中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题18解直角三角形(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题18解直角三角形(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)，共63页。

【考点1 锐角三角函数的定义】
1．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则csB的值为（ ）
A．55B．255C．12D．2
2．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知AB=AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之间的距离BC=8米，则线段AB长为（ ）
A．4csαB．4sinαC．4tanαD．4csa
3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cs∠ADC的值为（ ）
A．21313B．31313C．23D．53
4．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（ ）
A．25B．3C．5D．2
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．mcsα−sinαB．msinα−csαC．mcsα−tanαD．msinα−mcsα
【考点2 锐角三角函数的增减性】
6．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA7．（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝13，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
8．（2022·山东临沂·统考一模）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅csα，阻力臂L2=l⋅csβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
9．（2022·浙江宁波·统考一模）红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（ ）
A．小于30°B．大于30°且小于45°C．等于30°D．大于45°且小于60°
10．（2022·四川成都·统考一模）已知32＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
【考点3 同角三角函数的关系】
11．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α为锐角， csα=13，求tanα−csα1−sinα的值．
12．（2022·广东·九年级统考竞赛）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为5−12；（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形；（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°=______．
13．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+csβ=3，则α=________．
14．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）化简：1−2sinα⋅csα（其中0°≤α<90°）=___________．
15．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．
(1)求sin2A+sin2B的值；
(2)填空：当α为锐角时，sin2α+sin290°−α=______；
(3)利用上述规律，求下列式子的值：sin21°+sin22°+sin23°+⋅⋅⋅+sin289°．
【考点4 互余两角三角函数的关系】
16．（2022·浙江杭州·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，csA=13，则sinB=______．
17．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=csC；④sinα=csβ.其中正确的结论有_____.
18．（2022·四川内江·统考一模）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=75，则sinA−sinB =___．
19．（2012·湖南衡阳·中考真题）观察下列等式
①sin30°=12cs60°=12
②sin45°=22cs=45°=22
③sin60°=32cs30°=32
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．
20．（2022·湖南娄底·统考中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα=0.05,AB=300mm，则AA′=________mm．
【考点5 特殊角的三角函数】
21．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ，sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin45°+30°= 22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为_______．
22．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）已知α为锐角，若3tan2α−4tanα+3=0，则α的度数为______ ．
23．（2022·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若sinA−32+12−csB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是______三角形．
24．（2022·辽宁丹东·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A−4,0，B2,0，点M是y轴上的一个动点，当∠BMA=30°时，点M的坐标为________．
25．（2022·上海静安·统考一模）计算：cs230°−sin230°+ct45°−sin45°tan45°2．
【考点6 解直角三角形】
26.（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，△ABC中，分别以AB、AC为底边向外作等腰△ABD和等腰△AEC，连接DE，点F为BC的中点，连接EF并延长交DB的延长线于点G，DE=154FG，DG=410，若∠G+∠DAE−∠CEF=180°，tan∠DEG=43，则tan∠EDG的值为______．
27.（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sin∠ECD＝35，CE＝5，求⊙O的半径．
28.（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cs∠ABC的值．
29.（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
30.（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，csB=513， AB=13,BC=21．
(1)求AC的长；
(2)求∠BAC的正弦值．
【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
31．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：3≈1.732，结果按四舍五八保留一位小数）
32．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值：3≈1.7，2≈1.4）
33．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
34．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
35．（2022·四川宜宾·统考中考真题）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：3≈1.7，2≈1.4）
【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】
36．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B在A的正东方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方向上，C，E均在B的正北方向．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点A，C之间的距离．（结果保留根号）
37．（2022·重庆·统考二模）一天，爸爸带着他的一儿一女去海边玩，爸爸和哥哥在距海岸线（抽象为直线l）一定距离的A处休息，妹妹带上游泳圈在距海岸线40米的B处游泳．过了一会儿，海浪逐渐变大，妹妹由于过度紧张，无法继续游动，只好在B处呼救，爸爸和哥哥听到妹妹呼救，立刻起身．情急之下，哥哥沿AB方向奔跑，由E处下海，沿EB游向妹妹；爸爸沿AD方向奔跑，由D处下海，再沿DB游向妹妹．如图所示，BD⊥l于点D，点B在点A北偏西37°方向，点D在点A北偏西60°方向，A、E、B三点共线．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）
(1)求点A到海岸线的距离（结果精确到0.1米）；
(2)若爸爸和哥哥在沙滩上奔跑的速度均为2m/s，在水中游泳的速度均为0.5m/s，请用数据说明，爸爸和哥哥谁先到达妹妹身边？
38．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：3≈1.73，2≈1.41，6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？
39．（2022·湖南怀化·统考模拟预测）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：3≈1.73，2≈1.41）
40．（2022·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cs42°≈2940，tan42°≈910）
【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
41．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:3，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10mB．103mC．5mD．53m
42．（2022·山东济南·统考一模）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1:43 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：sin59°≈0.86，cs59°≈0.52，tan59°≈1.66）（ ）
A．158米B．161米C．159米D．160米
43．（2022·内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732）
44．（2022·宁夏·中考真题）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为4,12，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i=3:4（即CEDE=34）．求：
(1)点A的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：3≈1.73）
45．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
【考点10 解直角三角形应用之其他问题】
46．（2022·山东威海·模拟预测）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33° 到40° 之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54 ，tan33°≈0.65 ，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84 ，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
47．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO=15°，AO=30cm，∠OBC=45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)（参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268，2≈1.414）
48．（2022·广东广州·校考二模）C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE，其中AB=17cm,ED=25cm，求出线段BE和CD的长．
（sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75，结果保留小数点后两位）
49．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC=AD=2m，BF=3m．
(1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，2≈1.41）
50．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，3≈1.7）.
