中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题11反比例函数及其应用(10个高频考点)(强化训练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题11反比例函数及其应用(10个高频考点)(强化训练)(原卷版+解析)，共92页。

1．（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆合川·统考中考模拟）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长l与边长a的关系
C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
3．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的高为L与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
4．（2022·湖北武汉·统考一模）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=x2B．y=2x+1C．y=2xD．y＝2x
5．（2022·四川广元·统考一模）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( )
A．两条直角边成正比例B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例D．一条直角边与斜边成反比例
【考点2 反比例函数的图象】
6．（2022·河北·模拟预测）如图，若抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y=kxx>0的图象是（ ）
B．
C．D．
7．（2022·江苏淮安·统考一模）定义运算：a⊕b＝ab(b>0)a−b(b<0)，例如：4⊕5＝45，4⊕(-5)＝45，那么函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是( )
A．B．
C．D．
8．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，有四条直线m，n，p，q和一条曲线，曲线是反比例函数y=6xx>0在平面直角坐标系中的图象，则y轴可能是（ ）
A．直线mB．直线nC．直线pD．直线q
9．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（nA．y=xB．y=−2xC．y=x2D．y=−x2
10．（2022·福建厦门·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)在双曲线y=kx(k>0)上，且0①xB=yA；②xD+yA=0；③xA+xC=0且xB+xD=0；④AC，BD都经过点O．
【考点3 反比例函数图象的对称性】
11．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y=kx(k≠0)图象的两个不同的交点，则m+n=__________．
12．（2022·湖南邵阳·统考一模）如图所示，一次函数y=kxk<0的图象与反比例函数y=−4x的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为____________．
13．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝−6x的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为____．
14．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）点A是反比例函数y=1x(x>0)的图像C1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y=3x（x>0）的图像C2于点B，直线AC∥y轴，交C2于点C，直线CD∥x轴，交C1于点D．
(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；
(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．
15．（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=3x的函数图像：
(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；
(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【考点4 反比例函数的性质】
16．（2022·河南新乡·校考一模）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=axx−2−b（a，b为常数）的图像部分过程，请你按要求完成下列问题：
(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值
根据表中的数据求出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质________．
(3)已知函数y=x-1的图像如图所示，结合你所画出的函数图像，请直接写出方程axx−2−b=x−1的解．
17．（2022·重庆·校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=kxk<0的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且△ABO的面积为2．
（1）k和m的值；
（2）若点C(x，y)也在反比例函数y=kx 的图象上，当1≤x≤3时，直接写出函数值y的取值范围．
18．（2022·广东广州·统考二模）已知在函数y=kxx>0中，y随x的增大而增大，A=1+k1+k+2，
（1）化简A；
（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为−2，求A的值．
19．（2022·浙江杭州·校考一模）已知函数y1＝kx+k+1与y2＝k+1x．
(1)若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
(2)在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
(3)若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
20．（2022·浙江杭州·统考二模）已知反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A2,3．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)判断点B−1,6是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
(3)点Cx1,y1，Dx2,y2是图象上的两点，若x1【考点5 反比例函数系数k的几何意义】
21．（2022·山东济宁·校考二模）如图，点A在反比例函数y=kxk≠0的图象上，且A是线段OB的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，连接BD交反比例函数的图象于点C，连接AC．若BC:CD=3:2，S△ACD=4．则k的值为（ ）
A．20B．16C．10D．8
22．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）如图，直线l和双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（ ）
A．S1S2>S3C．S1=S2>S3D．S1=S223．（2022·浙江绍兴·一模）如图，正比例函数y=kxk>0的图象与反比例函数y1=1x,y2=2x,⋅⋅⋅,y2015=2015x的图象在第一象限内分别交于点A1 ，A2 ，…，A，点B1 ，B2 ，…，B分别在反比例函数y1=1x,y2=2x,⋅⋅⋅,y2014=2014x的图象上，且A2B1 ，A3B2 ，…，AB分别与y轴平行，连接OB1 ，OB2 ，…，OB，则△OA2B1 ，△OA3B2 ，…，△OAB的面积之和为_________．
24．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE=3CE，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y=kx的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k的值为 _____．
25．（2022·吉林松原·校考一模）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，连接OE，则S△ACE＝_____，a﹣b的值为 _____，ba的值为 _____．
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
26.（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1xk1>0和y=k2xk2>0的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2=（ ）
A．36B．18C．12D．9
27.（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知点Ax1,y1，Bx2,y2在反比例函数y=6x的图象上，且x1<0A．y1+y2<0B．y1+y2>0C．y1y2
28.（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，函数y=kx(k>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若四边形ODBC的面积为6，则k的值为( )
A．2B．3C．4D．6
29.（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象都经过A2,−4、B−4,m两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
30.（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y=−2x的图象在第二象限相交于点A(−1,m)，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD=CD．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA，求a的值．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
31．（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA=5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y=kxk≠0的图象经过A′点，则k的值为（）
A．9B．12C．18D．24
32．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，OE=2，连接DE．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△CDE的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式x+1>kx的解集．
33．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为−2,2，反比例函数y=kxk≠0在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段AC扫过的面积．
(3)若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长．
34．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝b−3x的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
35．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为(4,2)，反比例函数y=kx的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n，连接OD，OE．
(1)求反比例函数y=kx的表达式和点E的坐标；
(2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y=kx图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
36．（2022·山东济南·统考二模）如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数y=kx(k>0)的图像交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S△AOG＝3．
(1)k＝ ；
(2)求证：AD ＝CE；
(3)如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积
37．（2022·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(3,4)和点B(6,t)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；
(2)若在x轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上，当线段A1B1与x轴有交点时，求n的取值的最大值．
38．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象交于Aa,4和B−4,−2，与y轴交于点C．
(1)求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y=kx+b的图象．
(2)点D4，b在一次函数y=kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数图象于点E，连接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≥mx的解集．
39．（2022·河北承德·统考二模）如图，直线y=12x与反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象交于点Bm,1，A是反比例函数图象上一点．直线OA与y轴的正半轴的夹角为α，tanα=12．设直线AB与x轴交于点D，直线l经过点D，与y轴交于点H，设点H的纵坐标为t．
(1)求k的值及点A的坐标．
(2)t为何值时，直线l过△AOD的重心？
(3)设点P是x轴上一动点，若△PAB的面积为2，直接写出P点的坐标．
40．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=−12x(x<0)的图像交于点B(−6,b)．
(1)求b，k的值．
