2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题07解三角形(面积问题(含定值，最值，范围问题))练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题07解三角形(面积问题(含定值，最值，范围问题))练习(学生版+解析)，共45页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3578" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3578 \h 1
\l "_Tc17470" 二、典型题型 PAGEREF _Tc17470 \h 2
\l "_Tc3481" 题型一：求三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc3481 \h 2
\l "_Tc2" 题型二：求三角形面积（最值问题） PAGEREF _Tc2 \h 3
\l "_Tc17550" 题型三：求三角形面积（范围问题） PAGEREF _Tc17550 \h 5
\l "_Tc19970" 题型四：四边形中面积问题 PAGEREF _Tc19970 \h 7
\l "_Tc27917" 三、专项训练 PAGEREF _Tc27917 \h 9
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形

基本公式2、余弦定理及其推论

基本公式3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
2．（2024·北京丰台·二模）已知满足．
(1)求；
(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
3．（2024·北京西城·一模）在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，且外接圆的面积为．
(1)求．
(2)若，求的面积．
题型二：求三角形面积（最值问题）
1．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为且与垂直.
(1)求大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值.
2．（23-24高三下·全国·阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)若，求△ABC的面积S的最小值．
3．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
4．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；
(1)求B；
(2)若，试判断的形状.
(3)若，求的面积的最大值．
5．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
题型三：求三角形面积（范围问题）
1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
(3)若，求面积的取值范围.
2．（2024·四川德阳·二模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
3．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
4．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
题型四：四边形中面积问题
1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，.
(1)若，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
2．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C的大小；
(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
3．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
4．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，且．
(1)若，求的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
5．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知圆的半径为，点在直径的延长线上，，点是圆上半圆上的一个动点，以为斜边做等腰直角三角形，且与圆心分别在两侧.
(1)若，试将四边形的面积表示成的函数;
(2)求四边形面积的最大值.
三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形中，已知四点共圆，且.
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积.
2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知平面四边形中，，，．

(1)若，，，四点共圆，求的面积；
(2)求四边形面积的最大值．
3．（23-24高一下·湖北·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．

(1)若，求的边长；
(2)求的边长最小值．
8．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求.
(2)求面积的取值范围.
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
专题07 解三角形面积问题问题
（含定值，最值，范围问题））(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc3578" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc3578 \h 1
\l "_Tc17470" 二、典型题型 PAGEREF _Tc17470 \h 2
\l "_Tc3481" 题型一：求三角形面积（定值问题） PAGEREF _Tc3481 \h 2
\l "_Tc2" 题型二：求三角形面积（最值问题） PAGEREF _Tc2 \h 6
\l "_Tc17550" 题型三：求三角形面积（范围问题） PAGEREF _Tc17550 \h 11
\l "_Tc19970" 题型四：四边形中面积问题 PAGEREF _Tc19970 \h 18
\l "_Tc27917" 三、专项训练 PAGEREF _Tc27917 \h 24
一、必备秘籍
基本公式1、正弦定理及其变形