计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
专题18 解直角三角形（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 锐角三角函数的定义】
1．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则csB的值为（ ）
A．55B．255C．12D．2
【答案】A
【分析】在直角△EBD中，利用勾股定理即可求得EB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】如图，
在直角△EBD中，BD=2，ED=4，
∴ EB=BD2+ED2=22+42=25，
则csB=BDEB=225=55．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
2．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知AB=AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之间的距离BC=8米，则线段AB长为（ ）
A．4csαB．4sinαC．4tanαD．4csa
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的三线合一求出CD，然后根据余弦的定义求出AC即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，BC=8米，
∴CD=12BC=4米，
在Rt△ADC中，csα=CDAC，
∴AC=4csα，
∴AB=AC=4csα．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟记余弦的定义是解题的关键．
3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cs∠ADC的值为（ ）
A．21313B．31313C．23D．53
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出∠ADC=∠CBA，∠ACB=90°，计算出cs∠CBA即可得到cs∠ADC．
【详解】解：∵AB为直径，CB=3，AC=2，
∴∠ACB=90°，AB2=CB2+AC2，
∴AB=13，
∴cs∠CBA=CBAB=313=31313，
∵AC=AC，
∴∠ADC=∠CBA，
∴cs∠ADC=31313
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
4．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=13，则CD的长为（ ）
A．25B．3C．5D．2
【答案】C
【分析】先根据锐角三角函数值求出AC=25，再由勾股定理求出AB=5,过点D作DE⊥AB于点E，依据三角函数值可得DE=12AE,DE=13BE,从而得BE=32AE，再由AE+BE=5得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=5，从而可求出CD．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，
∴tan∠A=BCAC=12
∴AC=2BC=25,
由勾股定理得,AB=AC2+BC2=(25)2+(5)2=5
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
∵tan∠A=12，tan∠ABD=13，
∴DEAE=12,DEBE=13,
∴DE=12AE,DE=13BE,
∴12AE=13BE
∴BE=32AE
∵AE+BE=5,
∴AE+32AE=5
∴AE=2,
∴DE=1,
在RtΔADE中,AD2=AE2+DE2
∴AD=AE2+DE2=22+12=5
∵AD+CD=AC=25,
∴CD=AC−AD=25−5=5,
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．mcsα−sinαB．msinα−csαC．mcsα−tanαD．msinα−mcsα
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcsα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×csα×tan45°
=mcsα，
∴AB=AD-BD
=（mcsα-msinα）
=m（csα-sinα）．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
【考点2 锐角三角函数的增减性】
6．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA【答案】B
【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；依此即可求解．
【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
7．（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝13，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝13＜12＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
8．（2022·山东临沂·统考一模）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅csα，阻力臂L2=l⋅csβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及csα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时csα的值越来越大，
又∵动力臂L1=L⋅csα，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
9．（2022·浙江宁波·统考一模）红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角（ ）
A．小于30°B．大于30°且小于45°C．等于30°D．大于45°且小于60°
【答案】B
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC=50，根据三角函数的定义得到csB=5060=56，再利用锐角三角函数的增减性进行判断进而得到结论．
【详解】如图，过A作AD⊥BC于D
∵AB=AC=60
∴BD=CD=12BC=50
∴csB=5060=56
∵22＜56＜32
∴22＜csB＜32
∴30°＜∠B＜45°
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质锐角三角函数的定义以及性质，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．
10．（2022·四川成都·统考一模）已知32＜csA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
【答案】20°＜∠A＜30°．
【详解】∵32＜csA＜sin70°，sin70°=cs20°，
∴cs30°＜csA＜cs20°，
∴20°＜∠A＜30°．
【考点3 同角三角函数的关系】
11．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α为锐角， csα=13，求tanα−csα1−sinα的值．
【答案】−3
【分析】根据sin2α+cs2α=1，tanα=sinαcsα，可得sinα，tanα，代入所求式子可得答案．
【详解】解：α为锐角，csα=13，得
sinα=1−cs2α=223，
tanα=sinαcsα=22313=22．
tanα−csα1−sinα=22−131−223=−3．
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用sin2α+cs2α=1，tanα=sinαcsα是解题关键．
12．（2022·广东·九年级统考竞赛）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为5−12；（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形；（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°=______．
【答案】5+14
【分析】如图作三角形，设AB=BC=a，AC=b，先求出cs36°=5+14，再由sin126°=cs36°，进而求出sin126°=5+14．
【详解】解：如图，等腰三角形△ABC，∠ABC=36°，AB=BC=a，AC=b，
取AC中点D，连接BD，可得ba=5−12，
由题意可得sin∠ABC2=b2a=ba⋅12=5−12⋅12=5−14，
所以cs∠ABC=1−2sin2∠ABC2=1−25−142=5+14，
所以cs36°=5+14，
所以sin126°=cs36°=5+14．
故答案为：5+14．
【点睛】本题考查了余弦定理以及诱导公式的应用，读懂题意，熟悉掌握余弦定理和诱导公式是本题的解题关键．
13．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+csβ=3，则α=________．
【答案】60°
【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出csβ=sinα，求出sinα=32，即可得出答案．
【详解】解：∵α+β=90°，
∴csβ=sinα，
∵sinα+csβ=3，
2sinα=3，sinα=32，
∴锐角α=60°.