(2)点C是线段AB上一点（不与A，B里合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为8，求点C的坐标．
(3)将（2）中的△OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数的图像上，求此时点D的对应D′的坐标．
【考点9 实际问题与反比例函数】
41．（2022·湖南衡阳·台州市书生中学校考一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)a=_____________；
(2)当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当x>100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
42．（2022·浙江金华·校联考二模）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
43．（2022·浙江丽水·统考二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
44．（2022·河北保定·统考模拟预测）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为xkg，室内甲醛含量为ymg/m3，开机后净化器开始消耗净化药物．当01时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为th（t>0），并有以下两种工作模式：
模式Ⅰ室内甲醛含量ymg/m3与净化药物的消耗量xkg成反比，且当x=2时，y=0.9；
模式Ⅱ净化药物的消耗量由档位值k（0已知开机前测得该室内的甲醛含量为1.8mg/m3．
(1)在模式Ⅰ下，直接写出y与x的关系式（不写x的取值范围）；
(2)在模式Ⅱ下：
①用k，t表示x，用t表示d；
②当k=5时，求y与x的关系式（不写x的取值范围）．
(3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当k=5，y=1mg/m3时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请通过计算说明理由．
45．（2022·山东临沂·统考一模）为了探索函数y=x+1x(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x1,y1),(x2,y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？
【考点10 反比例函数与几何综合】
46．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=mx x>0的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．
47．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：
(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；
(2)证明：O、M、E三点共线；
(3)证明：∠EOB=13∠AOB．
48．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y=kx (k>0,x＜0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD．
(1)求直线BC的表达式．
(2)求tan∠DAB的值．
(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x>0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
49．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A(−1,0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=kx(x>0)交于点C，且AC=3AB，BD∥x轴交反比例函数y=kx(x>0)于点D．
(1)求b、k的值；
(2)如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y=kx(x>0)于点F.若EF=13BD，求m的值．
(3)如图2，在(2)的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得△ODH与△ODG相似(不含全等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
50．（2022·浙江宁波·校考三模）我们定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC．在所得的△ACP，△ABP，△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心．
(1)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．请在图中的格点中，画出△ABC的相似心．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH．
①∠BMA的度数是 ．
②求证：点O为△MHG的相似心．
(3)如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数y＝－23x（x＜0）的图象上，∠OHG＝30°．
①求点G的坐标．
②若点E为△OHG的相似心，连结OE，直接写出线段OE的长． x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
−27
−13
−25
−12
−23
-1
-2
2
1
23
12
25
…
投入维护资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
x
…
14
13
12
1
2
3
4
5
…
y
…
174
103
52
2
52
103
174
265
…
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．
专题11 反比例函数及其应用（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 反比例函数的定义】
1．（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴t=sv，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2．（2022·重庆合川·统考中考模拟）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长l与边长a的关系
C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
【答案】D
【详解】A、根据题意，得S=a2，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；
B、根据题意，得l=4a，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
C、根据题意，得S=20a，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
D、根据题意，得b=40a，所以正方形的面积S与边长a的关系是反比例函数关系；故本选项正确．
故选D．
3．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的高为L与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）
A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数
【答案】B
【详解】试题分析：根据题意，由等量关系“矩形的面积=底面周长×母线长”列出函数表达式再判断它们的关系则可．
由题意得2πrL=4，
则L=2πr，
所以这个圆柱的母线长L和底面半径r之间的函数关系是反比例函数．
故选B．
考点：本题考查了反比例函数的定义
点评：熟记圆柱侧面积公式，列式整理出l、r的函数解析式是解题的关键．
4．（2022·湖北武汉·统考一模）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=x2B．y=2x+1C．y=2xD．y＝2x
【答案】C
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】解：A、不符合反比例函数的一般形式y=kx（k≠0）的形式，选项错误；
B、与x+1成反比例函数，不符合反比例函数的一般形式y=kx（k≠0）的形式，选项错误；
C、是反比例函数，符合一般形式，正确；
D、不符合反比例函数的一般形式y=kx（k≠0）的形式，选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般y=kx（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
5．（2022·四川广元·统考一模）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( )
A．两条直角边成正比例B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例D．一条直角边与斜边成反比例
【答案】B
【详解】解：设该直角三角形的两直角边是a、b，面积为S．则
S=12ab．
∵S为定值，
∴ab=2S是定值，
则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例．
故选B．
【考点2 反比例函数的图象】
6．（2022·河北·模拟预测）如图，若抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y=kxx>0的图象是（ ）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点的个数，从而得到k=4，即可得出答案．
【详解】解∶对于y=−x2+3，
当x=0时，y=3，当y=0时，y=±3，
∴抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点为1,1,−1,10,1,0,2，共4个，
∴k=4，
∴反比例函数解析式为y=4xx>0，
当x=1时，y=4，
∴反比例函数图象过点1,4．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值．
7．（2022·江苏淮安·统考一模）定义运算：a⊕b＝ab(b>0)a−b(b<0)，例如：4⊕5＝45，4⊕(-5)＝45，那么函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题干中新运算定义，分两种情况分别求出y=2⊕x的解析式，进而求解．
【详解】解：由题意得：y=2⊕x=2x(x>0)−2x(x<0)，
当x＞0时，反比例函数的解析式为y=2x，图象在第一象限，
当x＜0时，反比例函数的解析式为y=−2x，图象在第二象限，
又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的识别，解题关键是理解题意，掌握求新运算的方法，根据函数y=2⊕x的解析式求解．
8．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，有四条直线m，n，p，q和一条曲线，曲线是反比例函数y=6xx>0在平面直角坐标系中的图象，则y轴可能是（ ）
A．直线mB．直线nC．直线pD．直线q
【答案】D
【分析】根据反比例函数的增减性和所在的象限进行求解即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为y=6xx>0，
∴反比例函数图象在第一象限，且y随x增大而减小，
∴y轴只可能是直线q，
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
9．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（nA．y=xB．y=−2xC．y=x2D．y=−x2
【答案】D
【分析】由点A(-1，m)，B(1,m)的坐标特点，则知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B两项；再根据B(1，m)，C(2，n)的特点，结合二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a<0，则可作出判断．
【详解】解：A、∵A（−1，m），B（1，m），
∴A点和B点关于y轴对称，
∵y=x的图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意；
B、∵A点和B点关于y轴对称，而 y=kx图象关于原点对称，故该选项错误，不符合题意；
C、∵2>1，而n∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，而当x>0时，y=x2随x的增大而增大，故该选项错误，不符合题意；
D、∵2>1，n∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，当x>0时，y=−x2随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握函数的性质，采用排除法作判断．
10．（2022·福建厦门·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)在双曲线y=kx(k>0)上，且0①xB=yA；②xD+yA=0；③xA+xC=0且xB+xD=0；④AC，BD都经过点O．
【答案】②③
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明Rt△DEO≅Rt△AFO(SAS)，最后证明∠DAB为90°即可
【详解】依据题意可得,点A(xA,yA), B(xB,yB)，
C(xc,yc,yc),D(xD,yD)在双曲线y=kx(k>0)，
且0至少满足B,C两个条件，
∵xA+xC=0，xB+xD=0
∵点A，B，C, D分别关于原点对称，则AC,BD必过原点，OD= OB, OA = OC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
过A作AF⊥y轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E,
∵xD+yA=0
∴OE=OF，∠DEO=∠AFO=90°
∴DE= AF,
∵OE=OF∠DEO=∠AFODE=AF
∴Rt△DEO≅Rt△AFO(SAS)
∴OD=AO=OB, O为BD的中点
∴∠OAD=∠ODA, ∠AOB=∠OBA
∵∠ADB+∠DBA+∠OAB+∠OAD=180∘
∴∠DAB=∠OAD+∠OAB=12×180°=90°
∴四边形ABCD是矩形
故答案为：②③
【点睛】本题考查反比例函数图像性质，平行四边形的判定、全等三角形，熟练掌握性质和判定是关键
【考点3 反比例函数图象的对称性】
11．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y=kx(k≠0)图象的两个不同的交点，则m+n=__________．
