2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题02直线与平面所成角(线面角)(含探索性问题)练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题02直线与平面所成角(线面角)(含探索性问题)练习(学生版+解析)，共58页。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31192" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc31192 \h 1
\l "_Tc198" 二、典型题型 PAGEREF _Tc198 \h 2
\l "_Tc29189" 题型一：求线面角 PAGEREF _Tc29189 \h 2
\l "_Tc30047" 题型二：已知线面角求参数 PAGEREF _Tc30047 \h 4
\l "_Tc27262" 题型三：求线面角最值（范围） PAGEREF _Tc27262 \h 7
\l "_Tc16460" 三、专项训练 PAGEREF _Tc16460 \h 8
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、向量法
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，.
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是 ．
2．（23-24高二上·江西赣州·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为 ．
3．（23-24高二上·北京·期末）在空间直角坐标系中，若直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成角的正弦值等于 .
4．（23-24高二上·四川成都·期末）正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为 ．
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.
6．（2024·全国·模拟预测）如图所示，棱锥中，平面，，，，，，为中点，．
(1)证明：B，C，M，N四点共面；
(2)求直线AC与平面所成线面角的正弦值．
题型二：已知线面角求参数
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 .
2．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ．
3．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .

4．（2024·山西晋城·二模）如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．
(1)若，求证：平面；
(2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长．
5．（2024·辽宁·二模）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
(1)求证：；
(2)在图中作出点到底面的距离，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
7．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
题型三：求线面角最值（范围）
1．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的余弦值的最小值为 ．
2．（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
3．（23-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l．若，Q为l上的点，则PB与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
5．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时， .
6．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的范围是 ．
三、专项训练
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 ．
2．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 .
3．（23-24高二上·上海·期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 .
4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为 ；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ．
5．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
6．（23-24高二上·福建福州·期中）在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 .
7．（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接．
(1)求证：平面；
(2)设，求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求与平面所成角的正弦值．
9．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是．
(1)求到平面的距离．
(2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在说明理由．
12．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点.

(1)证明：；
(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为.
13．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．
14．（2024·北京平谷·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N为线段AC上的动点；
(1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
专题02 直线与平面所成角（线面角)（含探索性问题）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc31192" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc31192 \h 1
\l "_Tc198" 二、典型题型 PAGEREF _Tc198 \h 2
\l "_Tc29189" 题型一：求线面角 PAGEREF _Tc29189 \h 2
\l "_Tc30047" 题型二：已知线面角求参数 PAGEREF _Tc30047 \h 8
\l "_Tc27262" 题型三：求线面角最值（范围） PAGEREF _Tc27262 \h 18
\l "_Tc16460" 三、专项训练 PAGEREF _Tc16460 \h 26
一、必备秘籍
1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.
2、直线和平面所成角：（有三种情况）
（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；
（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；
（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.
结论：直线与平面所成角的范围为.
3、向量法
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，.
二、典型题型
题型一：求线面角
1．（2024·全国·模拟预测）在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是 ．
【答案】
【分析】设，结合等积法，可求出当的体积最小时，，分别是所在棱的中点；法一，根据，可求出点到平面的距离为，结合直线与平面所成角的集合法即可求解；法二，建立空间直角坐标系，应用向量法求解.
【详解】设，则
．
由等体积法，得
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当的体积最小时，，分别是所在棱的中点．
方法一 易知，，．由余弦定理，得
，所以，
所以．
设点到平面的距离为．根据，
得，解得．
所以与平面所成角的正弦值为．
方法二 以点为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则即令，得，，
则．设与平面所成的角为，
则．
故答案为：
2．（23-24高二上·江西赣州·期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为 ．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解.
【详解】由题意知，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，,,,,,,,
设平面的法向量为，
，即，取
设直线PC与平面BDE所成角为
.
故答案为：.
3．（23-24高二上·北京·期末）在空间直角坐标系中，若直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成角的正弦值等于 .
【答案】/
【分析】利用空间向量的坐标求出直线与平面法向量夹角的余弦值，即可得到直线与平面所成角的正弦值.
【详解】直线与平面所成角的正弦值即直线与平面法向量夹角的余弦值的绝对值．
设直线与平面所成的角为，则：
所以.
故答案为：.
4．（23-24高二上·四川成都·期末）正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】根据空间向量法求线面角，即可求解.
【详解】以D为原点建系如下，

