2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题06解三角形(周长(边长)问题(含定值，最值，范围问题))练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题06解三角形(周长(边长)问题(含定值，最值，范围问题))练习(学生版+解析)，共63页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3400" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3400 \h 1
\l "_Tc30640" 二、典型题型 PAGEREF _Tc30640 \h 2
\l "_Tc15599" 题型一：定值问题（周长） PAGEREF _Tc15599 \h 2
\l "_Tc31680" 题型二：定值问题（边长代数和） PAGEREF _Tc31680 \h 3
\l "_Tc32725" 题型三：最值问题（周长） PAGEREF _Tc32725 \h 4
\l "_Tc11629" 题型四：最值问题（边长代数和） PAGEREF _Tc11629 \h 5
\l "_Tc17615" 题型五：范围问题（周长） PAGEREF _Tc17615 \h 6
\l "_Tc29981" 题型六：范围问题（边长代数和） PAGEREF _Tc29981 \h 8
\l "_Tc15362" 题型七：范围问题（锐角三角形问题） PAGEREF _Tc15362 \h 10
\l "_Tc28241" 三、专项训练 PAGEREF _Tc28241 \h 11
一、必备秘籍
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
二、典型题型
题型一：定值问题（周长）
1．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A﹔
(2)若的面积为，求的周长.
2．（23-24高一下·河北沧州·期中）的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
3．（2024·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)若，求a；
(2)若的面积为，求的周长．
题型二：定值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求B的值；
(2)若，，BD为的平分线，BE为中线，求的值.
2．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若，，求．
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.
题型三：最值问题（周长）
1．（23-24高一下·江苏南京·期中）在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分）
①；②；③向量，，.
在中，内角，，的对边分别为，，，且___________.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且．
(1)求角C的大小；
(2)D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值．
3．（2024高三下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)设，求周长的最大值．
4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，已知，
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
题型四：最值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）记的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
题型五：范围问题（周长）
1．（2024·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
①记的面积为S，且；②已知．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
2．（2024·宁夏银川·二模）已知平面四边形中，.
(1)若，求；
(2)若的面积为，求四边形周长的取值范围.
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
4．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在中，，求周长的取值范围.
题型六：范围问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
2．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）在锐角中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范围．
3．（2024·河北衡水·一模）在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
4．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
5．（23-24高三下·河北·阶段练习）记△的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的范围.
6．（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)若，求；
(2)求的取值范围.
题型七：范围问题（锐角三角形问题）
1．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
(1)求的大小．
(2)若的面积为，求的取值范围．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且．
(1)求证：；
(2)已知点在线段上，且，求的取值范围．
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
4．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
5．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
三、专项训练
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，，则 ；若，则的取值范围是 .
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为 .
3．（2024·四川绵阳·一模）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
4．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设函数，在中，，则周长的最大值为 .
5．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，的平分线交AC于点D，，则周长的最小值为 ．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若且，则的周长的取值范围为 .
7．（22-23高一下·江苏连云港·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
8．（2024高三·江苏·专题练习）已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知分别为三个内角的对边，，且，则周长的取值范围为 ．
10．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为 .
11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______.
(1)求角；
(2)若为的平分线，且与交于点，求的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
15．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知．
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．
16．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围．
17．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
18．（2011高一·全国·竞赛）在中，角所对的边分别为，且.
(1)判断的形状，并加以证明；
(2)当时，求周长的最大值.
19．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
(1)；
(2)周长的取值范围.
20．（2023·四川成都·一模）已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围.