【答案】−12
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象都关于原点对称，则交点也关于原点对称，进而求得m,n的值，即可求解．
【详解】解：∵点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y=kx(k≠0)图象的两个不同的交点，
∴m+1=−4,n=−7，
解得m=−5,n=−7，
∴m+n=−12，
故答案为：−12．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数图象的性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．
12．（2022·湖南邵阳·统考一模）如图所示，一次函数y=kxk<0的图象与反比例函数y=−4x的图象交于A，B两点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接AC，则△ABC的面积为____________．
【答案】4
【分析】根据反比例函数k的几何意义求得S△OBC=2,根据一次函数y=kxk<0的图象与反比例函数y=−4x的图象均关于原点中心对称，可得AO=BO, 即可求得△ABC的面积．
【详解】解：∵根据一次函数y=kxk<0的图象与反比例函数y=−4x的图象均关于原点中心对称，
∴AO=BO
∴S△ABC=2S△AOB
∵ BC⊥y轴于点C，B在y=−4x上，
∴ S△OBC=2
∴S△ABC=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图象的对称性，反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．
13．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2．一个反比例函数y＝−6x的图象经过点B．若该函数图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，则点P的坐标为____．
【答案】(−3,2)或(3,−2)或(2,−3)
【分析】求得B的坐标，然后根据题意得点P横纵坐标的绝对值是2和3或3和2，由此可得出答案．
【详解】解：Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO＝2，
∴B的横坐标为﹣2，
把x＝﹣2代入y=−6x 得，y＝3，
∴B（﹣2，3），
∵图象上的点P（不与点B重合）到原点的距离等于BO，
设点P(x,y)，
∴x=2,y=3或x=3,y=2，
∵反比例图像在二四象限，
∴x与y异号，
∴点P的坐标为：(−3,2),(2,−3),(3,−2)，
故答案为：(−3,2)或(3,−2)或(2,−3)．
【点睛】本题考查反比例函数的对称性，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质以及分类讨论的思想．
14．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）点A是反比例函数y=1x(x>0)的图像C1上一点，直线AB∥x轴，交反比例函数y=3x（x>0）的图像C2于点B，直线AC∥y轴，交C2于点C，直线CD∥x轴，交C1于点D．
(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；
(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)AB=2，CD=23
(2)AB=3CD，理由见解析
【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（13，3），即可求得AB和CD的长度；
（2）根据题意得到A（a，1a），B（3a，1a）．C（a，3a），D（3a，3a），进一步求得AB=2a，CD=23a．即可求得AB＞CD．
【详解】（1）解：如图，
∵AB//x轴，A（1，1），B在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，
∴B（3，1）．
同理可求：C（1，3），D（13，3）．
∴AB=2，CD=23
（2）解：AB=3CD．
证明：如图，
∵A（a，b），A在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，
∴A（a，1a）．
∵AB//x轴，B在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，
∴B（3a，1a）．
同理可求：C（a，3a），D（a3，3a）．
∴AB=2a，CD=23a．
∴3CD=2a
∴AB=3CD．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的坐标是解题的关键．
15．（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y=3x的函数图像：
(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；
(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【答案】(1)点A'是该函数图像第三象限上的点，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N，先求出点A的坐标，再证明△AOM≅△A′ON(AAS)，得出A′(−a,−3a)，即可得出结论；
（2）连接BO、CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B′、点C′，连接B′C′，连接DO并延长，交B′C′于点D′，即可得到点点D′．
【详解】（1）点A'是该函数图像第三象限上的点，理由如下：
过点A作AM⊥x轴于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N，
∵点A是反比例函数y=3x的图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），
∴y=3a，即A(a,3a)，
∴OM=a,AM=3a，
∵∠AOM=∠A′ON,∠AMO=∠A′NO,OA=OA′，
∴△AOM≅△A′ON(AAS)，
∴OM=ON=a,AM=A′N=3a，
∴A′(−a,−3a)，
∵−a⋅(−3a)=3，
∴点A'是该函数图像第三象限上的点；
（2）
连接BO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B′，连接CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点C′，连接B′C′，连接DO并延长，交B′C′于点D′，
此时，点D′即为所求．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的点的坐标特征，关于原点对称点的特点即作图，掌握知识点是解题的关键．
【考点4 反比例函数的性质】
16．（2022·河南新乡·校考一模）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=axx−2−b（a，b为常数）的图像部分过程，请你按要求完成下列问题：
(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值
根据表中的数据求出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质________．
(3)已知函数y=x-1的图像如图所示，结合你所画出的函数图像，请直接写出方程axx−2−b=x−1的解．
【答案】(1)y=xx−2−1；自变量x的取值范围是x≠2
(2)作图见解析；当x≤2时，y随x的增大而减小
(3)x1=0，x2=3
【分析】（1）把表格中两组x和y的数据代入函数解析式得到二元一次方程组并求解即可求出y与x的函数解析式；根据分母不为0即可求出自变量x的取值范围．
（2）根据表格中数据描点，再用平滑曲线连接即可；观察函数图像即可得到该函数的一条性质．
（3）观察两个函数图像的交点即可得到方程的解．
（1）
解：把x=0，y=-1和x=1，y=-2这两组数据代入函数解析式得
−1=a×00−2−b,−2=a×11−2−b．
解得a=1,b=1．
∴y与x的函数解析式为y=xx−2−1．
根据分母不为0得x−2≠0．
解得x≠2．
∴自变量x的取值范围是x≠2．
（2）
解：作图如下．
从图像上可知，当x≤2时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x≤2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）
解：从图像上可知y=axx−2−b与y=x−1的图像的交点是0,−1和3,2．
所以方程axx−2−b=x−1的解是x1=0，x2=3．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，求自变量的取值范围，画函数图像，函数图像交点与方程关系，正确应用数形结合思想是解题关键．
17．（2022·重庆·校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=kxk<0的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且△ABO的面积为2．
（1）k和m的值；
（2）若点C(x，y)也在反比例函数y=kx 的图象上，当1≤x≤3时，直接写出函数值y的取值范围．
【答案】（1）m=2；k=−4；（2）−4≤y≤−43．
【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y=kx，可求出k的值；
（2）先分别求出x=1和x=3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）∵A（−2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB=12•OB•AB=12×2×m=2，
∴m=2；
∴点A的坐标为（−2，2），
把A（-2，2）代入y=kx，
得k=−2×2=−4；
（2）∵反比例函数为y=−4x，
∴当x=1时，y=−4；当x=3时，y=−43，
又∵反比例函数y=−4x在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为−4≤y≤−43．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．
18．（2022·广东广州·统考二模）已知在函数y=kxx>0中，y随x的增大而增大，A=1+k1+k+2，
（1）化简A；
（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为−2，求A的值．
【答案】（1）3- k2；（2）-1
【分析】（1）根据反比例函数的性质，得k＜0，进而即可化简A；
（2）先求出k的值，再代入求值，即可．
【详解】解：∵函数y=kxx>0中，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴A=1+k1−k+2=3- k2；
（2）∵点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为−2，
∴k=-2，
∴A=3- k2=3- (-2)2=-1．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，代数式的化简求值，熟练掌握反比例函数的性质以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
19．（2022·浙江杭州·校考一模）已知函数y1＝kx+k+1与y2＝k+1x．
(1)若y1过点（1，3），求y1，y2的解析式；
(2)在（1）的条件下，若1≤y2≤2，求出此时y1的取值范围；
(3)若y1的图象过一、二、四象限，判断y2的图象所在的象限．
【答案】(1)y1＝x+2；y2＝2x
(2)3≤y1≤4
(3)y3的图象过第一、三象限
【分析】（1）函数y1过点（1，3），将点代入y1解析式中即可得k值，可得y1，y2的解析式；
（2）由1≤y2≤2，求出自变量取值范围1≤x≤2，再根据y1的增减性确定y1的取值范围；
（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y2的图象所在的象限．
（1）
把点（1，3）代入y1＝kx+k+1中，得：
3＝k+k+1，
解得：k＝1．
故y1＝x+2；y2＝k+1x＝2x．
（2）
在（1）的条件下，若1≤y2≤2，
∵y2＝2x，1≤y2≤2
∴1≤2x≤2
解得：1≤x≤2
∵y1＝x+2，1≤x≤2
∴3≤y1≤4
（3）
∵y1的图象过一、二、四象限
∴{k＜0k+1＞0 ，
解得：-1＜k＜0．
∴0＜k+1＜1，
故y2的图象过第一、三象限．
【点睛】本题考查了一次函数性质、反比例函数的性质、函数解析式的求法及一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
20．（2022·浙江杭州·统考二模）已知反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A2,3．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)判断点B−1,6是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
(3)点Cx1,y1，Dx2,y2是图象上的两点，若x1【答案】(1)y=6x
(2)点B(−1,6)不在这个函数图象上，理由见解析
(3)①当x1y2；②当x1<0【分析】（1）将点A(2,3)代入y=kx(k≠0)求k，即可得该反比例函数的表达式；
（2）当x=−1时，验证y=6是否成立；
（3）对x1与x2的正负进行分类讨论，然后根据反比例函数的图象比较y1和y2的大小．
（1）
解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A(2,3)，
∴ k=2×3=6，
∴该反比例函数的表达式为y=6x．
（2）
解：点B(−1,6)不在该函数图象上，理由如下：
当x=−1时，y=6−1=−6≠6，
∴点B(−1,6)不在这个函数的图象上．
（3）
解：由k>0可知在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
①当x1y2；
②当x1<00，此时y1【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断点是否在函数图象上，反比例函数y随x的变化情况，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质及其图象．
【考点5 反比例函数系数k的几何意义】
21．（2022·山东济宁·校考二模）如图，点A在反比例函数y=kxk≠0的图象上，且A是线段OB的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，连接BD交反比例函数的图象于点C，连接AC．若BC:CD=3:2，S△ACD=4．则k的值为（ ）
A．20B．16C．10D．8
【答案】A
【分析】根据BC:CD=3:2，S△ACD=4，求出S△ABC=6，计算出S△ABD，再由A是线段OB的中点，得到S△AOD=S△ABD=10，由此得到k2=10，即可求出k的值．