则，，，，，
得，设，，，
则，
因为，所以，解得，，
设平面AB1C的一个法向量为，
则，令，得，所以，
则，
所以直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为.
故答案为：．
5．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知多面体的底面为正方形，四边形是平行四边形，，，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）设，连接，根据题意可得∥，∥，可证平面∥平面，再利用面面平行的性质分析证明；
（2）取的中点，连接，可证平面，平面，建系，利用空间向量求线面夹角.
【详解】（1）设，连接，
因为为正方形，则为的中点，
又因为是的中点，则∥，
且平面，平面，所以∥平面，
由题意可知：四边形是平行四边形，∥，
且平面，平面，所以∥平面，
且，平面，可得平面∥平面，
由平面，可得∥平面.
（2）由题意可知：，且，平面，
可得平面，
取的中点，连接，
可知分别为的中点，可得∥，所以平面，
由平面，可得，
又因为是等边三角形，可得，
且，平面，可得平面，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，
可得，
且，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
6．（2024·全国·模拟预测）如图所示，棱锥中，平面，，，，，，为中点，．
(1)证明：B，C，M，N四点共面；
(2)求直线AC与平面所成线面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出点和向量的坐标，找到与的交点即可证明四点共面；
（2）建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用向量夹角的余弦值可以得到直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设与轴交于，与轴交于，
由与共线，与共线，可得．
所以直线与直线相交，则B，C，M，N四点共面．
（2），，设平面的法向量为，
则即，故，
又，所以，
故直线与平面所成线面角正弦值为．
题型二：已知线面角求参数
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成角的正弦值为，则的长为 .
【答案】2
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的正弦值为，即可求得答案.
【详解】由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形，
以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，设，
则，
设平面的一个法向量为，则，
令，得，设直线与平面所成的角为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，即，
所以，
即，解得或（舍去），所以，
故的长为2.
故答案为：2
2．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）如图，四棱锥的底面是梯形，平面，，，，，为线段上一个动点，且，若与平面所成的角为，则 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面夹角，从而求解.
【详解】连接，因为：，，，在中，由余弦定理得：
，
即有：，所以：，
以点为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以：，，，，
因为：，且，，
设平面的一个法向量为：，
则：，令：，得：，
所以得：，解得：.
故答案为：.
3．（23-24高二上·辽宁大连·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则 .

【答案】/
【分析】根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.
【详解】过点作，交于点，由，为中点，得，
又，且，平面，则平面，
而平面，有，又是矩形，则两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：

由，，为中点，得，为的中点，
则点，，，，，
，,，，
令，，
设平面法向量为，则，令，得，
由与平面所成角的正弦值为，得，
解得，所以.
故答案为：
4．（2024·山西晋城·二模）如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．
(1)若，求证：平面；
(2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)或
【分析】（1）根据题意可证平面，建系，利用空间向量证明线面平行；
（2）设，求平面的法向量，结合线面夹角的向量运算分析求的值，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：，，平面，
可得平面，
且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设，
则，
若，则，，
由题意可知：平面的法向量，
因为，且平面，
所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理得，解得或，
所以或，即线段BF的长为或.
5．（2024·辽宁·二模）如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形．
(1)求证：；
(2)在图中作出点到底面的距离，并说明理由；
(3)在线段上是否存在一点，使与平面成角？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)图象见解析，理由见解析
(3)存在，且点在的位置
【分析】（1）取中点，连接，证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）作于点，证明平面，再求出的长度，进而可求出点的位置，即可得解；
（3）结合（2）中所得可建立适当空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得.
【详解】（1）如图所示，取中点，连接，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以；
（2）作于点，
因为平面，平面，
所以，
因为，且平面，所以平面，
在中，，，
则，所以，故，
因为，所以，
故，
在中，，
所以为钝角，所以点在延长线上，
在中，，故，
所以，
所以，所以垂足与构成一个正方形，
故线段即为点到底面的距离；
（3）由（2）可知平面，且底面为正方形，
故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则有，，，，，
则，，，
令，则，
令平面的法向量为，
则有，即，
可取，则，即，
则，
整理得，即，由，故，
则，
即存在点，且点在的位置.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
6．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为的中点，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，或
【分析】（1）设的中点为，根据题意证得和，证得平面，进而证得平面平面.
（2）以所在的直线为轴和轴，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解.
【详解】（1）设的中点为，因为，所以，
因为，所以，所以三点共线，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）以所在的直线为轴和轴，过点作平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
因为为的中点，所以，
设，所以，
所以，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
即当或时，直线与平面所成角的正弦值为.
7．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点分别是棱，的中点，点是线段上一点.