故答案为：60°.
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出sinα的值．
14．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）化简：1−2sinα⋅csα（其中0°≤α<90°）=___________．
【答案】csα−sinα或sinα−csα或0
【分析】根据α的度数分别讨论，依据三角函数值及算术平方根的性质将式子化简即可．
【详解】解：∵0°≤α<90°，
∴①当0°≤α<45°时，1−2sinα⋅csα=(sinα−csα)2=csα−sinα；
②当45°<α<90°是，1−2sinα⋅csα=(sinα−csα)2=sinα−csα；
③当α=45°时，1−2sinα⋅csα=(sinα−csα)2=0，
故答案为：csα−sinα或sinα−csα或0．
【点睛】此题考查算术平方根的化简，锐角三角函数值的确定，算术平方根的性质，熟记锐角三角函数值的计算公式是解题的关键．
15．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C的对边．
(1)求sin2A+sin2B的值；
(2)填空：当α为锐角时，sin2α+sin290°−α=______；
(3)利用上述规律，求下列式子的值：sin21°+sin22°+sin23°+⋅⋅⋅+sin289°．
【答案】(1)1
(2)1
(3)44.5
【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明；
（2）由（1）得出的结论解答即可；
（3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可；
(1)
证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2．
又∵sinA=ac,sinB=bc，
∴sin2A+sin2B=ac2+bc2=a2+b2c2=1；
(2)
当α为锐角时，sin2α+sin290°−α=1，
故答案为 1；
(3)
sin21°+sin22°+sin23°+⋅⋅⋅+sin289°
=sin21°++sin289°+sin22°+sin288°+⋅⋅⋅+sin244°+sin246°+sin245°
=1+1+1+...+1+12（44个1相加）
=44.5
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键．
【考点4 互余两角三角函数的关系】
16．（2022·浙江杭州·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，csA=13，则sinB=______．
【答案】13
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【详解】解：∵在ΔABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=csA=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的余弦等于它余角的正弦．
17．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=csC；④sinα=csβ.其中正确的结论有_____.
【答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，csC=ACBC，
∴sinB=csC，故③正确；
∵sinα=sinB，cs∠β=csC，
∴sinα=cs∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
18．（2022·四川内江·统考一模）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=75，则sinA−sinB =___．
【答案】±15．
【详解】根据题意，设AB=c，BC=a，AC=b，则sinA=ac，sinB=bc，a2+b2=c2．
∵sinA+sinB=75，
∴(sinA+sinB)2=4925⇒(ac+bc)2=4925⇒a2+b2+2abc2=4925⇒c2+2abc2=4925⇒2abc2=2425．
∴(sinA−sinB)2=(ac−bc)2=a2+b2−2abc2=c2−2abc2=1−2abc2=1−2425=125．
∴sinA−sinB=±15．
19．（2012·湖南衡阳·中考真题）观察下列等式
①sin30°=12cs60°=12
②sin45°=22cs=45°=22
③sin60°=32cs30°=32
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．
【答案】1.
【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案
【详解】由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°=14+34=1；
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°=12+12=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°=34+14=1；
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1.
故答案为1.