【详解】解：∵BC:CD=3:2，S△ACD=4，
∴S△ABC=6，
∴S△ABD=S△ACD+S△ABC=4+6=10，
∵A是线段OB的中点，
∴S△AOD=S△ABD=10，
∴k2=10，
∵k>0，
∴k=20，
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等高三角形面积比的问题．
22．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）如图，直线l和双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则（ ）
A．S1S2>S3C．S1=S2>S3D．S1=S2【答案】D
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝12k解答即可．
【详解】解：根据双曲线的解析式可得xy=k
所以可得S1=S2=12k
设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M
因此SΔOP1M=S1=S2=12k
而图象可得SΔOP1M所以S1=S2故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为12k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
23．（2022·浙江绍兴·一模）如图，正比例函数y=kxk>0的图象与反比例函数y1=1x,y2=2x,⋅⋅⋅,y2015=2015x的图象在第一象限内分别交于点A1 ，A2 ，…，A，点B1 ，B2 ，…，B分别在反比例函数y1=1x,y2=2x,⋅⋅⋅,y2014=2014x的图象上，且A2B1 ，A3B2 ，…，AB分别与y轴平行，连接OB1 ，OB2 ，…，OB，则△OA2B1 ，△OA3B2 ，…，△OAB的面积之和为_________．
【答案】1012
【分析】延长A2B1,A3B2,A4B3 ，分别与x轴交于C1,C2,C3，利用k的几何意义，推出S△OA2B1=S△A2OC1−S△B1C1O=1−12=12，S△OA3B2=S△A3OC2−S△B2C2O=32−1=12，依此类推，每个三角形的面积均为12，进行计算即可．
【详解】解：延长A2B1,A3B2,A4B3 ，分别与x轴交于C1,C2,C3 ，如图所示：
∵y1=1x,y2=2x，
∴S△OA2B1=S△A2OC1−S△B1C1O=1−12=12；
∵y2=2x,y3=3x，
∴S△OA3B2=S△A3OC2−S△B2C2O=32−1=12；
依此类推，S△OAB=12，
则△OA2B1,△OA3B2,…,△OAB的面积之和为12+12+…+12=20142=1012．
故答案为：1012．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握k的几何意义，构造与k有关的图形，是解题的关键．
24．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE=3CE，D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y=kx的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k的值为 _____．
【答案】274##6.75
【分析】过点D作DF∥x轴，交BE于点F，交y轴于点G，延长BE交x轴于点H，连接OD，根据△DEC的面积为3，求出△ODE的面积，设D点坐标为（a,ka），则E点坐标为（3a,k3a），根据面积列方程即可求出k的值．
【详解】解：过点D作DF∥x轴，交BE于点F，交y轴于点G，
延长BE交x轴于点H，连接OD，
∵ E为OC的四等分点（OE>EC），△DEC的面积为3，
∴ △DEO的面积为9，
∵ BE∥y轴，
∴四边形BMOE是平行四边形，
∴ BM=OE，
∴ AM=EC=14AB，
∵D为AB中点，
∴ DM=EC=13OE，
由平行四边形得，∠OEH=∠EBM=∠DMG，∠OHE=∠DGM=90∘，
∴ △OHE∼△DGM，
∴ DGOH=DMOE=13，
设D点坐标为（a,ka），则E点坐标为（3a,k3a），
S△ODE=3a×ka−12a×ka−12×3a×k3a−12(3a−a)×(ka−k3a)，
=3k−12k−12k−23k=9，
解得：k=274，
故答案为：274．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程．
25．（2022·吉林松原·校考一模）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=ax（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=bx（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，连接OE，则S△ACE＝_____，a﹣b的值为 _____，ba的值为 _____．
【答案】 12 24 −13
【分析】连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是平行四边形，推出S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，推出S△AOE＝S△DEO＝12，可得 12a−12b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝3BK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意得A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
∵E，C在反比例函数y=bx的图象上，
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S△ADE＝S△ADC＝S五边形ABCDE﹣S四边形ABCD＝56﹣32＝24，
∵AE∥CD，
∴S△ACE＝S△ADE＝12，S△AOE＝S△DEO＝12，
∴12a−12b＝12，
∴a﹣b＝24，
∵S△AOC＝S△AOB＝12，
∴BC∥AD，
∴△TBC∽△TAD
∴BCAD=TBTA，
∵S△ACB＝32﹣24＝8，
∴S△ADC：S△ABC＝24：8＝3：1，
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，
∴S△AOKS△BKO=12a−12b=3，
∴ab=−3，即 ba=−13，
故答案为：12；24；−13．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，设参法是解题的关键．
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
26.（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1xk1>0和y=k2xk2>0的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2=（ ）
A．36B．18C．12D．9
【答案】B
【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3，k23），C（3-t，k23+t），由点C在反比例函数y=k2x的图象上，推出t=3-k23，进而求出点B的坐标（3，6-k23），再点C在反比例函数y=k1x的图象上，整理后，即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
∴点D的坐标为（3，k23），
∴点C的坐标为（3-t，k23+t）．
∵点C在反比例函数y=k2x的图象上，
∴（3-t）（k23+t）=k2，化简得：t=3-k23，
∴点B的纵坐标为k23+2t=k23+2（3-k23）=6-k23，
∴点B的坐标为（3，6-k23），
∴3×（6-k23）=k1，整理，得：k1+k2=18．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出k1，k2之间的关系．
27.（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知点Ax1,y1，Bx2,y2在反比例函数y=6x的图象上，且x1<0A．y1+y2<0B．y1+y2>0C．y1y2
【答案】C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出y1、y2的大小关系．
【详解】解：∵点Ax1,y1，Bx2,y2）是反比例函数y=6x的图象时的两点，
∴x1y1=x2y2=6．
∵x1<0∴y1<0故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
28.（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，函数y=kx(k>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若四边形ODBC的面积为6，则k的值为( )
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】根据反比例函数y=kx(k>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，可得到点D是AB的中点，进而得出S△AOD=13S四边形OCBD=2=12k ，求出k即可．
【详解】设B2m，2n，
∵E为BC中点，四边形OCBA是矩形，
∴E2m，n
∵函数y=kx(k>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，
∴k=2mn，
又点D在函数y=kx(k>0)的图象上，
∴点D坐标为m，2n
∴点D是AB的中点，
∴S△AOD=13S四边形OCBD=13×6=2=12k，
∴k=4或k=−4<2 (舍去)，
故选：C．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，以及矩形的性质，求出△OAD的面积是解决问题的关键．
29.（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象都经过A2,−4、B−4,m两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=−8x；一次函数的表达式为y=−x−2
(2)12
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）利用分解图形求面积法，利用SΔABC=SΔACD+SΔBCD，求面积即可．
【详解】（1）将A(2，-4)代入y=kx得到−4=k2，即：k=−8．
∴反比例函数的表达式为：y=−8x．
将B(-4，m)代入y=−8x，得：m=−8−4=2，
∴B−4,2，
将A，B代入y=ax+b，得：
2a+b=−4−4a+b=2，解得：a=−1b=−2
∴一次函数的表达式为：y=−x−2．
（2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．
令y=−x−2=0，则x=−2，
∴点D的坐标为(-2，0)，
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)，
∴点C、点D横坐标相同，
∴CD∥y轴，
∴SΔABC=SΔACD+SΔBCD
=12CD⋅AE+12CD⋅BF
=12CD⋅AE+BF
=12CD⋅xA−xB
=12×4×6
=12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
30.（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y=−2x的图象在第二象限相交于点A(−1,m)，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD=CD．
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA，求a的值．
【答案】(1)y=−x+1
(2)1−22或1+22
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得A(−1,2)，由AD⊥x轴可得AD=2,OD=1，进一步求出点C(1,0)，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）由勾股定理求出AC的长，再根据CE=CA且E在x轴上，分类讨论得a的值．
（1）
解：（1）∵点A(−1,m)在反比例函数y=−2x的图象上，
∴m=−2−1=2
∴A(−1,2)
∵AD⊥x轴
∴AD=2,OD=1
∴CD=AD=2
∴OC=CD−OD=2−1=1
∴C(1,0)
∵点A(−1,2),C(1,0)在一次函数y=kx+b的图象上
∴−k+b=2k+b=0
解得k=−1b=1
∴一次函数的表达式为y=−x+1．
（2）
在Rt△ADC中，由勾股定理得，AC=AD2+CD2=22+22=22
∴AC=CE=22
当点E在点C的左侧时，a=1−22
当点E在点C的右侧时，a=1+22
∴a的值为1−22或1+22．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
31．（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴上，OA=5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，若反比例函数y=kxk≠0的图象经过A′点，则k的值为（）
A．9B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，设A′m,n，则OF=m,A′F=n，通过证明△A′OF∽△DA′E，得到m5−n=nm−53=3，解方程组求得m、n的值，即可得到A′的坐标，代入y=kxk≠0即可求得k的值．
【详解】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D=90°，
∴∠OA′F+∠DA′E=90°，
∵∠OA′F+∠A′OF=90°，
∴∠DA′E=∠A′OF，
∵∠A′FO=∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
∴OFA′E=A′FDE=OA′A′D，
设A′m,n，
∴OF=m,A′F=n，
由折叠得：OA′=OA，A′D=AD，
∵OA=5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
∴OA=BC=AB=5，AD=53，OA′A′D=OAAD=ABAD=3，
∴DE=m−53，
易得四边形OAEF是矩形，
∴EF=OA=5，
∴A′E=5−n，
∴m5−n=nm−53=3，
解得：m=3，n=4，
∴A′3，4，
∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A′，
∴k=3×4=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质等知识，求得A′的坐标是解题的关键．