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若直线与平面所成的角的正弦值为，求此时的长度.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明即可；
（2）求平面的法向量，利用向量法求夹角余弦即可；
（3）利用线面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面，
所以以点为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
又因为，则，即，
由平面，所以平面.
（2）设平面与平面的夹角为，
平面的法向量，平面的法向量,
所以，，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）设长度为，，
设直线与平面所成角为，
因为，
，
解得，此时的长度为.
题型三：求线面角最值（范围）
1．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的余弦值的最小值为 ．
【答案】
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.
【详解】连接，过作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形中，因为，
故，则，
则，，故点；
又，设点，由，则可得；
，
设平面的法向量，
则，即，取，则，
故平面的法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则
因为，且，故令，
则
又，故，，也即，
故的最大值为，又，故的最小值为.
即直线与平面所成角的余弦值的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题用向量法处理线面角的求解，结合问题的关键一是，能够准确求得的坐标，二是能够根据，求得的范围；属综合困难题.
2．（23-24高三下·全国·阶段练习）如图，在中，，在直角梯形中，，，记二面角的大小为，若，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，可知为二面角的平面角，设出点的坐标，由线面角的空间向量法求解最值.
【详解】如图，以和过点垂直于平面的直线建立空间直角坐标系，
则
由，，可知为二面角的平面角，
又，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
其中，，
当且仅当，即时，取得最大值,
则的最大值为.
故答案为：
【点睛】思路点睛：根据题意设出点的坐标，从而由空间向量法表示出线面角的正弦值，利用基本不等式求解最值.
3．（23-24高二上·江西南昌·期末）在棱长为2的正方体中，在线段上运动，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
【答案】
【分析】以为正交基地，建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦，然后利用二次函数的性质求范围.
【详解】以为正交基地，建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
设面的法向量为，
则，取得，
设直线与平面所成角为，
则，
当时，，则.
故答案为：.
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为l．若，Q为l上的点，则PB与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，向量法求与平面所成角的正弦值，利用基本不等式求最大值.
【详解】因为两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，则，
为正方形，有，
平面，平面，则平面，
平面平面，，
平面，则，即，
设，则有，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量为，
则，
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于，
当时，，
当时，
，
当且仅当且，即时取等号，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
故答案为：.
5．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）在长方体中，，线段有一动点，过作平行于的平面交与点.当直线与平面所成角最大时， .
【答案】/
【分析】设，建立空间直角坐标系，设，即可表示、的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】设，以为原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，
则，，
因为平面，又平面，平面，
平面与平面相交于，所以，又平面，
所以平面，
依题意点不在、点，设，即，
所以，则，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
此时，
所以当时，有最小值，有最大值1，
此时，所以.
故答案为：
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
6．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）在正方体中，为线段的中点，点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的范围是 ．
【答案】
【分析】
以为原点，建立空间直角坐标系，设，向量法求线面角的正弦值，利用函数思想求取值范围．
【详解】设正方体边长为2，以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，．
因点在线段上，设，．
则，，，，
，．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，得．
设与平面所成角为，
则．
注意到，
由，则当时，有最小值2；当或时，有最大值3，
则有，，
所以的取值范围为．
故答案为：.
三、专项训练
1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）正三棱柱中，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 ．
【答案】/
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角正弦值，即可求得结论．
【详解】
如图，正三棱柱中，取中点，连接，
则，则平面，不妨设，
以为坐标原点，以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
于是，则，
，
取平面ABC的一个法向量为，
设直线PN与平面ABC所成的角为，
，
当时，，此时角最大．
故答案为：．