专题06 解三角形（周长（边长）问题
（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3400" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3400 \h 1
\l "_Tc30640" 二、典型题型 PAGEREF _Tc30640 \h 1
\l "_Tc15599" 题型一：定值问题（周长） PAGEREF _Tc15599 \h 1
\l "_Tc31680" 题型二：定值问题（边长代数和） PAGEREF _Tc31680 \h 3
\l "_Tc32725" 题型三：最值问题（周长） PAGEREF _Tc32725 \h 6
\l "_Tc11629" 题型四：最值问题（边长代数和） PAGEREF _Tc11629 \h 9
\l "_Tc17615" 题型五：范围问题（周长） PAGEREF _Tc17615 \h 12
\l "_Tc29981" 题型六：范围问题（边长代数和） PAGEREF _Tc29981 \h 18
\l "_Tc15362" 题型七：范围问题（锐角三角形问题） PAGEREF _Tc15362 \h 25
\l "_Tc28241" 三、专项训练 PAGEREF _Tc28241 \h 31
一、必备秘籍
核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）
利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）
利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
二、典型题型
题型一：定值问题（周长）
1．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A﹔
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦公式求解作答.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式、余弦定理求出即可作答.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得：，
而，
于是，
又C为三角形内角，有，解得，所以，
（2）依题意，，
由余弦定理得，，
即，
所以的周长
2．（23-24高一下·河北沧州·期中）的内角，，的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理边化角求解即得.
（2）利用三角形面积公式求出，再余弦定理列方程求解即得.
【详解】（1）依题意，，
在中，由正弦定理得，
因此，而，则，又，
所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由余弦定理得，
而，则，解得，，
所以的周长为.
3．（2024·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)若，求a；
(2)若的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求得B，然后由余弦定理即可求解；
（2）利用面积公式和余弦定理列方程组可解得，然后可得周长.
【详解】（1）由，，
可得．
由正弦定理可得，
又，故，
由可得．
由余弦定理可得，
即，得．
（2）由的面积为可得，故，
由余弦定理可得，
即，故，
所以的周长为
题型二：定值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求B的值；
(2)若，，BD为的平分线，BE为中线，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简已知等式，可得，即可求得，可得答案；
（2）利用三角形面积公式求出c的值，再结合，即可求得，利用，结合模的计算求出，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知中，，
即
即，即，
而，故；
（2）由于，，故，
又BD为的平分线，且，
即，
又BE为中线，故，
故，
故.
2．（2024·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)；
(2)20.
【分析】（1）由三角形的面积公式和正弦定理求解即可.
（2）由同角三角函数的基本关系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
由，得，
由正弦定理可知，，
由，得，即
（或
由正弦定理可知：，
因为，所以.）
（2）由，可知角为锐角，
所以，得，，
因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
得
3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为1，边上的高为，求的值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换即可得解；
（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面积公式求得，从而利用整体法，结合余弦定理即可得解.
【详解】（1），
即，即，
所以，又，则.
（2）由外接圆的半径为1，得，，
边上的高为，所以，
则，所以，
，，即，
故.
题型三：最值问题（周长）
1．（23-24高一下·江苏南京·期中）在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答计分）
①；②；③向量，，.
在中，内角，，的对边分别为，，，且___________.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：用正弦定理化简求解即可；选②：用两角和与差的正弦公式化简求解；选③：用向量垂直的坐标表示和余弦定理求解即可；
（2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）若选①：，
由正弦定理得，又，
所以，又，所以，即，
又，所以；
若选②：因为，所以，
所以，所以，因为，
所以，所以，所以；
若选③：因为向量，，，
所以，化简得，
所以，又，所以；
（2）由余弦定理得，
所以，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即周长的最大值为.
2．（23-24高一下·江苏南通·期中）已知在中，所对的边分别为a，b，c，，且．
(1)求角C的大小；
(2)D为AB中点，若的面积等于，求的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）先利用向量平行的坐标公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解；
（2）先根据面积关系求出，然后利用基本不等式求出的最小值，再利用余弦定理求出的最小值，则的周长的最小值可求.
【详解】（1），
，
由正弦定理得，
，
，
；
（2）依题意，即，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
，当且仅当时取等号，
所以的周长最小值为6．
3．（2024高三下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求A；
(2)设，求周长的最大值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将原等式转化为角的正弦的齐次式，再利用正、余弦定理求出角A的余弦值即得.
（2）利用（1）的信息，结合基本不等式求解即得.
【详解】（1）在中，由，
得，即，
由正弦定理得，由余弦定理得，又，
所以.
（2）由（1）知，，，又，
则，
于是，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为.