32．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，与反比例函数y=kxk≠0的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，OE=2，连接DE．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△CDE的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式x+1>kx的解集．
【答案】(1)y=6x
(2)152
(3)−32
【分析】（1）根据一次函数表达式先求出点A，B的坐标，可得OA=OB=1，从而得到∠BAO=45°，进而得到△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE=3，从而得到点C坐标，即可求出k值；
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用12乘以CE乘以C、D两点横坐标之差求出△CDE的面积；
（3）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：对于一次函数y=x+1，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=−1，
∴点A−1,0,B0,1，
∴OA=OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∵CE⊥x，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵OE=2，
∴AE=CE=3，
∴C2,3，
把C2,3代入y=kxk≠0得：k=2×3=6，
∴反比例函数表达式为y=6x；
（2）解：联立：y=x+1y=6x，
解得：x=−3y=−2或x=2y=3，
∴点D的坐标为−3,−2，
∴S△CDE=12xC−xD×CE=12×3×2−−3=152；
（3）解：观察图象得：当−32时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式x+1>kx的解集为−32．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，三角形面积，难度不大，解题时要注意结合坐标系中图象作答．
33．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=6，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为−2,2，反比例函数y=kxk≠0在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段AC扫过的面积．
(3)若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长．
【答案】(1)D(4,2)，k=8
(2)24
(3)8
【分析】（1）利用平行于x轴的直线上的点纵坐标相等得出A的纵坐标，再用距离确定出点D的横坐标，将D的坐标代入y=kx，利用待定系数法即可求出k；
（2）利用平行四边形的性质得出点C点坐标为(2,−2)．设点C向上平移a个单位，根据C′(2,−2+a)在y=8x的图象上，列出方程2(−2+a)=8，求出a=6，那么平移过程中线段AC扫过的面积是▱AA′C′C的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算；
（3）利用菱形的性质得出直线PQ的解析式，根据点P，Q在双曲线上求出点P，Q的坐标，再根据两点间的距离公式求出PQ的长．
【详解】（1）解：设AD与y轴交于点E，
∵AD∥x轴，
∴A、D的纵坐标相同．
∵A(−2,2)，
∴AE=2，
∴ED=AD−AE=4，
∴D(4,2)．
∵D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=4×2=8；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，原点O是对角线AC的中点，
∴C与A关于原点对称，
∴C(2,−2)．
设点C向上平移a个单位，则C′(2,−2+a)在y=8x的图象上，
∴2(−2+a)=8，解得a=6．
设CC′与AD相交于F，
则AF=4．
∴平移过程中线段AC扫过的面积是6×4=24；
（3）解：∵四边形APCQ是菱形，
∴PQ⊥AC．
∵直线AC的解析式为y=−x，
∴直线PQ的解析式为：y=x，
设P点的坐标为(a,a)且a>0，则点Q的坐标为(−a,−a)，
∵P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，
∴a=8a，
解得：a=22，
故P的坐标为：(22,22)，Q的坐标为(−22,−22)，
∴PQ=(22+22)2+(22+22)2=8．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，坐标与图形变化−平移．解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是求出平移的距离，解（3）的关键是确定出直线PQ的解析式．
34．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝b−3x的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
【答案】(1)a＝﹣43，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4）
(2)见解析
(3)sin∠CDB＝45
【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝b−3x计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可；
（2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO；
（3）先计算出AO的长度，再根据△CPD∽△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案．
（1）
解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，
解得：a＝﹣43，
∴正比例函数解析式为y＝﹣43x；
将点P（﹣3，4）代入y＝b−3x，得：﹣12＝b﹣3，
解得：b＝﹣9，
∴反比例函数解析式为y＝﹣12x．
∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A的坐标为（3，﹣4）．
（2）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）
解：∵点A的坐标为（3，﹣4），
∴AE＝4，OE＝3，AO=AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝AEAO=45．
【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识．
35．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为(4,2)，反比例函数y=kx的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n，连接OD，OE．
(1)求反比例函数y=kx的表达式和点E的坐标；
(2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y=kx图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=4x，(4,1)；
(2)(0,32)；
(3)(−4,−1)或(43,3)．
【分析】（1）根据矩形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分DE为平行四边形的边、DE为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形OCBA为矩形，点B的坐标为(4,2)，点D为AB的中点，
∴点D的坐标为(2,2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点D，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的表达式为：y=4x，
由题意得，点E的横坐标为4，
则点E的纵坐标为：44=1，
∴点E的坐标为(4,1)；
（2）解：设点M的坐标为(0,n)，
∵点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，
∴S△ODE=2×4−12×2×2−12×4×1−12×2×1=3，
由题意得：12×4×n=3，
解得：n=32，
∴△MBO的面积等于△ODE的面积时，点M的坐标(0,32)；
（3）解：当DE为平行四边形的边时，DE=PQ，DE∥PQ，
∵点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，点P的纵坐标为0，
∴点Q的纵坐标为±1，
当y=1时，x=4（不合题意，舍去）
当y=−1时，x=−4，
则点Q的坐标为(−4,−1)，
当DE为平行四边形对角线时，
∵点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，
∴DE的中点坐标为(3,32)，
设点Q的坐标为(a,4a)，点P的坐标为(x,0)，
则4a2=32，
解得：a=43，
∴点Q的坐标为(43,3)，
综上所述：以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为(−4,−1)或(43,3)．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
36．（2022·山东济南·统考二模）如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数y=kx(k>0)的图像交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S△AOG＝3．
(1)k＝ ；
(2)求证：AD ＝CE；
(3)如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积
【答案】(1)k=6；
(2)证明见解析；
(3)S平行四边形OABC＝18
【分析】（1）设A（m，n），由题意 12•OG•AG=3，推出mn=6，由点A在y=kx上，推出k=mn=6．
（2）如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x1,y1），E（x2,y2）．首先证明EM=﹣k′AN，EM=﹣k′MC，推出AN=CM，再证明△DAN≌△ECM，即可解决问题．
（3）如图2中，连接GD，GE．由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出S△ADG=S△AGE=S△GEC=3，求出△AOC的面积即可解决问题．
（1）
解：设A（m，n），
∵12•OG•AG=3，
∴12•m•n=3，
∴mn=6，
∵点A在y=kx上，
∴k=mn=6．
故答案是：6；
（2）
证明：如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x1,y1），E（x2,y2）．
则有y1=k′ x1+b，y2=k′ x2+b，
∴y2﹣y1=k′（x2﹣x1），
∴6x2−6x1= k′ (x2−x1)，
∴﹣k′ x2x1 =6，
∴﹣k′ x1=6x2，
∴y2=﹣k′ x1，
∴EM=﹣k′AN，
∵D（0，b），C（﹣bk′，0），
∴tan∠DCO=ODOC=﹣k′=EMMC，
∴EM=﹣k′MC，
∴AN=CM，
∵AN∥CM，
∴∠DAN=∠ECM，
在△DAN和△ECM中，
∠DAN=∠ECMAN=CM∠DNA=∠EMC=90°，
∴△DAN≌△ECM，
∴AD=EC．
（3）
解：如图2中，连接GD，GE．
∵EA=EC，AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴S△ADG=S△AGE=S△GEC，
∵AG∥OD，
∵S△AOG=S△ADG=3，
∴S△AOC=3+3+3=9，
∴平行四边形ABCD的面积=2•S△AOC=18．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，本题的突破点是证明AN=CM，题目比较难．
37．（2022·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(3,4)和点B(6,t)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；
(2)若在x轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上，当线段A1B1与x轴有交点时，求n的取值的最大值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=12x，直线AB的解析式为y=−23x+6
(2)△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为(52,0)或(3,0)或(9,0)
(3)当线段A1B1与x轴有交点时，n的取值的最大值为7916
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设P(t,0)，表示出PA2，PB2，AB2，根据ΔPAB为等腰三角形，则PA=PB或PA=AB或PB=AB，分别建立方程求解即可得出答案；
（3）由于点A关于直线y=mx+n的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=mx+n必与直线OA垂直，当点B1落到x轴上时，n的取值的最大，根据BB1∥OA，求出点B1的坐标，再将BB1的中点坐标代入y=−34x+n，即可求得n的最大值．
【详解】（1）∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A3,4和点B(6,t)，
∴k=3×4=6t，
∴k=12，t=2，
∴反比例函数的表达式为y=12x，
设直线AB的解析式为y=cx+d，
∵A(3,4)，B6,2，
∴3c+d=46c+d=2，
解得：c=−23d=6，
∴直线AB的解析式为y=−23x+6；
（2）设Pt,0，
则PA2=(t−3)2+(0−4)2=t2−6t+25，
PB2=(t−6)2+(0−2)2=t2−12t+40，
AB2=(3−6)2+(4−2)2=13，
∵△PAB为等腰三角形，
∴PA=PB或PA=AB或PB=AB，
当PA=PB时，PA2=PB2，
∴t2−6t+25=t2−12t+40，
解得：t=52，
∴P(52,0)；
当PA=AB时，PA2=AB2，
∴t2−6t+25=13，
∵Δ=(−6)2−4×1×12=−12<0，
∴此方程无解；
当PB=AB时，PB2=AB2，
∴t2−12t+40=13，
解得：t1=3，t2=9，
∴P(3,0)或9,0；
综上所述，△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为52,0或3,0或9,0；
（3）当点B1落到x轴上时，n的取值的最大，如图，

设直线OA的解析式为y=ax，
∵点A的坐标为3,4，
∴3a=4，即a=43．
∴直线OA的解析式为y=43x.