基本公式2、余弦定理及其推论

基本公式3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
核心秘籍1、基本不等式
①
②
核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）
利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.
二、典型题型
题型一：求三角形面积（定值问题）
1．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）由余弦定理求出即可.
（2）利用边角转化求出角，进而由正弦定理求出，最后求出三角形面积.
【详解】（1）在中，由，则，
由余弦定理知：，
因为，所以.
（2）因为，所以，即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，解得：或，
即或，
当时，，
在中，由正弦定理，所以，
所以；
当时，三角形为等边三角形，，
.
综上：当时，；当时，.
2．（2024·北京丰台·二模）已知满足．
(1)求；
(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
【答案】(1)
(2)选①③，面积为，
【分析】（1）根据辅助角公式可得，即可求解，
（2）选择①②，根据正弦定理可得与矛盾，即可求解，选择②③，根据,故，，这与矛盾，即可求解，选择①③，根据余弦定理可得，，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由得，所以,
由于，所以
（2）若选①，②，
则,
由正弦定理可得，这与矛盾，故不可以选择①②，
若选①，③，
由余弦定理可得，解得，，
，
选②③，
由于,
又,故，
而，故，这与矛盾，因此不能选择②③
3．（2024·北京西城·一模）在中，．
(1)求的大小；
(2)若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：边上中线的长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；
（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的.
【详解】（1）由，得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
又，所以；
（2）选条件①：边上中线的长为：
设边中点为，连接，则，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，解得或（舍），
所以的面积为，
选条件③：：
在中，由余弦定理得，即，
整理得，解得或，
当时，的面积为．
当时，的面积为．
不可选条件②，理由如下：
若，故为钝角，则，
则，，即，
其与为钝角矛盾，故不存在这样的.
4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，且外接圆的面积为．
(1)求．
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合正弦定理、外接圆的半径以及两角和差的正弦公式求得结果；
（2）先求得，结合的面积公式以及二倍角公式求得结果.
【详解】（1）由于外接圆的面积为，故外接圆的半径为1．
由正弦定理，得，则．
又，
所以，
则．
因为，所以，所以．
又，所以；
（2）由，得，
结合，得，且．
由（1）知，所以的面积
．
题型二：求三角形面积（最值问题）
1．（23-24高一下·浙江·期中）已知的内角所对的边分别为且与垂直.
(1)求大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果；
（2）利用余弦定理与边上的中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为，垂直，
所以.
由正弦定理，得，因为，
所以，，
所以.
（2）设边上的中线为，
在中，由余弦定理得：，
即①.
在和中，，
所以，
即，，，
化简得，
代入①式得，，
由基本不等式，
∴，当且仅当取到“”；
所以的面积最大值为.
2．（23-24高三下·全国·阶段练习）△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)若，求△ABC的面积S的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）结合已知条件，先利用进行化简，再利用二倍角公式即可求，从而可求A；
（2）结合三角形面积公式、基本不等式、余弦定理即可得到答案.
【详解】（1）由题意可得，
因为，
所以．
因为，所以，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
可得，
即．
（2）由（1）知；且，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（当时，，故舍去），（当且仅当时取等号）．
从而，
即△ABC面积S的最小值为．
3．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；
若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；
若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.
（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：若选①：在中，因为，
由，
可得，
由正弦定理得，即，
则，
又因为，故.
若选②：由，可得，所以，
因为，所以.
若选③：因为，
正弦定理得，
又因为，所以，
即，
因为，，所以，
又因为，可得；
综上所述：选择①②③，都有.
（2）解：由，可得，
所以，可得，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
则的面积的最大值为.
4．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；
(1)求B；
(2)若，试判断的形状.
(3)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)为等边三角形
(3)
【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；
（2）根据题意结合余弦定理分析求解；
（3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
因为，则，可得，
即，所以.
（2）由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又因为，即，
可得，整理得，即，
所以为等边三角形.
（3）由（2）可知：，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积的最大值为.
5．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得
，
因为、，则，可得，
所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
故，
因此，面积的最大值为.
题型三：求三角形面积（范围问题）
1．（23-24高一下·广东·阶段练习）在锐角中，内角，，所对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
(3)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）法一：利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得；法二：利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）利用正弦定理及角平分线的性质得到，设，，再在中利用余弦定理求出，即可得解；
（3）首先得到，利用正弦定理得到，再根据的范围及正切函数的性质计算可得.
【详解】（1）法一：在锐角中，，
由余弦定理得，化简得，
可得，又，得.
法二：在锐角中，，由正弦定理得，
即，
可得，
又，，得，又，得.
（2）在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
因为是角的平分线，故，
又，故，
所以，
设，，
在中，由余弦定理，有，
解得，所以（负值舍去），
所以，.
（3）因为，
由正弦定理，
得，
在锐角中，，，，
即，可得，
则有，，，，
即，得，
所以面积的取值范围为.
2．（2024·四川德阳·二模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函数关系化简已知等式，可得，即可求得答案；
（2）利用正弦定理求出a的表达式，并结合恒等变换公式化简，利用为锐角三角形，求出角C的范围，即可求得a的取值范围，再利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）因为中，，即，
而，故，
故，又，
则；
（2）由（1）以及题设可得；
由正弦定理得
，
因为为锐角三角形，，，
则，
则，则，
即，则，
即面积的取值范围为.
3．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，
（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.
【详解】（1）
因为三角形的面积为，
则，
所以，又，则；
（2）由于，所以，
即，取等号，
故，
故
4．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
(1)求角B的大小和边长b的值；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合B为锐角，可得B的值，由正余弦定理化简已知等式即可求解b的值．
（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式可求，由题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】（1）∵，∴，
∴，∴，
∵B为锐角，∴，∵，
由正余弦定理可得：，
整理可得，解得．
（2）∵，
∴，，
∴，
，
∵，，∴，
∴，∴，
∴
5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.
(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意，根据的内切圆的性质可得，选①，根据余弦定理可得，方程无解即△ABC不存在；选②，根据正弦定理可得，由可得，方程无解即△ABC不存在；选③，根据三角恒等变换可得，由（1）得，解得，可求出的周长.
（2）由三角形的面积可得，再由正弦定理和两角和的正弦公式可得，结合角C的取值范围即可求解.
【详解】（1）设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，
选择①，因为，所以，
因为，，所以，
整理得，
方程无实数解，所以不存在．
选择②，因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，，所以，
整理得，方程无实数解，所以不存在．
选择③，由得：，
所以，即，所以，
因为以，，
所以，所以，解得，
所以存在且唯一，的周长为．
（2）由（1）知，，面积，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以，，，
所以的取值范围为，
而面积.
题型四：四边形中面积问题
1．（23-24高三上·湖南·阶段练习）如图，在平面四边形中，.
(1)若，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在中，先求出，再在利用正弦定理求出，利用大角对大边进行取舍；
（2）把四边形的面积用题干中给出的变量进行表示，求解最值即可.
【详解】（1）解：由已知，得，
所以，所以.
在中，因为，所以，又，
由正弦定理得，得，
因为，所以，所以，所以.
（2）在中，由已知，
所以，
由余弦定理，
在中，因为，
又，所以
所以，
所以四边形的面积，
因为，所以，当，即时，，
故四边形面积的最大值为.
2．（22-23高一下·广西南宁·期末）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C的大小；
(2)若，D为的外接圆上的点，，求四边形ABCD面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，通过二倍角公式的化简求解；选②，通过余弦定理求解即可；选③，通过边角互化求解即可；
（2）将条件转化为，然后结合基本不等式求取四边形面积的最大值；
【详解】（1）选①：，根据二倍角公式化简得：
即
因为
解得：或（舍去），
所以；
选②，根据正弦定理得：
根据余弦定理得：
又因为，所以；
选③，根据正弦定理得：
因为，
解得：，所以；
（2），根据数量积定义可知：
所以，则有：，