4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，已知，
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可求得结果；
（2）根据余弦定理与基本不等式即可求得结果.
【详解】（1）在中，由正弦定理可知可化为，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以.
（2）由余弦定理，
即有，
，
所以，当且仅当时取等号；
又，所以周长的最大值为.
题型四：最值问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）记的内角的对边分别为，，，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用三角恒等变换整理可得，即可得结果；
（2）由（1）可知，分析可得，，根据正弦定理边化角，利用三角恒等变换结合基本不等式分析求解.
【详解】（1）因为，
可得，
且，所以．
（2）由（1）可知，，则，，
因为，且，
可得，则，
所以．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记的角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，所以；
（2）由正弦定理：，
，
则，
又因为代入得：
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为3．
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若的中线，求的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）.
.
（2）为中线结果.
【详解】（1）由题可得，，结合正弦定理可得，
因为，所以，得，
因为，所以．
（2）易知，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得，得．
法一：可化为，
因为，所以，
所以，得，
当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以的最大值是4．
法二：，
令
则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以的最大值为4．
题型五：范围问题（周长）
1．（2024·陕西汉中·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从下列条件中选择一个条件作答：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．）
①记的面积为S，且；②已知．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）选①，利用数量积的定义及三角形面积公式求解；选②，利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦化简即得.
（2）利用正弦定理化为角B的函数，再利用三角恒等变换及正弦函数性质求出范围.
【详解】（1）选条件①，由，得，整理得，而，
所以.
选条件②，由及正弦定理，得，
而，则，整理得，而，
所以.
（2）由（1）知，由正弦定理得，
因此
由为锐角三角形，得，解得，因此，
则，于是，，
所以周长的取值范围是.
2．（2024·宁夏银川·二模）已知平面四边形中，.
(1)若，求；
(2)若的面积为，求四边形周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别在和中利用余弦定理求出，再利用列方程求解；
（2）先利用面积公式和余弦定理求出，然后在中利用余弦定理及基本不等式可得的范围，进而可得四边形周长的取值范围.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，
所以，
即，
解得.
（2）由已知，得，
在中，，由余弦定理得
，则，

设，在中，由余弦定理得
，
则，得，
所以，当且仅当时取等号，
又，
所以四边形周长的取值范围为.
3．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据A的范围，即可得出答案；
（2）根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案.
【详解】（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得，
整理可得，所以.
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，，
记的周长为，则，
由，，得，
所以.
又，所以，则，故
4．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范围，进而可求的周长的最大值；法二：利用正弦定理，将周长化为角A的函数求出范围即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，即．
由余弦定理得.
又，所以．
（2）方法一：因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为．
由正弦定理得，则．
由余弦定理得．
因为，所以，即，
由三角形性质知，
当且仅当时，等号成立．
所以，故△周长的取值范围为．
方法二：因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为． 
由正弦定理得，则．



∵
∴ ，∴
故△周长的取值范围为．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期与图象的对称中心；
(2)在中，，求周长的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解；
（2）由结合正弦定理得到外接圆的半径，从而有周长，再利用正弦函数的性质求解.
【详解】（1）解：由题意得，
，
所以的最小正周期；
令，则，
故图象的对称中心为.
（2）由，得，
又，所以，
所以，则，则.
设的内角所对的边分别为，
由正弦定理得，
，，
则周长，
，
因为，所以，
故，因此.
题型六：范围问题（边长代数和）
1．（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解；
（2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解.
【详解】（1）
根据正弦定理，由
，
即.
是锐角三角形，
，，
因此有
（2）是锐角三角形，，而，
由正弦定理，得，
则，
而
所以，
因此的取值范围为.
2．（23-24高一下·浙江丽水·阶段练习）在锐角中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角C的大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理边角互化，进而求出角C.
（2）应用余弦定理，化简，利用正弦定理结合三角函数求出范围.
【详解】（1）由余弦定理，及正弦定理得
．
所以，又，
所以
所以
（2）
因为，
在锐角中，,解得，
所以，所以，
由对勾函数的性质可得，所以.