2．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 .
【答案】
【分析】设，易知点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量，设则，记直线与平面所成角为，则，令，利用换元法可得，又，则的最大值为，由此即可求出答案.
【详解】点作与点，过点作与点，
设，则，
又，则，
则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上，
如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标，则平面的法向量为：，
，
设，
则，
记直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以，
令，则，
则，，
又，在上单调递减.在上单调递增，
则，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
又，
所以直线与平面所成角的最大值为，
此时.
故答案为：
3．（23-24高二上·上海·期末）已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的正弦值为 .
【答案】/
【分析】
根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）如图，正方体的棱长为2，P是过顶点的圆上的一点，为的中点．当直线与平面所成的角最大时，点的坐标为 ；直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合图形可得出，点在过圆心且垂直与平面的直线与圆的交点位置时，直线与平面所成的角最大．再利用空间向量求解，即可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【详解】过点作平面，交于点，于点,易得，,
所以．
由图可知当点在点或点的位置时，直线与平面所成的角最大．
易得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
当平面时，直线与平面所成角的正弦值最小为0，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是．
故答案为：；.
5．（23-24高二上·四川成都·期中）如图，在中，，过中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为 .
【答案】
【分析】
首先根据正余弦定理求解三角形，再以点为原点，建立空间直角坐标系，并求出点的轨迹方程，并利用，求得点的坐标的范围，相结合后，即可求解线面角正弦值的取值范围.
【详解】，得，即，
中，根据余弦定理，，
根据正弦定理，，得
如图，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点,,
设点，翻折后点的投影在轴上，所以的纵坐标为0，即，，
由，根据两点间距离公式，，
整理为
如右图，在翻折过程中，作于点，则，
并且，平面，
所以平面，平面,
所以，即，其中，
又动点在线段上动，设，故，且，
由，得，，
又因为，对应的的取值为，即,
.
则斜线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量解决角的问题，关键1，求点的轨迹，关键2，根据几何关系可得，根据坐标运算，即可求解.
6．（23-24高二上·福建福州·期中）在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 .
【答案】/
【分析】
构建空间直角坐标系，令且，故，应用向量法用表示出线面角的正弦值，即可求最值.
【详解】若正方体的棱长为1，构建如下图示的空间直角坐标系，则，
所以，令且，故，
由，故，
令面的法向量为，则，令，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
当时，正弦值的最大值为.
故答案为：
7．（23-24高三下·江西·阶段练习）如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，平面平面分别为的中点，且在棱上，且满足，连接．
(1)求证：平面；
(2)设，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；
（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接，如图所示．
在中，因为分别为的中点，，
所以为的重心，所以，
又，所以，
又平面平面，所以平面．
（2）连接，因为为等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，
所以．
设平面的法向量，
则令，解得，
所以平面的一个法向量，
．
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
8．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到到平面的距离为，进而由锥体体积公式求出答案；
（2）证明出，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.
【详解】（1）如图所示，取的中点，连接．
因为是正三角形，所以．
又因为平面底面平面，平面平面，
所以平面，且．
又因为是的中点，到平面的距离为，
，
所以三棱锥的体积为．
（2）连接，因为，
所以为等边三角形，所以，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，解得，取，则，
所以．
设与平面所成角为，
则．
即与平面所成角的正弦值为．
9．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，侧面是正方形，二面角的大小是．
(1)求到平面的距离．
(2)线段上是否存在一个点D，使直线与平面所成角为？若存在，求出的长；若不存在说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，
【分析】（1）记的中点分别为，作于点，先证平面平面，然后计算可得；
（2）以的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）记的中点分别为，
由是正方形可知，
又，所以，
因为二面角的大小是，所以，
由三棱柱性质可知，，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
作于点，
因为，平面平面，平面，
所以平面，所以即为所求，
所以.
（2）以的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
易知，，
则，
则，
设，
则，
设为平面的法向量，
则，取，得，
记直线与平面所成角为，
则
，
当，即时，取得最小值4，
故，
所以，当时，直线与平面所成角为.
此时，
所以.
10．（2024·天津河东·一模）在正方体中（如图所示），边长为2，连接