∵点A1始终在直线OA上，
∴直线y=mx+n与直线OA垂直．
∴43m=−1．
∴m=−34．
∴y=−34x+n，
由于BB1//OA，因此直线BB1可设为y=43x+e．
∵点B的坐标为6,2，
∴43×6+e=2，即e=−6．
∴直线BB1解析式为y=43x−6．
当y=0时，43x−6=0.则有x=92．
∴点B1的坐标为92,0．
∵BB1的中点坐标为(6+922,2+02)即(214,1)，
点(214,1)在直线y=−34x+n上，
∴−34×214+n=1．
解得：n=7916．
故当线段A1B1与x轴有交点时，n的取值的最大值为7916．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式等知识，分类讨论思想是本题解题的关键．
38．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象交于Aa,4和B−4,−2，与y轴交于点C．
(1)求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y=kx+b的图象．
(2)点D4，b在一次函数y=kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数图象于点E，连接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≥mx的解集．
【答案】(1)y=8x；y=x+2；图象见解析
(2)13
(3)x≥2或−4≤x＜0
【分析】（1）反比例函数y=mxm≠0过B−4，−2，求出m，求得反比例函数的解析式；把点Aa，4代入求得的反比例函数的解析式，求出a，把A2，4和B−4，−2代入一次函数y=kx+bk≠0，求出k、b，根据点A、B的坐标画出函数图象．
（2）四边形ABFE在平面直角坐标系中如图所示：先求出ME=43，根据S四边形ABFE=S梯形MFBN−S△EMA−S△ANB计算即可；
（3）根据两函数交点的横坐标求出关于x的不等式kx+b≥mx的解集．
【详解】（1）解：∵反比例函数y=mxm≠0过B−4，−2，
∴m=8，
∴反比例的解析式：y=8x；
∵反比例函数y=8x过Aa，4，
∴a=2，
∴A2，4，
∵把A2，4和B−4，−2代入一次函数y=kx+bk≠0
2k+b=4−4k+b=−2，
解得k=1，b=2，
∴一次函数的解析式：y=x+2；
一次函数y=x+2的图象如下：
（2）四边形ABFE在平面直角坐标系中，过点A作y轴的平行线，交DF于点M，且与过点B平行于x轴的直线交于点N，如图所示：
∵A2，4，B−4，−2，
∴N2，−2，点M的横坐标为2，
∵D4，b，且在一次函数y=x+2图象上，
∴b=4+2=6，
∴D4，6，
∵DF⊥y轴，
∴E的纵坐标为6，M(2，6)
把y=6，代入y=8x；
得x=43，即EF=43，
∴ME=MF−EF=2−43=23，AM=6−4=2，
∵A2，4，B−4，−2，N2，−2，M(2，6)，
∴MN=6−−2=8，BN=2−−4=6，AN=4−−2=6，
∴S四边形ABFE=S梯形MFBN−S△EMA−S△ANB
=12MF+BN·MN−12ME·AM−12BN·AN
=122+6×8−12×23×2−12×6×6 =13；
（3）由图象可得，当x≥2或−4≤x＜0时，kx+b≥mx．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比例函数解析式的步骤，其中求三角形的面积转化为面积之差是解题关键．
39．（2022·河北承德·统考二模）如图，直线y=12x与反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象交于点Bm,1，A是反比例函数图象上一点．直线OA与y轴的正半轴的夹角为α，tanα=12．设直线AB与x轴交于点D，直线l经过点D，与y轴交于点H，设点H的纵坐标为t．
(1)求k的值及点A的坐标．
(2)t为何值时，直线l过△AOD的重心？
(3)设点P是x轴上一动点，若△PAB的面积为2，直接写出P点的坐标．
【答案】(1)k=2，A(1,2)
(2)t=65
(3)(-1,0)和(7,0)
【分析】（1）过A点作AN⊥x轴于N点，设OA的中点为M点，根据B(m,1)在直线y=12x上即可求出B点坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据AN∥y轴，得到∠OAN=∠AOH=α，即可得到AN=2ON，结合A点在y=2x上即可求出A点坐标；
（2）设直线AB的解析式为：y=ax+b，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，则有D点坐标，结合H点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式，直线l的经过△AOD的重心，且直线l过D点，可知直线l的经过OA的中点，根据A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，可知OA中点的坐标为(12,1)，将(12,1)代入直线l的解析，即可求出t；
（3）分三种情况讨论：第一种情况，当P点在O点左侧时；第二种情况，当P点在OD之间时；第三种情况，当P点在D点右侧时，即可求解．
【详解】（1）过A点作AN⊥x轴于N点，设OA的中点为M点，如图，
∵B(m,1)在直线y=12x上，
∴当y=1时，x=2，即m=2，
∴B点坐标为(2,1)，
∵B点在反比例函数y=kx上，
∴k=xy=1×2=2，
∴k=2，反比例函数的解析式为y=2x，
∵AN⊥x，
∴AN∥y轴，
∴∠OAN=∠AOH=α，
∵tanα=12，
∴在Rt△AON中，tan∠OAN=tanα=12=ONAN，
∴AN=2ON，
∵A点在y=2x，
∴AN=2ON，即2ON=2ON，
∴ON=1，AN=2，
∴A点坐标为(1,2)；
（2）∵A点坐标为(1,2)，B点坐标为(2,1)，
∴设直线AB的解析式为：y=ax+b，
∴a+b=22a+b=1，解得a=−1b=3，
∴直线AB的解析式为：y=−x+3，
∴当y=0时，x=3，即D点坐标为(3,0)，
∵H的纵坐标为t，
∴H的坐标为(0,t)，
∵D点坐标为(3,0)，H的坐标为(0,t)，
∴设直线l的解析式为：y=mx+n，
∴3m+n=0n=t，解得a=−t3n=t，
∴直线l的解析式为：y=−t3x+t，
∵直线l的经过△AOD的重心，且直线l过D点，
∴直线l的经过OA的中点，
∵A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，
∴OA中点的坐标为(12,1)，
∴将(12,1)代入y=−t3x+t，即有t=65，
即当t=65时直线l的经过△AOD的重心；
（3）过B点作BG⊥x轴于G点，
∵A(1,2)、B(2,1)、D(3,0)，
∴AN=2，BG=1，OD=3，
∵P点在x轴上，
设P点坐标为(p,0)
分类讨论：
第一种情况，当P点在O点左侧时，
如图，连接AP、BP，
∴OP=-p，
∴PD=OP+OD=-p+3=3-p，
∴S△PAD=12×PD×AN=12×(3−p)×2=3−p，S△PBD=12×PD×BG=12×(3−p)×1=3−p2，
∴S△PAB=S△PAD−S△PBD=3−p−3−p2=3−p2，
∵S△PAB=2，
∴3−p2=2，解得p=-1，
即此时P点坐标为：(-1,0)；
第二种情况，当P点在OD之间时，即0＜p＜3，
如图，连接AP、BP，
∵P(p,0)，
∴OP=p，PD=OD-OP=3-p，
∴S△OAD=12×OD×AN=12×3×2=3，S△PAO=12×PO×AN=12×p×2=p，S△PBD=12×PD×BG=12×(3−p)×1=3−p2，
∵S△PAB=S△OAD−S△PAO−S△PBD=3−p−3−p2=3−p2，
∵S△PAB=2，
∴3−p2=2，解得p=-1，
∵0＜p＜3，
∴此时不符合题意舍去，
第三种情况，当P点在D点右侧时，即p＞3，
如图，连接AP、BP，
∵P(p,0)，p＞3，
∴OP=p，DP=OP-OD=p-3，
∴S△OAD=12×OD×AN=12×3×2=3，S△OAP=12×OP×AN=12×p×2=p，S△PBD=12×PD×BG=12×(p−3)×1=p−32，
∵S△PAB=S△OAP−S△OAD−S△PBD=p−3−p−32=p−32，
∵S△PAB=2，
∴p−32=2，解得p=7，
即P点坐标为：(7,0)；
综上：P点坐标为(-1,0)、(7,0)．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、锐角三角函数、三角形的重心的性质、求解三角形的面积、求一次函数和反比例函数解析式等知识，理解三角形重心的含义是解答本题的关键．
40．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=−12x(x<0)的图像交于点B(−6,b)．
(1)求b，k的值．
(2)点C是线段AB上一点（不与A，B里合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为8，求点C的坐标．
(3)将（2）中的△OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数的图像上，求此时点D的对应D′的坐标．
【答案】(1)b=2，k=-1
(2)C（-2，-2）
(3)D′的坐标（-2-23，6+23）
【分析】(1)把B（-6，0）代入反比例函数解析式y=−12x(x<0)中，确定b值，到B的坐标，再将其代入一次函数解析式即可确定k值．
（1）
把B（-6，b）代入反比例函数解析式y=−12x(x<0)中，
得b=−12−6=2，
∴ B（-6，2），
∴ 2=−6k−4，
解得k=-1．
（2）
∵点C在直线y=-x-4上，
∴设点C(m，-m-4),其中m＜0，
∵过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，
∴点D(m，−12m),其中m＜0，
∴CD=−12m-(-m-4)=−12m+m+4
∵△OCD的面积为8，
∴12(−12m+m+4)|m|=8，
整理，得m2+4m+4=0，
解得m=-2，
∴点C(-2，-2) ．
（3）
∵△OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到△O′C′D′，且点O的对应点O′，
∴OO′∥AB，
∵直线AB的解析式为y=-x-4，
∴OO′的解析式为y= -x，
设点O′(n，-n) ，其中n＜0，
∵点O的对应点O′恰好落在该反比例函数的图像上，
∴−n=−12n，
解得n=−23，n=23（舍去），
故平移规律是向左平移23个单位长度，再向上23个单位长度，
∵点D(-2，6)，
∴D′的坐标（-2-23，6+23）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，平移的规律，熟练掌握待定系数法，平移规律是解题的关键．
【考点9 实际问题与反比例函数】
41．（2022·湖南衡阳·台州市书生中学校考一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
(1)a=_____________；
(2)当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当x>100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【答案】(1)19
(2)y=0.2x−1；y=1900x
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴5k+b=0100k+b=19
解得：，k=0.2b=−1
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝kx，
∵经过点（100，19），
∴k100 ＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝1900x；
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝1900x＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
42．（2022·浙江金华·校联考二模）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
(2)①函数表达式：y=1300x,00.7，②小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内．
【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；
（2）①直接利用待定系数法求出函数解析式进而得出答案；
②分别利用y=50，y=23得出x的值．
(1)
设生产1支单针疫苗需要xmin，生产1支双针疫苗需要ymin．