20．（2022·湖南娄底·统考中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若sinα=0.05,AB=300mm，则AA′=________mm．
【答案】15．
【分析】根据同角的余角相等得到∠A′BA=∠α，进一步根据三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵A′B⊥AD且四边形ABCD为平行四边形，
∴A′B⊥BC，∠A′BC=∠ABC+∠A′BA=90°，
又∵BE⊥AB,
∴∠ABE=∠ABC+∠α=90°，
∴∠A′BA=∠α，
∴sin∠A′BA=sinα=AA′AB=0.05,
又∵AB=300mm，
∴AA′=AB·sin∠A′BA=300×0.05=15mm．
故答案为：15．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值．
【考点5 特殊角的三角函数】
21．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ，sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin45°+30°= 22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为_______．
【答案】6−24
【分析】根据sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ代入进行计算即可．
【详解】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cs30°−cs45°sin30°
=22×32−22×12
=64−24
=6−24．
故答案为：6−24．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
22．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）已知α为锐角，若3tan2α−4tanα+3=0，则α的度数为______ ．
【答案】60°或30°
【分析】因数分解3tan2α−4tanα+3=0，即可求解．
【详解】解：原式化为3tan2α−4tanα+3=(tanα−3)(3tanα−1)=0，
∴tanα=3或tanα=33，α为锐角，
由特殊角的三角函数值得，α=60°或α=30°，
故答案为：60°或30°．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数的方程是解题的关键．
23．（2022·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若sinA−32+12−csB2=0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是______三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断△ABC的形状．
【详解】解：∵sinA−32+12−csB2=0，
∴sinA−32=0，12−csB2=0，
∴sinA=32，csB=12，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．
24．（2022·辽宁丹东·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A−4,0，B2,0，点M是y轴上的一个动点，当∠BMA=30°时，点M的坐标为________．
【答案】0,33+35或0,−33−35
【分析】分M在y轴的正半轴和负半轴两种情况计算，结合对称性求解即可．
【详解】如图，当M在y轴的正半轴上时，
将AB绕点A逆时针旋转60°，得到等边三角形ABC，
∵A−4,0，B2,0，
∴AB=BC=CA=6，AO=4，
过点C作CE⊥y轴，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
则AF=ABcs60∘=6×12=3，CF=ABsin60∘=6×32=33，OF=OA-AF=1，
四边形CEOF是矩形，
∴OE=CF=33，CE=OF=1，
以点C为圆心，以AC长为半径作圆，交y轴于点M，连接AM，BM，根据圆周角定理，得∠BMA=30°，
连接CM，
则EM=CM2−CE2=62−12=35，
∴OM=OE+EM=33+35，
∴M（0，33+35）；
根据对称性，当点M在y轴的负半轴时，M（0，−33−35）
故答案为：（0，33+35）或（0，−33−35）．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键．
25．（2022·上海静安·统考一模）计算：cs230°−sin230°+ct45°−sin45°tan45°2．
【答案】3−22
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【详解】解：原式=322−122+1−2212
=34−14+1+12−2
=22+1+12−2
=3−22．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【考点6 解直角三角形】
26.（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，△ABC中，分别以AB、AC为底边向外作等腰△ABD和等腰△AEC，连接DE，点F为BC的中点，连接EF并延长交DB的延长线于点G，DE=154FG，DG=410，若∠G+∠DAE−∠CEF=180°，tan∠DEG=43，则tan∠EDG的值为______．
【答案】139
【分析】作BK∥EC交EF的延长线于K，连接DF，DK，作ER⊥DG于R，首先证明△BFK≌△CFE进而证明出△DAE≌△DBK，推出DE=DK，由EF=FK，推出DF⊥EK，设FG=4a，由DE=154FG，可得DE=15a，由tan∠DEG=43，推出DF=12a，EF=9a，在Rt△DFG中，根据DF2+FG2=DG2，构建方程求出a，再解直角三角形求出RG，ER即可解决问题．
【详解】解：作BK∥EC交EF的延长线于K，连接DF，DK，作ER⊥DG于R，
∵BF=CK，∠K=∠FEC，
在△BFK和△CFE中，
∠K=∠FECBF=CK∠BFK=∠EFC，
∴△BFK≌△CFEASA，
∴CE=BK，EF=FK，
∵AE=EC，
∴AE=BK，
∵∠KBG=∠BGF−∠BKG=∠BGF−∠FEC，
又∵∠BGF+∠DAE−∠CEF=180°，
∴∠KBG+∠DAE=180°，
∵∠KBG+∠DBK=180°，
∴∠DBK=∠DAE，
在△DAE和△DBK中，
DB=AD∠DBK=∠DAEBK=AE，
∴△DAE≌△DBKSAS，
∴DE=DK，
∵EF=FK，
∴DF⊥EK，设FG=4a，
∵DE=154FG，
∴DE=15a，
∵tan∠DEG=43，
∴DF=12a，EF=9a，
在Rt△DFG中，∵DF2+FG2=DG2，
∴12a2+4a2=4102，
解得a=1或−1（舍弃），
∴EG=13，
∵tan∠DGE=12a4a=3，
∴RG=131010，ER=391010，
∴DR=DG−RG=410−131010=271010，
∴tan∠EDG=ERRD=391010271010=139，
故答案为：139．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解决本题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
27.（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sin∠ECD＝35，CE＝5，求⊙O的半径．
【答案】(1)CD是⊙O的切线，理由见解析
(2)⊙O的半径为256
【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．
（1）
解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝DECE＝35，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝256，
∴⊙O的半径为256．
【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28.（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cs∠ABC的值．
【答案】(1)y=x+1
(2)55