3．（2024·河北衡水·一模）在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可；
（2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】（1），
，即，
由正弦定理得，，
，
，
，，
由，得.
（2）由（1）知，，
因为，所以，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，，
，
，,
，
，，，
所以的取值范围为.

4．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）在锐角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再借助三角函数和差角公式化简可解；
（2）利用正弦定理边化角，再借助辅助角公式化简求范围.
【详解】（1）由题意，根据正弦定理可得，
则，展开可得，
.
（2）由正弦定理，
则
，其中，
是锐角三角形，，.
，，
显然，当时，，
.
5．（23-24高三下·河北·阶段练习）记△的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变形求；
（2）利用正弦定理将的范围转化为三角函数的值域求解.
【详解】（1）由正弦定理得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，
所以，所以.
（2）因为，则，
因为,
所以.
所以.
因为.所以.所以，
所以.
6．（2023·浙江·模拟预测）已知中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)若，求；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一：根据题意，由正弦定理得到，再由余弦定理得到，联立方程组得到，再由余弦定理求得，即可求解；
解法二：根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由（1）得到，求得，结合三角形的边的关系，得到，设，得出函数，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解法一：因为，由正弦定理得，
可得，即，
又因为，由余弦定理得，即，
联立方程组，可得，即，所以，
由余弦定理定理得，
因为，所以.
解法二：因为，由正弦定理得，
整理得，
又因为，可得，所以，
即，可得，即，
因为，所以，所以，所以.
（2）由（1）知，可得，且，
所以，
由三角形三边关系，可得，可得，
令，可得，其中，
所以函数，
所以，所以的取值范围是.
题型七：范围问题（锐角三角形问题）
1．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角的对边分别为，已知．
(1)求的大小．
(2)若的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）切化弦后角化边可得，结合余弦定理可得，可求得；
（2）由面积可得，结合A的范围以及三角恒等变换可得的取值范围.
【详解】（1）由已知条件可知，
则由正弦定理，得．
整理，得．由余弦定理知，
则，所以．
又，所以．
（2）由（1）可知，，则．
因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，所以．
因为的面积为，所以，
所以．易知
．
又，所以，则，
所以，
所以．因为，所以，
故的取值范围为．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且．
(1)求证：；
(2)已知点在线段上，且，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；
（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.
【详解】（1）因为，
即，由正弦定理可得，
又，即，所以，整理得，
由余弦定理得，整理得，
由正弦定理得，
故，
即，
整理得，
又因为为锐角三角形，则，可得，
所以，即.
（2）因为点在线段上，且，即平分，
又，所以，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
因为为锐角三角形，且，所以，解得.
故，所以.
因此线段长度的取值范围.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)证明：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形内角和的关系计算即可得；
（2）借助正弦定理将边化为角后，借助三角函数的值域计算即可得.
【详解】（1）证明：由，
得，
即，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，故，
又，故，由，
故；
（2）由正弦定理可得：
，
又锐角中，有，，解得，
即，即，
故.
4．（23-24高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的值，即可求出角；
（2）法一：根据正弦定理可得，根据三角恒等变换化简可得，再根据的范围求解即可；法二：过点作，垂足为，根据直角三角形性质结合图形分析求解.
【详解】（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因为为锐角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
则
，
当时，，则．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周长的取值范围是．
法二：（数形结合）过点作，垂足为，
在直线上取一点，使，则与均为直角三角形．
为锐角三角形，
点在线段上（不含端点）．
在中，，易得，
，周长为；
在中，，易得，周长为，
所以周长的范围是．
5．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知在锐角三角形中，边，，对应角，向量，，且与垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过，利用三角恒等变形公式计算即可；
（2）利用正弦定理，将用角表示出来，然后利用的范围求的取值范围．
【详解】（1）因为与垂直，
所以，
即，
即，
即，
即，又，所以，
所以，即；
（2）由正弦定理得
，
根据三角形是锐角三角形得，
解得，则，所以，
所以，则，
则的取值范围为.
三、专项训练
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，，则 ；若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据正弦定理将条件转化为边的关系，利用余弦定理求角，结合正弦定理，内角和定理将表示为的函数，结合正弦函数的性质求其范围.