如图所示：,
根据正弦定理得：
，
因为
根据基本不等式解得：，当且仅当时，等号成立，
即，
代入，
解得：，
综上四边形ABCD面积的最大值为.
3．（2023·云南保山·二模）如图，在平面四边形中，，，.

(1)当四边形内接于圆O时，求角C；
(2)当四边形面积最大时，求对角线的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据，结合余弦定理求解即可；
（2）将四边形的面积拆成两个三角形的面积之和，由余弦定理和三角形面积公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
，
所以.
又四边形内接于圆，
所以，
所以，
化简可得，又，
所以.
（2）设四边形的面积为S，
则，
又，
所以，即
平方后相加得，即，
又，
所以时，有最大值，即S有最大值.
此时，，代入得.
又，所以
在中，可得：
，即.
所以，对角线的长为.
4．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，且．
(1)若，求的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由题可得，然后根据同角关系式及和差角公式求解；
（2）根据余弦定理得到，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，可得，再根据三角函数的性质求解.
【详解】（1）因为，，且，
所以在中，，，
所以
；
（2）设，，
在中，由余弦定理，得
，
∵
=
，又，
当时，四边形ABCD面积的最大值．
5．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，已知圆的半径为，点在直径的延长线上，，点是圆上半圆上的一个动点，以为斜边做等腰直角三角形，且与圆心分别在两侧.
(1)若，试将四边形的面积表示成的函数;
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)，其中
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，求出、的面积关于的表达式，相加可得出四边形的面积表示成的函数，并标出的取值范围；
（2）计算出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】（1）解：由余弦定理可得，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，则，
所以，
，其中.
（2）解：因为，则，故当时，即当时，
取最大值，即.
因此，四边形面积的最大值为.
三、专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）在平面四边形中，已知四点共圆，且.
(1)求证：；
(2)若，求四边形的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别在和中用正弦定理得到，然后根据，即可得到；
（2）分别在和用余弦定理，再结合，得到，，最后利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理知，
在中，由正弦定理知，
因为，
所以，，
所以；
（2）在中，由余弦定理知，
在中，由余弦定理知，
因为，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以四边形的面积：
.
2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，已知平面四边形中，，，．