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，
把A（2，3）代入，得3=2k+1，
解得：k=1，
∴这个一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：如图，
设反比例函数解析式为y=mx，
把A（2，3）代入，得3=m2，
解得：m=6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
当x=6时，则y=66=1，
∴B（6，1），
∴AB=(6−2)2+(1−3)2=25，
∵将点B向上平移2个单位得到点C，
∴C（6，3），BC=2，
∵A（2，3），C（6，3），
∴AC∥x轴，
∵B（6，1），C（6，3），
∴BC⊥x轴，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴cs∠ABC=BCAB=225=55．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键．
29.（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD，CE．
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)22
(3)①35；②45
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴ABAE=ABAC=12，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
∴BDCE=ABAC=12=22；
（3）解：①ABAC=ADDE=34，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴BDCE=ADAE=35 ；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC=BCAC=45．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
30.（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，csB=513， AB=13,BC=21．
(1)求AC的长；
(2)求∠BAC的正弦值．
【答案】(1)AC长为20．
(2)∠BAC的正弦6365．
【分析】（1）由∠B的余弦求出BD的长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题．
（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
【详解】（1）∵csB=BDAB=315,AB=13,
∴BD=13×513=5,
∴CD=BC−BD=21=5=16
∵AD=AB2−BD2=132−52=12
∴AC=AD2+CD2=122+162=20
（2）作CH⊥AB于H
∵△ABC的面积=12AB⋅CH=12BC⋅AD
∴13CH=21×12
∴CH=25213
∴∠BAC的正弦值是CHAC=2521320=6365
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
31．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：3≈1.732，结果按四舍五八保留一位小数）
【答案】12.7
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=x m，在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=3，进而求得AE，在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+33x=33，求得x，根据CD=CE-DE可得出答案．
【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=3
解得BE=33x
则AE=AB+BE=(20+33x)m，
在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+33x=33，
解得x=103≈17.3m，
∴CD=CE-DE=12.7m．
故答案为：12.7．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
32．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是_______．（填写序号，参考数值：3≈1.7，2≈1.4）
【答案】①③④
【分析】过点D的水平线交AB于E，先证四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，①利用三角函数求出AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=43≈6.8米， ③利用AB=18.8米＞12米，④点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，判断即可．
【详解】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+43≈12+4×1.7=18.8故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=43≈6.8米，故②不正确；
③∵AD=2CD,故AD≈13.6米AB=18.8米＞13.8米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜13.8，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判断与性质，掌握解直角三角形方法，矩形的判断与性质是解题关键．
33．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
【答案】(1)75；60
(2)10033+10米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求∠APD，过点A作AE⊥DC于点E，再利用三角形内角和求∠ADC；
（2）在Rt△AED中，∠DAE=30°求出DE的长度再根据CD=DE+EC计算即可；
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE即可．
【详解】（1）过点A作AE⊥DC于点E，
由题意得：∠MPA=60°,∠NPD=45°,∠DAE=30°,
∴∠APD=180°−∠MPA−∠NPD=75°
∠ADC=90°−∠DAE=60°
（2）由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10．
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
∴DE=AE⋅tan30°=100×33=10033米，
∴CD=DE+EC=10033+10米
∴楼CD的高度为10033+10米．
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10米
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°．
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE．
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°．
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°．
∴∠ADP=∠APD．
∴AP=AD．
∴△APF≌△DAE（AAS）．
∴PF=AE=100．
∴PG=PF+FG=100+10=110米
∴无人机距离地面BC的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
34．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）
【答案】1+33tan10°米
【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形，则CD=BE =1，在Rt△ACE与Rt△EBC中，分别表示出AE,EB，根据AB=AE+EB即可求解．
【详解】如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形，