【详解】因为，
所以；
由正弦定理得，
所以，又，
所以，
，
由正弦定理可得，（为的外接圆的半径），
由正弦定理得，
所以
，
由已知，所以，则，
所以，
故答案为：；.
2．（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）已知的外接圆的半径为，的长为周长的最大值为 .
【答案】21
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求解即得.
【详解】由的外接圆的半径为且，得，
而，则或，由余弦定理得，
当时，
，当且仅当时取等号，
因此当时，，的周长最大值为21；
当时，
，当且仅当时取等号，
因此当时，，的周长最大值为，
而，所以的周长最大值为21.
故答案为：21
3．（2024·四川绵阳·一模）中，角、、的对边分别为a、b、c，若，则的周长为 ．
【答案】
【分析】先利用两角差的正弦公式、正弦定理和余弦定理对题目条件进行化简得出：；再结合和余弦定理得出的值即可求解.
【详解】因为，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因为，
所以，整理得：，
则，
所以，
故答案为：.
4．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）设函数，在中，，则周长的最大值为 .
【答案】
【分析】
由，化简得到，再利用正弦定理和辅助角公式，得到，即可求解.
【详解】
由函数，因为，
可得，
整理得，
即，
即，
因为，可得，
所以，且，
由正弦定理，得，
当且仅当时取等，因此周长的最大值为.
故答案为：.
5．（23-24高一下·广东广州·阶段练习）在中，的平分线交AC于点D，，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值.
【详解】根据题意，设，，
因为，，，，
所以，即，
所以，
因为根据基本不等式有，
所以，，当且仅当时等号成立，
由余弦定理得
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
所以周长的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
6．（2024高三·全国·专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，若且，则的周长的取值范围为 .
【答案】
【分析】由余弦定理结合基本不等式可得，再由三角形三边关系可得，可得，进一步可得周长的取值范围.
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，此时，
由三角形三边关系可得，所以，
则，
所以的周长的取值范围为.
故答案为：.
7．（22-23高一下·江苏连云港·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果．
【详解】因为，则，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又为锐角三角形，故可得，
解得，则，
由于，在上单调递增，
当当，
故，
即．
故答案为：．
8．（2024高三·江苏·专题练习）已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，若为锐角三角形，，则周长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理化边为角，由题设化简求出，再利用正弦定理，将边用角的三角函数表示，利用三角恒等变换将周长表达式整理成正弦型函数，借助于角的范围和三角函数的值域即可求得.
【详解】因，
由正弦定理得，
中，，所以，得，即，
∵，则， ∴，∴.
为锐角三角形，，，
由正弦定理得，
∴，，，
周长
，
∵为锐角三角形， ∴，
∴， ∴， ∴，
∴，即周长的取值范围为.
故答案为：.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知分别为三个内角的对边，，且，则周长的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理结合基本不等式求出，再结合三角形中两边之和大于第三边得解.
【详解】因为，，
由余弦定理得，
当且仅当时等号成立．
∴，∴，
又因为，所以，
即周长取值范围为.
故答案为：.
10．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为 .
【答案】
【分析】根据向量模长公式即可，结合基本不等式即可求解，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.
【详解】由于为边中点,所以,平方,
因此,
由于，所以，当且仅当时等号成立，
故，
由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，
,
由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，
由可得，故面积的最大值为，
故答案为：
11．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：在中，内角所对的边分别为，已知，且选择条件______.
(1)求角；
(2)若为的平分线，且与交于点，求的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，结合正弦定理或者余弦定理进行边角转换，由三角形内角和为及和差公式化简等式，再根据角的范围及函数值，即可求得A；若选②，根据平方关系及诱导公式得到，再利用正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理将边化角，即可得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.
【详解】（1）若选①，
则，
又因为，所以，即，
所以，又因为，所以，
所以，解得；
若选②，
则，
由正弦定理可得，
故，
又，故.
若选择③ ；
由正弦定理可得，
再由余弦定理得，即，
，．
综上所述，无论选①②③任何一个，都有；
（2），，，
因为，
所以，
又平分，所以，
所以，
则，即
由余弦定理得，即，
所以，解得或（负值舍去），
故的周长为.