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)底面正方形的内切圆上是否存在点使得与平面所成角的正弦值为，若存在求长度，若不存在说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，3.
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，得到平行关系；
（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；
（3）设，且，利用线面角的正弦值得到方程，求出或，求出.
【详解】（1）
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则．
平面的法向量为，
，令，则，
，
平面；
（2）
平面的法向量为，
，令，则，
平面与平面夹角为，
；
（3）
设，且，
与平面所成角为，
，
即，
解得或，故或，
所以.
11．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，E为棱的中点．
(1)若与平面所成的角为，求证：平面；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）证明和，根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，设，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间向量的向量求法结合平面与平面夹角的余弦值，即可求得答案.
【详解】（1）由于平面，平面，故，
四边形为矩形，故，而平面，
故平面，平面，则，
又平面，则即为与平面所成的角，且平面，
则，与平面所成的角为，故，
故为等腰直角三角形，E为棱的中点，故，
而平面，
故平面；
（2）以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的一个法向量为，则，
令，则；
设平面的一个法向量为，则，
令，则；
由于平面与平面夹角的余弦值为，
故，解得，
故.
12．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图2所示，设N为的中点.

(1)证明：；
(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的余弦值为.
【答案】(1)证明见解析
(2)或.
【分析】（1）先证明平面，然后根据线面垂直的性质定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，表示M点坐标，求出平面ADE的法向量，根据空间角的向量求法，列方程，即可求得答案.
【详解】（1）证明：由图1知：是直角梯形，C、D分别为的中点，则，
故图2中，，，且平面BCF，
∴平面，即是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，且N是的中点，故，
又平面，平面，可得，
而，BC，平面，∴平面，
而平面，∴.
（2）因为平面，过点N作的平行线，平面，
故，又，
所以以点N为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

图1中，是直角梯形，，，，，，
可得；
则空间直角坐标系中，，，，，
设，∴，，
，，
由于，则，∴，.
∴，∴，
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，大于等于小于等于，
由于直线BM与平面ADE所成角的余弦值为，
故直线BM与平面ADE所成角的正弦值为，
∴，
∴，∴或，适合题意，
故或.
13．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用面面平行的判定定理证得平面平面，从而得证；
（2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得满足题意时的坐标，从而利用空间向量法求得点面距离，由此得解.
【详解】（1）依题意，所以，
所以、是等边三角形，
所以，所以四边形是菱形，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于是的中点，是的中点，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）设的中点为，连接，则，
由于四边形是菱形，所以，则，
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，又平面，则，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
(1)若直线平面BCM，求证：N为线段AC的中点；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点N作交BC于点Q，连接QM，得，进而利用直线与平面平行的性质定理可得，从而可证是平行四边形，则由是的中点可得N为线段AC的中点；
（2）先建立空间直角坐标系，再求得平面的法向量，设，则，进而利用向量法表示线面角，列方程求得，从而即可得到的长.
【详解】（1）在中，过点N作交BC于点Q，连接QM，如图：

因为，所以，
所以，N，Q，M四点共面．
因为直线平面，平面，平面平面，
所以．所以四边形是平行四边形．
所．所以为的中点．
（2）因为侧面为正方形，所以，
又因平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，，
又因为正方形，，以B为原点，BA，，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图：

因为，
所以，，，，，，
所以，．
设平面的一个法向量为，
由得即．
取，得．
设，，则，
因为，所以．
所以，，，所以N点坐标为．
因为，所以
设直线与平面所成角为，
则，
解得 ，
所以，即线段的长为．