∴ CD=BE =1，
Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=tan30°=33，
∴AE=33CE，
Rt△EBC中，tan∠ECB=EBEC =tan10°，
∵EB=CD=1
∴EC=EBtan10°=1tan10°，
∴AB=AE+EB=33tan10°+1（米）
答：雕像AB的高为1+33tan10°米
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
35．（2022·四川宜宾·统考中考真题）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：3≈1.7，2≈1.4）
【答案】40米
【分析】根据i=7:24，AB=25米，设BF=7a，则AF=24a，根据勾股定理求得a=1，又设BE=x米，则FC=BE=x米，CE=BF=7米，求出DE，根据AC=DC列出方程，解方程进而根据DE=3x即可求解．
【详解】解：在Rt△ABF中，i=7:24，AB=25米，
设BF=7a，则AF=24a，由AF2+BF2=AB2，
得24a2+7a2=252，
解得：a=1，
∴BF=7米，AF=24米
又设BE=x米，则FC=BE=x米，CE=BF=7米
在Rt△BDE中，∠DBE=60°，
则DE=3BE=3x，
∴DC=DE+EC=3x+7（米），
在Rt△ACD中，∠DAC=45°，则AC=DC，
∴AF+FC=24+x，
∴24+x=3x+7，
解得：x=1721+3，
∴DE=3x=172×3+1723≈40（米）．
∴东楼的高度约为40米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．
【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】
36．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B在A的正东方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方向上，C，E均在B的正北方向．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点A，C之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)150米
(2)（1402+1506）米
【分析】（1）过点D作DH⊥AB，由30°的直角三角形的性质，即可进行解答；
（2）由勾股定理可得出AH=1503米，故AB=（140+1503）米，由∠CAB=45°，∠ABC=90° 可得出AC的长度．
（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意可知：∠DAF=60°，∴∠DAB=30°，∵AD=300米，∴在Rt△ADH中，DH=12AD=150米，AH=AD·cs30º=300×32=1503米，∵∠DHB=∠ABE=∠DEB=90º，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=DH=150米，答：景点B，E之间的距离为150米．
（2）由（1）可知：BH=DE=140米，AH=1503米，∴AB=（140+1503）米，∵∠CAB=45º，∠ABC=90º，∴AC=AB÷cs45º=（140+1503）÷22=（1402+1506）米，答：景点A，C之间的距离为（1402+1506）米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
37．（2022·重庆·统考二模）一天，爸爸带着他的一儿一女去海边玩，爸爸和哥哥在距海岸线（抽象为直线l）一定距离的A处休息，妹妹带上游泳圈在距海岸线40米的B处游泳．过了一会儿，海浪逐渐变大，妹妹由于过度紧张，无法继续游动，只好在B处呼救，爸爸和哥哥听到妹妹呼救，立刻起身．情急之下，哥哥沿AB方向奔跑，由E处下海，沿EB游向妹妹；爸爸沿AD方向奔跑，由D处下海，再沿DB游向妹妹．如图所示，BD⊥l于点D，点B在点A北偏西37°方向，点D在点A北偏西60°方向，A、E、B三点共线．（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）
(1)求点A到海岸线的距离（结果精确到0.1米）；
(2)若爸爸和哥哥在沙滩上奔跑的速度均为2m/s，在水中游泳的速度均为0.5m/s，请用数据说明，爸爸和哥哥谁先到达妹妹身边？
【答案】(1)点A到海岸线的距离约为30.6米
(2)爸爸先到达妹妹身边，数据说明过程见解析
【分析】（1）过点A作AC⊥l于点C，设AC=x米，先解直角三角形分别求出DE,CE的长，从而可得CD的长，然后在Rt△ACD中，解直角三角形即可得；
（2）过点A作AC⊥l于点C，先解直角三角形分别求出BE,AE,AD的长，再分别求出爸爸到达妹妹身边所需时间和哥哥到达妹妹身边所需时间，由此即可得．
（1）解：如图，过点A作AC⊥l于点C，则∠CAB=37°,∠CAD=60°，∵BD⊥l，∴∠B=∠CAB=37°，∴DE=BD⋅tanB=40tan37°（米），设AC=x米，∴CE=AC⋅tan∠CAB=xtan37°（米），∴CD=DE+CE=(40tan37°+xtan37°)米，在Rt△ACD中，CD=AC⋅tan∠CAD，即40tan37°+xtan37°=xtan60°=3x，解得x=40tan37°3−tan37°≈30.6，即AC≈30.6米，答：点A到海岸线的距离约为30.6米．
（2）解：如图，过点A作AC⊥l于点C，∵BD=40米，AC≈30.6米，∴BE=BDcsB≈50米，AE=ACcs∠CAB≈38.25米，AD=ACcs∠CAD≈61.2米，则爸爸到达妹妹身边所需时间为AD2+BD0.5≈61.22+400.5=110.6(s)，哥哥到达妹妹身边所需时间为AE2+BE0.5≈38.252+500.5=119.125(s)，因为110.6<119.125，所以爸爸先到达妹妹身边．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
38．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：3≈1.73，2≈1.41，6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的速度至少应为多少？
【答案】(1)小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；
(2)他们汇合之后的速度至少应为245m/min．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得∠DAE=45°，∠DBA=30°，BD=180×5=900（m），然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可得∠C=60°，∠DBF=45°，BD=180×5=900（m），利用锐角三角函数可得CD，设他们汇合之后的速度为v m/min，进而列式3v=3006，进而即可解决问题．
（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可知：∠DAE=45°，∠DBA=30°，BD=180×5=900（m），∴DE=AE=12BD=450m，∴BE=3DE=4503m，∴AB=AE+BE=450+4503=450（3+1）≈1229.4（m）．∴小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可知：∠C=60°，∠DBF=45°，BD=900m，∴DF=BD×sin45°=900×22=4502（m），∴CD=CD=DFsin60°=450232=3006（m），设他们汇合之后的速度为v m/min，∴CD=（14：00-13：57）v=3v（m），∴3v=3006，∴v=1006≈245（m/min），∴他们汇合之后的速度至少应为245m/min．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
39．（2022·湖南怀化·统考模拟预测）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：3≈1.73，2≈1.41）
【答案】不穿过，理由见解析
【分析】先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可．
【详解】不穿过，理由如下：
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.
