2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题08三角函数、平面向量及解三角形新定义题练习(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题08三角函数、平面向量及解三角形新定义题练习(学生版+解析)，共24页。试卷主要包含了在中，对应的边分别为，将所有平面向量组成的集合记作等内容，欢迎下载使用。
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若，；，，且与具有关系，求的像；
(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.
3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
4．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
(1)求的“相伴向量”；
(2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；
(3)当向量时，其“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
5．（23-24高二上·北京·期中）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
6．（23-24高一下·山东·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，.
(1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长；
(2)当时，求线段长度的最大值.
7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，对应的边分别为
(1)求；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值．
9．（2024·全国·模拟预测）设有维向量，，称为向量和的内积，当，称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合．
(1)若，写出一个向量，使得．
(2)令．若，证明：为偶数．
(3)若，是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例．
10．（23-24高一下·上海徐汇·）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
专题08 三角函数、平面向量及解三角形新定义题
1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在，上的函数，以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像.
(1)若，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；
(2)若，；，，且与具有关系，求的像；
(3)若，；，，且与具有关系，求实数的取值范围.
【答案】(1)不具有，理由见解析；
(2)或或；
(3)或，
【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可；
（2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可；
（3）利用三角函数的性质先确定，根据具有关系的定义得出，再根据二次函数的动轴定区间分类讨论计算即可.
【详解】（1）与不具有关系，
理由如下：时，，，所以，
则与不具有关系；
（2）由题意可知
，
所以，
又，所以，
解之得或或，
即的像为或或；
（3）对于，则，所以，
即，
因为与具有关系，
所以要满足题意需，使得即可.
令，
令，则，设，
①若，即时，，
则，
②若，即时，，
则，
③若，即时，，
则或，显然无解，
④若，即时，，
则或，显然无解，
综上所述：或，
2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，，，若，，求的值
(3)已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离.
【答案】(1)，余弦距离等于
(2)
(3)
【分析】（1）根据公式直接计算即可.
（2）根据公式得到，，计算得到答案.
（3）利用两角和与差的正弦、余弦公式可求出点、的坐标，结合题中定义可求得、之间的曼哈顿距离.
【详解】（1），
，故余弦距离等于；
（2）；
故，，则.
（3）因为，，
所以.
因为，所以.
因为，
所以.
因为，则，
所以.
因为，
，所以.
因为，
，
所以.
因为，
所以、之间的曼哈顿距离是.
3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题：
(1)求“余正弦”函数的定义域；
(2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由；
(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域.
【答案】(1)
(2)偶函数，理由见解析
(3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为.
【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域.
（2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性.
（3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域.
【详解】（1）的定义域为.
（2）对于函数，
，所以是偶函数.
（3），
在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减.
在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增.
所以的最小正周期为，
在上是严格减函数，在上是严格增函数.
结合的单调性可知，的值域为.
4．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．
(1)求的“相伴向量”；
(2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；
(3)当向量时，其“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用两角和余弦公式展开化简函数，再根据相伴函数的概念求解即可；
（2）结合向量模的坐标运算公式，根据辅助角公式化简函数，利用正弦函数性质求解即可；
（3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围．
【详解】（1）
，
所以函数的“相伴向量”.
（2），
，，
的取值范围为；
（3），
当时，，
由，得：，
∴或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
方程在上存在4个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点，
观察图象知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
5．（23-24高二上·北京·期中）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解；
（2）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有个，得到7个分量中有个，进而求得的值，即可求解；
（3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，结合维向量的定义，
则两两垂直的4维信号向量可以为：．
（2）解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量，
因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以，不妨设，
因为，所以有7个分量为，
设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14个两两垂直的14维信号向量．
（3）解：任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，
设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为
所以，
令所以，所以．
6．（23-24高一下·山东·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，.
(1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长；
(2)当时，求线段长度的最大值.
【答案】(1)，的边长为
(2)
【分析】（1）设，由托勒密不等式得到，当四点共圆时等号成立，从而得到，由余弦定理得到；
（2）在中，利用正弦定理得到，由余弦定理得到，两式相减结合基本不等式得到，由三角恒等变换和有界性得到，得到，求出，由余弦定理求出，利用托勒密不等式得到.
【详解】（1）设，因为，所以，
所以，当四点共圆时等号成立，因为，，
在中，，
所以，所以的边长为；
（2）设，在中，
因为，
所以，所以，
因为.所以，
当且仅当时等号成立，
因为，所以，
所以，
由，故，
因为，，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中，对应的边分别为
(1)求；
(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①用向量证明二维柯西不等式：
②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．若是内一点，过作垂线，垂足分别为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用余弦定理，即可求出结果；
（2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果.
【详解】（1）由正弦定理得即
由余弦定理有，若，等式不成立，则，所以，
因为，所以.
（2）①设，由，得，
从而，即
②.
又
.
由三维分式型柯西不等式有.
当且仅当即时等号成立.
由余弦定理得，所以即，
则，令，则.
因为，得，当且仅当时等号成立，
所以，则，
令；则在上递减，
当即时，有最大值，此时有最小值.
8．（23-24高一下·上海·期中）将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值．
(1)如果，求；
(2)如果，计算的特征值，并求相应的；
(3)若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件．
【答案】(1)
(2)，其中且
(3)，答案见解析
【分析】（1）利用向量的坐标运算可得，可求得，可求得.
（2）利用向量相等的条件可得，进而可求得，进而可得其中且．
（3）利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且．
【详解】（1）由题意，所以，当时，，最大值也为2，所以．
（2）由，可得：，
解此方程组可得：，解得．
当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且．
（3），可得．
因为都不为0，从而向量与平行，
所以存在实数满足，即．
要使存在且唯一，则应满足：．
当时，有唯一的特征值，且．具体证明为：
由的定义可知：，所以为特征值．
此时满足：，所以有唯一的特征值．
当时，；当时，．令，．
所以．
所以为偶数．
（3）当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即．
不妨取，，，，
则有，，，，，．
若存在，使，则或或．
当时，；
当时，；
当时，，
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．
【点睛】关键点点睛：新定义问题，理解定义内容、会运用新定义运算，是解决问题的关键.
10．（23-24高一下·上海徐汇·）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据新定义求得向量，然后由数量积的坐标表示计算；
（2）根据新定义得变换后新三角形与原三角形相似，得相似比，从而得面积比；
（3）根据新定义，得出的坐标（用表示），然后由三角形面积计算可得．
【详解】（1）由题意，，所以，同理，
所以；
（2）由（1）知，，
所以，所以与的三边成比例，比值为，
所以；
（3）由（1）知，，，
，所以，，，
所以．
【点睛】本题考查向量与复数的新定义，解题关键是由新定义得出原来点的坐标和新点坐标的关系，从而得出向量的关系，变换后的三角形与原三角形相似，而利用变换后点的坐标结合三角形面积易得原坐标．