12．（23-24高一下·广东茂名·期中）设内角的对边分别为，已知，．
(1)求角；
(2)若，求的面积；
(3)求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
（3）由正弦定理将边化角，再化简得，再由求得的取值范围，即可得周长的取值范围.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
又，
所以，
即，
所以，
又，所以，则，
又，所以.
（2）因为，，，
由余弦定理得，
即， 解得，
所以的面积.
（3）因为，，
由正弦定理得，
因为，
所以
，
因为， 所以，，
所以， 即，
所以周长的取值范围为.
13．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别为，且．
(1)证明：为直角三角形；
(2)当时，求周长的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由降幂公式和余弦定理解三角形可得；
（2）利用三角函数把边长表示成角，再用辅助角公式表示出周长，最后利用正弦函数的值域求出最值.
【详解】（1）证明：因为，即，
由余弦定理可得，
化简可得，
所以为直角三角形.
（2）由（1）可得为直角三角形的斜边，
所以两直角边长分别为，
所以设周长为，则，
因为，
所以，即时，周长取得最大值，最大值为.
14．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以；
（2）延长交于，延长交于，
根据题意可得．因为，所以，
设，且，
则，
同理可得，
则
，
因为，所以，
又，
所以，
所以的取值范围是．
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
15．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知．
(1)求函数图象的对称轴方程；
(2)设的内角所对的边分别为，若且，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换，可得的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案；
（2）由求出B，由正弦定理求出的表达式，结合三角恒等变换化简可得的表达式，利用三角函数性质求出其范围，即可得三角形周长的取值范围.
【详解】（1）由于，
故
，
由，得
故函数图象的对称轴方程为；
（2）由，得，而,
故，
由于，则，
则，
则
，
而，
则，即，
故周长的取值范围为.
16．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得，再根据正弦定理可得，进而即可求得角A的大小；
（2）先根据题意及正弦定理得到，，从而得到，再结合（1）得到B的取值范围，进而即可求得的周长的取值范围．
【详解】（1）由，则，
又由正弦定理得，
又因为，则，
所以，即，
又因为，所以．
（2）由正弦定理有，
则，，
所以
，
又，则，则，则，
所以，
故的周长的取值范围为．
17．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）设锐角三角形的内角的对边分别为，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若为的延长线上一点，且，求三角形周长的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果；
（2）在中，可得，，在中，利用正弦定理结合三角函数可得，进而可得结果.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
则，整理得，
由正弦定理可得，即，
且，所以.
（2）在中，由题意可知：，，
可知，
由余弦定理可得，即，
在中，由正弦定理，
可得，
因为且为锐角三角形，则，解得，
则，可得，所以，
且三角形周长为，
所以三角形周长的取值范围为.
18．（2011高一·全国·竞赛）在中，角所对的边分别为，且.
(1)判断的形状，并加以证明；
(2)当时，求周长的最大值.
【答案】(1)为直角三角形，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据余弦二倍角公式及余弦定理可得结果；
（2）由（1）可得周长表达式，根据辅助角公式及正弦函数性质可得结果.
【详解】（1）因为即，
所以，即，即，
由余弦定理得：，，即为直角三角形.
（2）由（1）知为直角三角形，为斜边，当时，另两直角边长分别为，，
周长，
因为，
所以当，即时，，
周长的最大值为.
19．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.
在中，角所对的边分别为，__________，且.求：
(1)；
(2)周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①由三角恒等变换可得求出角，选②由三角形面积公式及数量积公式化简得出即可求解，选③转化为正弦函数，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦函数的值域求范围即可得解.
【详解】（1）若选①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
【分析】（1）由三角恒等变换公式计算可得；
（2）首先由正弦定理和（1）求出，然后用锐角三角形和（1）求出B的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.
【详解】（1）.
由，即.
为锐角三角形，，
.
.
（2）由正弦定理，.
，.
，.
是锐角三角形，
，且.
，，
，
.
.
.
综上，的取值范围为.