设CD=x，则BD=2.4-x，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AD=CD=x．
在Rt△ABD中，tan30°=ADBD，
即x2.4−x=33，
解得x=0.88，
可知AD=0.88千米=880米，
因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
40．（2022·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈34，cs42°≈2940，tan42°≈910）
【答案】（1）会受影响，见解析；（2）7级；（3）311．
【分析】（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，利用解直角三角形确定AD的值，与影响半径180千米比较，作出判断；
（2）这次台风最大风力为：12﹣（AD÷30）（级）；
（3）利用垂径定理，计算出影响的距离，除以风速即为影响时间．
【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵sin43°≈34，，AC＝200千米，
∴CD＝AC•sin43°≈200×34＝150（千米），
∵城市受到的风力达到或超过六级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为30×（12﹣6）＝180（千米），
∵150（千米）＜180（千米），
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（150÷30）＝7（级）．
答：受到台风影响的最大风力为7级；
（3）如图以C为圆心，180为半径作⊙C交AB于E、F．
则CE＝CF＝180．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2×1802−1502＝6011（千米）．
∴台风影响该市的持续时间：t＝6011÷20＝311（时）；
答：台风影响该城市的持续时间为311小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形，垂线段最短原理，垂径定理，熟练将生活问题转化为解直角三角形模型和圆的模型计算是解题的关键．
【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
41．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为1:3，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10mB．103mC．5mD．53m
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．
【详解】∵i=1:3，BC=5m，
∴BCAC=5AC=13，
解得：AC=53m，
则AB=BC2+AC2=52+532=10m．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
42．（2022·山东济南·统考一模）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1:43 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：sin59°≈0.86，cs59°≈0.52，tan59°≈1.66）（ ）
A．158米B．161米C．159米D．160米
【答案】D
【分析】先利用斜坡AD的坡度求出DF，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出EH=BH=EG=DF=60，之后利用正切求出CH的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度．
【详解】解：如图：过点D作DF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BC于点H
∵斜坡AD的坡度i=1:43
∴DF:AF=1:43
∴可设DF=x，AF=43x
∵在Rt△ADF中，DF2+AF2=AD2，
∴x2+43x2=1002
∴x=60
∴EH=EG=DF=60
∵在Rt△BEH中，∠BEH=45°
∴EH=BH=60
∵在Rt△CEH中，tan∠CEH≈1.66
∴CH≈EH⋅tan△CEH≈60×1.66≈90
∴CB=CH+BH=100+60=160
故选：D．
【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长度是解题关键．
43．（2022·内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i=3:4，即tanθ=34，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732）
【答案】该建筑物AB的高度约为31.9m
【分析】如图，作DE⊥AC交AC于点E，作DF⊥AB交AB于点F，作CH⊥DF交DF于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据AB=AF+BF即可求解．
【详解】作DE⊥AC交AC于点E，作DF⊥AB交AB于点F，作CH⊥DF交DF于点H
则DE=AF，HF=AC，DH=CE
∵tanθ=34
∴设DE=3x，则CE=4x
在Rt△CDE中，∠E=90°
∴DE2+CE2=CD2
∴(3x)2+(4x)2=202
∴x=4（负值舍去）
∴DE=12，CE=16
∴AF=DE=12，DH=CE=16
设BF=y，则AB=(y+12)
在Rt△BDF中，∠BDF=30°
∵tan∠BDF=BFDF
∴DF=3y
在Rt△ABC中，∠ACB=60°
∵tan∠ACB=ABAC
∴AC=33(y+12)
即HF=AC=33(y+12)
∵DF−FH=DH
∴3y−33(y+12)=16
∴y=(6+83)
∴AB=BF+FA=6+83+12=18+83≈31.9(m)
答：该建筑物AB的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
44．（2022·宁夏·中考真题）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为4,12，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i=3:4（即CEDE=34）．求：
(1)点A的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：3≈1.73）
【答案】(1)A0,4
(2)y=−12(x−4)2+12
(3)OC的长约为7.2米
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
【详解】（1）解：∵OA=4，且点A在y轴正半轴，
∴A0,4．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为4,12，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x−4)2+12，
∵A0,4，
∴a(0−4)2+12=4，
解得a=−12．
∴抛物线的解析式为：y=−12(x−4)2+12．
（3）在Rt△CDE中，CEDE=34，CD=2.5，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴CE2+DE2=CD2，
即3x2+4x2=2.52，
解得x＝0.5，
∴CE=1.5，DE=2．
∴点D的纵坐标为−1.5，
令−12(x−4)2+12=−1.5，
解得，x=4+33≈9.19或x=4−33≈−1.19(不合题意，舍去)，
∴D(9.19,−1.5)．
∴OC=9.19−2=7.19≈7.2(m)．
∴OC的长约为7.2米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点、解一元二次方程等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
45．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
【答案】不得小于12度
【分析】根据题意可得DF＝15AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
DF＝15AB＝0.15（米），
∵斜坡AC的坡比为1：2，
∴ABBC＝12，DFCD＝12，
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ABEB＝＝15，
查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．
【考点10 解直角三角形应用之其他问题】
46．（2022·山东威海·模拟预测）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33° 到40° 之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54 ，tan33°≈0.65 ，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84 ，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】(1)2.10m−2.52m之间
(2)16000元
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB=AC，当∠BAC=33°时，当∠BAC=40° 时，利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
根据题意可知：AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD，∠BAD=∠CAD=12∠BAC，
当∠BAC=33° 时，∠BAD=∠CAD=16.5° ，
在△ABD 中，BD=AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05m ，
∴BC=2BD=2.10（m），
当∠BAC=40° 时，∠BAD=∠CAD=20° ，
在△ABD中，BD=AD×tan20°≈3.5×0.36=1.26m，
∴BC=2BD=2.52m ，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m−2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．
由题意可得：1000000x+4000 =1000000×(1−20%)x，
解得：x=16000，
经检验x=16000是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的应用以及分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．
47．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO=15°，AO=30cm，∠OBC=45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)（参考数据：sin15°≈0.259，cs15°≈0.966，tan15°≈0.268，2≈1.414）
【答案】37cm
【分析】过O点作OD⊥AB交AB于D点．构造直角三角形，在Rt△ADO中，计算出OD,AD，在Rt△BDO中， 计算出BD.
