所以，
所以，
又，
所以，
化简得，
所以顶点C的轨迹方程为；
题型四：点差法
1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解.
【详解】设，则，
由已知有，，
作差得，
则，
所以，解得，
则的方程为.
故选：D．
2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．
故选：A．
3．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】A
【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程.
【详解】解：设椭圆方程为，且
设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即，
所以，
又在椭圆上，可得：，两式相减得，
整理得：，则，所以，
又直线的斜率为，所以，即，所以
椭圆的焦距为，所以，则，
故可得：解得，故椭圆的标准方程为：.
故选：A.
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，由，利用点差法求解.
【详解】解：设，
则，两式相减得，
即，化简得，
又，解得，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据，，的关系得出，设出，两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出，再根据直线过点，求出，即可得出，进而求出，得出双曲线的标准方程.
【详解】解：设双曲线的标准方程为：，
由题意知：，
即①
设，，
的中点为，
，，
又，在双曲线上，
则 ，
两式作差得：，
即，
即，
又，
即，
解得：②，
由①②解得：，，
双曲线的标准方程为：.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.
6．（23-24高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程.
【详解】抛物线的焦点为，设点、，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，所以，，
设线段的中点为，则，，则，
所以，，化简可得.
因此，线段的中点的轨迹方程为.
故选：D.
三、专项训练
1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得.
【详解】设、，，
则有，，即，，
由题意可得，即，即.
故选：D.
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设点、、，由平面向量的坐标运算可得出，由正方形的面积公式可得出，将代入等式整理可得出点的轨迹方程.
【详解】设点、、，
由，
所以，，可得，
因为正方形的面积为，即，即，
整理可得，因此，动点的轨迹方程为.
故选：C.
3．（23-24高二上·广东佛山·期末）长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点、、，由已知条件可得出，分析可知，为的中点，可得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程.
【详解】设点、、，则，可得，
因为点关于点的对称点为，则为的中点，
所以，，可得，
将代入可得，即，
因此，点的轨迹方程为.
故选：C.
4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程.
【详解】设点，因为平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，
则，
当时，则有，即，
等式两边平方整理可得；
当时，则有，即，
等式两边平方可得.
综上所述，点的轨迹方程为或.
故选：D.
5．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解.
【详解】设的中点为，
因为，则，
因为点P在曲线上，
所以将代入曲线，
则，即，
所以的中点的轨迹方程是.
故选：C.
6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出中点，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.
【详解】如下图所示：

不妨设，则满足；
易知，
又线段的中点为，可得；
即，代入方程可得，
整理得.
故选：D
7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【答案】B
【分析】设直线方程，代入抛物线消去x，由和韦达定理，解得可得直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程.
【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：，
则，
设，则，
所以，故或，
当时，在直线上，故舍去，所以，
所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆（原点除外）上.
故选：B.
8．（23-24高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设出切线方程，设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后消去a求得x和y的关系式即可．
【详解】设切点为（a，b），∴，
则切线为：，即，当时也成立，
设焦点（x，y），由抛物线定义可得：
①，
②，
【答案】
【分析】设出动点和相关点，再根据条件，，再代入即可得出结果.
【详解】设动点的坐标，点P坐标，，
因为，所以，，
可得，，
代入，得，整理得，
所以动点Q的轨迹方程为．
故答案为：
12．（23-24高二上·全国·课后作业）设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是 .
【答案】
【分析】设，P（x0，y0），利用中点坐标公式得出，然后结合点在圆上即可求解.
【详解】圆可化为，
则，设，P（x0，y0），所以
整理得,即，
将点代入圆的方程得，
即为.
故答案为：.