(1)若，，，四点共圆，求的面积；
(2)求四边形面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理写出的表达式，结合A，，，四点共圆求出，求出的值，进而利用三角形的面积公式求解即可；
（2）由（1）可得，表示出四边形的面积S的表达式得，由题意，结合三角形内角的范围及余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得
．①
在中，由余弦定理得
．②
因为A，，，四点共圆，所以，因此，
由①+②得，得．
将代入①，得，故，
因此．
（2）由（1）可知，
得．③
四边形的面积，
则．④
将③式两边同时平方，得，
将④式两边同时平方，得，
得，
化简得．
由于，，
因此当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，且，得，
故四边形面积的最大值为．
3．（23-24高一下·湖北·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由余弦定理得到，再根据题干中的关系可以得到，进而得到角的大小；
（2）根据得到，从而确定的值，由得到，由正弦定理得到，从而由面积公式得到的面积．
【详解】（1）在中，由余弦定理得，又，则，
而，则．
（2）因为，所以，所以，从而，
，
由正弦定理，得，
因此.
4．（2024高一下·江苏·专题练习）已知的内角所对的边分别为，向量与平行.
(1)求；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，得到，根据正弦定理求得，即可求解；
（2）根据题意，利用余弦定理，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由向量，，
因为，可得，
又由正弦定理，可得，
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）解：因为且，
由余弦定理得，即，
可得，解得或（舍去），
所以的面积为.
5．（2024·全国·模拟预测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
(1)求的周长的取值范围；
(2)若的内切圆半径，求的面积S.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题意与余弦定理可得，结合正弦定理可将周长的范围转化为正弦型函数的范围问题，计算即可得；
（2）由三角形内切圆的性质可得，结合余弦定理计算即可得，或由三角形内切圆中边长与圆相切，结合切线长定理，可得的值，再由计算即可得.
【详解】（1）由及余弦定理得，
，即，
所以．
又，所以，
所以由正弦定理得，
所以，，
则
，
又因为，所以，所以，
即，即，
故的周长的取值范围为；
（2）解法一：
由（1）得，因为，
，，所以，
由得，
从而，
即，
解得或（舍去），
所以．
解法二：
如图，设圆O是的内切圆，各切点分别为D，E，H．
由（1）知，所以．
又因为，
所以由切线长定理得，
于是，，
又，即，
所以．
6．（2023·广东·二模）如图，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形内部，，，为正三角形，设.

(1)求的取值范围；
(2)当变化时，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由四边形可知的取值范围，再在余弦定理可得且，解不等式可得的取值范围；
（2）在由余弦定理可知，分别求和面积，可得四边形面积的最值.
【详解】（1）因为四边形的对角线交点位于四边形内部，
所以，又因为为正三角形，，所以.
在中，由余弦定理得，
又因，
将，代入并整理得且，解得，
所以的取值范围是；
（2）在中，由余弦定理可得，，
由（1）知，所以，
又因为为正三角形，所以，
又，
所以
，
所以当，即时，且成立，
四边形的面积取得最大值，最大值为.
7．（23-24高三上·广西柳州·阶段练习）如图某公园有一块直角三角形的空地，其中长千米，现要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中分别在上．设．

(1)若，求的边长；
(2)求的边长最小值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据几何关系列方程求解即可；
（2）利用正弦定理和辅助角公式求解最小值即可.
【详解】（1）设的边长为千米，由得，
中，
为等边三角形，，
故，即的边长为.
（2）设的边长为千米，所以，
中，，
由正弦定理得，，故，
其中，当时，取得最小值，
即的边长最小值为.
8．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求.
(2)求面积的取值范围.
(1)求；
(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知中，，
故，即,
即,
所以，而，
故，即，
又，故；
（2）由于点是上的点，平分，且，
则，
由，得，
即，则，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
所以，
即面积的最小值为.
10．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式求得的值，从而得解；
（2）利用正弦定理和三角形面积公式，结合三角函数恒等变换得到关于的表达式，再由锐角得到的取值范围，从而得解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，得．
又在中，，
所以，则，
又，则，所以，
又，所以.
（2）因为，则，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
故，则.