【详解】解：如图所示：过O点作OD⊥AB交AB于D点．
在Rt△ADO中，
∵∠A=15°,AO=30，
∴OD=AO⋅sin15°=30×0.259=7.77(cm).
AD=AO⋅cs15°=30×0.966=28.98(cm).
又∵在Rt△BDO中，∠OBC=45°.
∴BD=OD=7.77(cm)，
∴AB=AD+BD=36.75≈37(cm)．
答：AB的长度为37cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
48．（2022·广东广州·校考二模）C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE，其中AB=17cm,ED=25cm，求出线段BE和CD的长．
（sin37°≈0.60,cs37°≈0.80,tan37°≈0.75，结果保留小数点后两位）
【答案】线段BE的长约为18.75cm，CD的长约为10.75cm．
【分析】延长DC交BN于点G，交AM于点F，在Rt△BGD中，∠GBD＝37°，求得ND，即可得到BE，再求得DF，在Rt△AFC中，∠FAC＝45°，求得FC，进一步求得CD即可．
【详解】解：延长DC交BN于点G，交AM于点F，
由题意得：
∠BGC＝∠AFC＝90°，AE＝DF，BE＝GD，AF＝BG＝ED＝25cm，
在Rt△BGD中，∠GBD＝37°，
∴ND＝BN•tan37°≈25×0.75＝18.75（cm），
∴BE＝ND＝18.75cm，
∵AB＝17cm，
∴DF＝AE＝AB+BE＝17+18.75＝35.75（cm），
在Rt△AFC中，∠FAC＝45°，
∴FC＝AF•tan45°＝25（cm），
∴CD＝DF﹣FC＝35.75﹣25＝10.75（cm），
∴线段BE的长约为18.75cm，CD的长约为10.75cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
49．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC=AD=2m，BF=3m．
(1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin65°≈0.90，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14，2≈1.41）
【答案】(1)遮阳宽度CD约为3.6m
(2)点E下降的高度约为1.6m
【分析】（1）在Rt△AOD中，利用正弦可得OD的长，由此即可得；
（2）设点E下降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，先根据矩形的判定与性质可得EM=BF=3m,E′N=BF=3m,BM=EF,BN=E′F，从而可得MN=EE′，再分别解直角三角形可得AM,AN的长，然后根据线段和差即可得．
【详解】（1）解：由题意得：△ACD是轴对称图形，
∴∠AOC=∠AOD=90°,OC=OD=12CD，
∵AC=AD=2m，∠α=65°，
∴OD=AD⋅sinα=2sin65°≈1.80(m)，
∴CD=2OD≈3.6m，
答：遮阳宽度CD约为3.6m．
（2）解：如图，设点E下降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，
则四边形BFEM和四边形BFE′N都是矩形，
∴EM=BF=3m,E′N=BF=3m,BM=EF,BN=E′F，
∴BM−BN=EF−E′F，即MN=EE′，
当∠α=65°时，AM=EMtan65°≈1.40m，
当∠α=45°时，AN=E′Ntan45°=3m，
则EE′=MN=AN−AM≈1.6m，
答：点E下降的高度约为1.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
50．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，3≈1.7）.
【答案】AB的长度约为10.2米
【分析】延长BA交CE的垂线DG于点F，AC,DF交于点G,则四边形DFBE是矩形，根据图示，可得四边形DFBE是正方形，解Rt△CGD,Rt△AGF，即可求解．
【详解】解：如图，延长BA交CE的垂线DG于点F，AC,DF交于点G,则四边形DFBE是矩形，
∵∠FDB=45°,
∴DF=FB，
∴四边形DFBE是正方形，
∴BF=EB=14，
∵∠DCG=90°−60°=30°，AF∥CD，
∴∠FAG=∠DCG=30°，
Rt△CDG中，DG=tan∠DCG⋅CD=33×20=2033，
∴GF=DF−DG=14−2033，
Rt△AFG中，AF=FGtan∠FAG=FGtan30° =14−203333=143−20，
∴ AB=BF−AF=14−143+20=34−143≈10.2（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．计算器按键顺序
计算结果（已精确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005