则：3x+2y=192x+y=11，
解得：x=3y=5，
所以，生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min．
(2)
①设函数解析式为y=kx，将(0.7,910)代入，
解得k=1300，
故y=1300x；
设函数解析式为y=mx，将(0.7,910)代入，
解得m=637，
故y=637x，
两段函数对应的表达式为y=1300x,00.7；
②当y=50时，x=12.74，当y=23时，x=27.7，
所以小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
43．（2022·浙江丽水·统考二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本y（万元/件）的对应关系如下表所示：
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
【答案】(1)反比例函数，理由见解析，y=18x
(2)①3.6万元/件；②6万元以上
【分析】（1）设y=kx+b利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；再设y=kx（k为常数，k≠0），求出解析式代入对应值验证即可；
（2）①将x=5代入计算可得；②将y=3代入计算可得．
(1)
设y=kx+b（k，b为常数，k≠0），
∴6=3k+b4.5=4k+b，解这个方程组得k=−1.5b=10.5，
∴y=−1.5x+10.5．
当x=2.5时，y=6.75≠4．
∴一次函数不能表示其变化规律．
设y=kx（k为常数，k≠0），
∴7.2=k2.5，
∴k=18，
∴y=18x．
当x=3时，y=6；当x=4时，y=4.5；当x=4.5时y=4；
∴所求函数为反比例函数y=18x．
(2)
①当x=5时，y=3.6，
∴甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件．
②当y=3时，x=6，
∵y<3，
∴x>6，
∴需要投入维护资金6万元以上．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键．
44．（2022·河北保定·统考模拟预测）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设净化药物的消耗量为xkg，室内甲醛含量为ymg/m3，开机后净化器开始消耗净化药物．当01时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为th（t>0），并有以下两种工作模式：
模式Ⅰ室内甲醛含量ymg/m3与净化药物的消耗量xkg成反比，且当x=2时，y=0.9；
模式Ⅱ净化药物的消耗量由档位值k（0已知开机前测得该室内的甲醛含量为1.8mg/m3．
(1)在模式Ⅰ下，直接写出y与x的关系式（不写x的取值范围）；
(2)在模式Ⅱ下：
①用k，t表示x，用t表示d；
②当k=5时，求y与x的关系式（不写x的取值范围）．
(3)若采用模式Ⅱ去除甲醛，当k=5，y=1mg/m3时，与模式Ⅰ相比，消耗相同的净化药物，哪种模式去除甲醛的效果好？请通过计算说明理由．
【答案】(1)y=95x
(2)①d=5t2；②y=−15x−12+1.8
(3)模式Ⅰ去除甲醛的效果好，两者相差0.4mg/m3，理由见解析
【分析】（1）根据题意将x=2，y=0.9代入求解即可；
（2）①根据题意可得x=kt+1，设d=at2，a>0，将t=2时，d=20代入求解即可；②k=5时，x=5t+1，化简为t=x−15，将其代入y中即可得；
（3）根据（2）结论代入得出x=3，将其代入模式Ⅰ求解，然后比较即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：当x=2时，y=0.9；
∴xy=1.8，
∴y=1.8x=95x．
（2）①由题意可得，x=kt+1，
设d=at2，a>0，
由t=2时，d=20，
∴20=a×22，a=5，
∴d=5t2．
②k=5时，x=5t+1，
又y=1.8−d=1.8−5t2，
∴t=x−15，
代入y中，得y=1.8−5(x−15)2，
化简得，y=−15(x−1)2+1.8．
（3）对于模式Ⅱ，当k=5时，
y=−15(x−1)2+1.8，
当y=1mg/m3时，得1=−15(x−1)2+1.8，
解得x1=3，x2=−1（舍去）．
当x=3时，对于模式Ⅰ，有y=1.8x=1.83=0.6mg/m3，
1−0.6=0.4mg/m3，
∴模式Ⅰ去除甲醛的效果好，两者相差0.4mg/m3．
【点睛】题目主要考查反比例函数及二次函数的应用，一次函数的应用等，理解题意，列出相应函数关系式是解题关键．
45．（2022·山东临沂·统考一模）为了探索函数y=x+1x(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法，列表：
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x1,y1),(x2,y2)在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0(3)某农户积极响应厕所改造工程，要建造一个图2所示的长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y关于x的函数关系式；
②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？
【答案】(1)作图见详解
(2)>；<
(3)①y与x的函数关系式为： y=2.5+x+1x
②水池底面一边的长x应控制在12≤x≤2．
【分析】(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；
(2)利用图象法解决问题即可；
(3)①总造价=上盖的造价+底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可；
②转化为一元二次不等式，结合第(1)小题的图象法，解决问题即可．
【详解】（1）如图，作出函数的图像；
（2）因为点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，根
据函数图象和表格容易得到：
若0 y2
若1故答案为：>，<
（3）①底面面积为1平方米，一边长为x米，
∴与之相邻的另一边长为1x米，
∴水池侧面面积的和为：1×x×2+1×1x×2=2(x+1x)平方米；
∵下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米；
∴y=1+1.5+2(x+1x)×0.5
即：y与x的函数关系式为： y=2.5+x+1x
②∵该农户预算不超过5千元，即y≤5
∴x+1x+2.5≤5
∴x+1x≤2.5
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，
12≤x≤2，
因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长x应控制在12≤x≤2．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用函数图像解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点10 反比例函数与几何综合】
46．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=mx x>0的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．
【答案】(1)当n=4时，ΔABO的面积最大
(2)B0,92
【分析】（1）由m+n=8得m=8−n，利用三角形面积公式得出SΔABO=12OB⋅OA=12n(8−n)，转化为顶点式即可求解；
（2）过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，根据SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD得BF=EF=OE，得出BF=EF=OE=13n，根据点C在反比例函数y=mx x>0上，得出C(3mn,13n)，代入直线AB的解析式，即可求解．
（1）
解：∵m+n=8，
∴m=8−n，
∵点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，
∴SΔABO=12OB⋅OA=12n(8−n)=−12(n−4)2+8，
∴n=4时，SΔABO取最大值，最大值为8，
即当n=4时，ΔABO的面积最大；
（2）
解：如图，
∵SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，
∴BD=CD=AC，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，
∴DF∥CE∥OA，
∴BF=EF=OE，
∵点B0,n n＞0，
∴OB=n，
∴BF=EF=OE=13n，
∴点C的纵坐标为13n，
∵点C在反比例函数y=mx x>0的图象上，
∴C(3mn,13n)，
∵点Am，0，B0,n m＞0,n＞0，
∴直线AB的解析式为y=−nmx+n，
∵点C在直线AB上，
∴−nm×3mn+n=13n，
解得n=92，
∴B0,92．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展得出的结论，解第一问的关键是建立SΔABO与n的函数关系式，解第二问的关键是得出BF=EF=OE=13n．
47．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：
(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；
(2)证明：O、M、E三点共线；
(3)证明：∠EOB=13∠AOB．
【答案】(1)四边形CEDM是矩形，证明见解析
(2)O、M、E三点共线，证明见解析
(3)∠BOE=13∠AOB，证明见解析
【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形CMDE是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线OE的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得CN=MN=ND=NE，可得∠CNO=2∠CEO，由CD=2OC，可求∠AOB=3∠BOE，可得结论．
【详解】（1）证明：∵CE∥x轴，MD∥x轴，CM∥y轴，DE∥y轴，
∴CE∥MD，CM∥DE，
∴四边形CMDE是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，CE∥x轴，MD∥x轴，
∴CE⊥MD，
∴四边形CMDE是矩形；
（2）解：设点Ca,1a，点Db,1b，
∴点Eb,1a，点Ma,1b，
∴直线OE的解析式为：y=1abx，
当x=a时，y=1b，
∴点M在直线OE上，即O、M、E三点共线；
（3）解：∵O、M、E三点共线，
∵四边形CMDE是矩形，
∴CN=MN=ND=NE，
∴∠DCE=∠CEN，
∴∠CNO=2∠CEO，
∵CE∥x轴，
∴∠BOE=∠CEO，
∴∠CNO=2∠EOB，
∵CD=2OC，
∴OC=CN，
∴∠CNO=∠CON，
∴∠AOB=∠CON+∠EOB=3∠BOE，
∴∠BOE=13∠AOB．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，证明四边形CMDE是矩形是解题的关键．
48．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y=kx (k>0,x＜0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD．
(1)求直线BC的表达式．
(2)求tan∠DAB的值．
(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x>0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线BC的表达式为y=−34x−154
(2)tan∠DAB=932
(3)存在，当点N的坐标为(167,−214)或(16,−34)时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形
【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝−12x（x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股定理得到OA＝32+42=5，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方程组即可得到结论；
（2）把B（−1，−3）代入y＝kx得y＝3x，解方程组得到D（−4，−34），过D作DE⊥AB于E，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论．
【详解】（1）∵反比例函数y=−12x(x>0)经过点Aa,−3，
∴−3=−12a，
∴a=4，
∴A(4,−3)，
∴OA=32+42=5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC=AB=OA=5，
∴C−5,0，B−1,−3，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则−5m+n=0−m+n=−3，
解得m=−34n=−154，
∴直线BC的表达式为y=−34x−154；
（2）∵B(−1,−3)，
∴k=−1×(−3)=3，
∴y=3x，
解y=−34x−154y=3x得，x=−4y=−34或x=−1y=−3 (不合题意舍去)，
∴D(−4,−34)，
如图1，过D作DE⊥AB于E，
∴DE=yD−yB=94，AE=xA−xD=8，
∴tan∠DAB=DEAE=948=932；
（3）存在，理由如下，
①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，
∴yD−yB=yE−yN，
∴−34−(−3)=−3−yN，
∴yN=−214，
把yN=−214代入y=−12x得，xN=167，
∴N=(167,−214)；
②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，
∴yD−yB=yN−yE，
∴−34−(−3)=yN−(−3)，
∴yN=−34，
把yN=−34代入y=−12x得，xN=16，
∴N(16,−34)，
综上所述，当点N的坐标为(167,−214)或(16,−34)时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，平行四边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
49．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A(−1,0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=kx(x>0)交于点C，且AC=3AB，BD∥x轴交反比例函数y=kx(x>0)于点D．
(1)求b、k的值；
(2)如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y=kx(x>0)于点F.若EF=13BD，求m的值．
(3)如图2，在(2)的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使得△ODH与△ODG相似(不含全等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，18
(2)m=1
(3)存在，(3,4)或(1,3)或(92,272)或(−152,152)
【分析】（1）将点A代入一次函数求出b的值，然后根据AC=3AB求出点C的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）将E点横坐标代入y=3x+3，求出纵坐标，根据EF∥BD即可知道F的纵坐标，代入反比例函数的解析式，求出F的横坐标，即可表示出EF的长度，同理将B点纵坐标代入反比例函数求出D点横坐标，从而表示出BD的长，根据EF=13BD列方程即可求解m的值；
（3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当∠HOD=∠DOG时，当∠HOD=∠DGO时，当∠HOD=∠ODG时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．
【详解】（1）作CM⊥x轴于M，如图1：

∵∠BOA=∠CMA，∠BAO=∠CAM，
∴△BOA∽△CMA，
∵直线y=3x+b经过点A−1,0，
∴−3+b=0，
解得b=3，
∴直线解析式为：y=3x+3，
∴B0,3，
∵AC=3AB，
∴CM=3BO=9，AM=3OA=3，
∴C点坐标为2,9，
∴将C点坐标代入y=kx，
得k=18．
（2）∵BD∥x轴，
∴D点的纵坐标为3，代入y=18x，
得x=6，
∴D点坐标为6,3，
将E点横坐标代入y=3x+3，
得y=3m+3，
∵EF∥BD
∴F点纵坐标为3m+3，
代入y=18x，
得x=6m+1，
∴F点坐标为6m+1,3m+3，
∵EF=13BD，
∴6m+1−m=13×6，
解方程得m=1或−4(舍)，
∴m=1．
（3）存在，理由如下：
如图2，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
由(2)知D(3,6)，F(6,3)，
∴直线FD的解析式为：y=−x+9，OQ=6，DQ=3，
∴OG=9，
∴DQ：GQ=3，
∴∠QGD=∠QDG=45°．
∴OD=35，DG=32．
Ⅰ、当∠HOD=∠DOG时，如图2所示，设BD与OH交于点P，

由2知，BD//x轴，
∴∠BDO=∠DOG，
∴∠BDO=∠HOD，
∴OP=PD，
设OP=m，则BP=6−m，
在Rt△OBP中，由勾股定理可得，32+m2=(6−m)2，解得m=154；
∴BP=94；
∴P(94,3)，
∴直线OP的解析式为：y=43x；
①若△ODG∽△ODH，则OD：OD=OG：OH=1，不符合题意，舍去；
②若△ODG∽△OHD，
∴OD：OH=OG：OD，即35：OH=9：35，
解得OH=5，
设H(3t,4t)，
∴(3t)2+(4t)2=52，
解得t=1，负值舍去，
∴H(3,4)；
Ⅱ、当∠HOD=∠DGO时，

①若△ODG∽△DHO，如图4，
∴∠DOG=∠ODH，DG：OH=OG：DO，
∴DH//OG，即点H在BD上，32：OH=9：35，
∴OH=10，
∴BH=1，
∴H(1,3)，直线OH的解析式为：y=3x；
②若△ODG∽△HDO，
∴DG：OD=OG：OH，即32：35=9：OH，
解得OH=9102，
设H(t,3t)，
∴t2+(3t)2=(9102)2，
解得t=92，负值舍去，
∴H(92,272)；

Ⅲ、当∠HOD=∠ODG时，OH//EG，
∴直线OH的解析式为：y=−x；
①若△ODG∽△DOH，则OD：OD=OG：DH=1，不符合题意，舍去；
②若△ODG∽△HOD，如图5，
∴OD：OH=DG：OD，即35：OH=32：35，
解得OH=1522，
设H(t,−t)，
∴t2+(−t)2=(1522)2，
解得t=−152，正值舍去，
∴H(−152,152)；

综上，符合题意的点H的坐标为：3,4或1,3或(92,272)或(−152,152).
【点睛】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
50．（2022·浙江宁波·校考三模）我们定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC．在所得的△ACP，△ABP，△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心．
(1)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．请在图中的格点中，画出△ABC的相似心．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH．
①∠BMA的度数是 ．
②求证：点O为△MHG的相似心．
(3)如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数y＝－23x（x＜0）的图象上，∠OHG＝30°．
①求点G的坐标．
②若点E为△OHG的相似心，连结OE，直接写出线段OE的长．
【答案】(1)见解析
(2)①∠BMA=45°；②见解析
(3)①OG=2；②OE的长为61313或277
【分析】（1）利用相似三角形的判定，找出格点P即可；
（2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠ABM+∠MAB=12（180°+90°）=135°，从而得出答案；
②作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，垂足分别为Q、P，可得四边形MQOP为正方形，利用正方形的性质得∠MOH=∠MOG=135°，再根据∠HMO+∠GMO=45°，∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45°，得∠GMO=∠MHO，说明结论成立；
（3）①由（2）知△OMH∽△OGM得，OM2=OG•OH，则OG•OH=43，再根据∠OHG=30°，知OH=3OG，可得答案；
②分三种情形：△OEH与△GEH为相似三角形或△OEG与△GEH为相似三角形或△OEG与△OEH为相似三角形，每一种情形再分对应角分别考虑，从而解决问题．
（1）
解：如图1，
∵∠APB=∠APC，APBP=PCAP，
∴△APB∽△CPA，
∴点P为△ABC的相似心；
（2）
解：①∵△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，
∴∠ABM+∠MAB=12（180°+90°）=135°，
∴∠BMA=45°，
故答案为：45°；
②作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，垂足分别为Q、P，
由角平分线的性质得MQ=MP，则四边形MQOP为正方形，
∴∠MOQ=∠MOP=45°，
∴∠MOH=∠MOG=135°，
∵∠HMO+∠GMO=45°，∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45°，
∴∠GMO=∠MHO，
又∵∠MOH=∠MOG=135°，
∴△OMH∽△OGM，
∴点O为△GMH的相似心；
（3）
解：①由上述结论：△OMH∽△OGM得，OM2=OG•OH，
∵MP=MQ，且点M在y=−23x上，
∴OP2=23，则OM2=OG•OH=43，
∵∠OHG=30°，
∴OG=2，
∴G（2，0）；
②（Ⅰ）当△OEH与△GEH为相似三角形时
（当∠EHO与∠GHE为对应角时，△OEH与△GEH是全等三角形，显然不成立；当∠EHO与∠GEH为对应角时，∠GEH+∠GHE=30°，则∠EGH=150°，显然也不成立），
∵△OEH∽△HEG，
∴∠EHO=∠EGH，∠EOH=∠EHG，
OEEH=EHEG=OHHG=32，
∵∠EHO+∠EHG=30°，
∴∠OEG=60°，
在△OEG中，∠OEG=60°，OG=2，
OEEG=34，
过点G作DG⊥OE，垂足为点D，
设OE=3x，则EG=4x，
∵OD=x，DG=23x，OG=2，
∴由勾股定理得x=21313，即OE=61313．
（Ⅱ）当△OEG与△GEH为相似三角形时，
（当∠EGO与∠EGH为对应角时，△OEG与△GEH是全等三角形，显然不成立；当∠EGO与∠GEH为对应角时，∠GEH+∠EGH=60°，则∠EGH=120°，显然也不成立），
∵△OEG∽△GEH，
∴∠EOG=∠EGH，∠EGO=∠EHG，
OEEG=EGEH=OGHG=12，
∵∠EGO+∠EGH=60°，
∴∠OEH=120°，
在△OEH中，∠OEH=120°，OH=23，
OEEH=14，
则与（Ⅰ）同理可得OE=277；
（Ⅲ）当△OEG与△OEH为相似三角形时，
当∠GOE与∠EOH为对应角时，△OEG与△OEH是全等三角形，显然不成立；
当∠EOG与∠EOH为对应角时，∠EOH+∠OEH=90°，则∠OHE=90°，显然也不成立；
当∠EOG与∠OHE为对应角时，∠EOH+∠OHE=90°，则∠GEH=180°，此时点E在斜边GH上，也不成立．
综上所述OE=61313或277．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似形的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分类讨论的数学思想，难度较大． x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
3
4
5
6
7
…
y
…
−27
−13
−25
−12
−23
-1
-2
2
1
23
12
25
…
投入维护资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元/件）
7.2
6
4.5
4
x
…
14
13
12
1
2
3
4
5
…
y
…
174
103
52
2
52
103
174
265
…
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．