中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题24尺规作图(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题24尺规作图(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)，共73页。


【考点1 尺规作线段或角】
1．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF=BE，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB=90°（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
2．（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知在△ABC中，BD=2CD．请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，S△ABE=16S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
3．（2022·广西河池·统考一模）如图，在▱ABCD中，AB>AD．
(1)尺规作图：在AB上截取AE，使得AE=AD（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）；
(2)在（1）所作的图形中，连接DE，证明：∠ADE=∠CDE．
4．（2022·重庆·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)尺规作图：在∠ADB的内部作射线DE，使∠ADE＝∠CAD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)若（1）中的射线DE交AB于点F，且BC＝6，AD＝4，求△ADF的周长．
5．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD．
(1)尺规作图：作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接CE，若BD=DC，求证：四边形ABEC为平行四边形．
【考点2 尺规作三角形】
6．（2022·新疆·模拟预测）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：∠α，直线l和l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．
小刚的做法如下：
①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；
②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；
③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；
④分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；
⑤射线AQ与射线BG交于点C．
⑥Rt△ABC即为所求．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
连接PQ．
在△OMN和△AQP中，
∵ON=AP，NM=PQ，OM=AQ，
∴△OMN≌△AQP(______).(填写推理依据)
∴∠PAQ=∠O=α．
∵CE=CF，BE=BF，
∴CB⊥EF(______).(填写推理依据)
7．（2022·安徽合肥·统考二模）知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(1)任作一个△ABP，使PA=PB；
(2)作△ABQ，使AQ=BQ，且∠AQB=120°．
8．（2022·陕西渭南·统考二模）如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，∠ABC=60°且AB=BC=a，CD∥AB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
9．（2020·山东青岛·统考一模）已知：∠α，线段c．
求作：RtΔABC，使∠A=∠α，AB=c，∠C=90°．
10．（2022·江苏·统考一模）已知：∠a,以及线段b,c(b求作：三角形ABC，使得∠BAC=∠a,AB=c, ∠BAC的平分线AD=b
【考点3 尺规作角平分线】
11．（2022·山西太原·山西大附中校考一模）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点．
(1)画MC⊥OA，垂足为C；
(2)画∠AOB的平分线，交MC于D；
(3)过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
12．（2022·广东韶关·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作DE∥AC交BC于点E．
(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．
13．（2022·宁夏·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
14．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，∠CAD是△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）若AE//BC，求证：AB=AC．
15．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈25，A点的坐标为3,1，求P点的坐标．
【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】
16．（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知四边形ABCD，∠A=90°，AD∥BC，连接BD，请用尺规作图法，在CD边上求作一点P，使得∠APD=∠ABD．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，已知△ABC,AC=4．
(1)请用直尺和圆规，作出AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若∠C=60°，连接AE，求△AEC的面积．
18．（2022·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
19．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）（1）如图，已知△ABC,P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E．使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果AC=6cm,AP=3cm，则△APE的周长是_______cm．
20．（2022·青海·统考中考真题）如图，DB是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
【考点5 尺规作等腰三角形】
21．（2022·福建福州·福州三牧中学校考一模）如图，已知∠MON=α0°<α<90°，OP是∠MON的平分线，点A是OM上一点，AE⊥ON于点E交OP于点D，∠OAE的平分线AG与OP交于点F．
(1)作点A关于OP对称点B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=2AF（点A不与点O重合），并证明．
22．（2022·山东青岛·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°；
求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上．
23．（2022·陕西西安·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，请用尺规作图的方法作一条过点A的直线，将Rt△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
24．（2022·山东青岛·统考一模）已知：如图，∠α和线段h
求作：等腰△ABC，使顶角∠A=∠α，底边BC上的高为h．
25．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，已知D是△ABC内一点．
（1）利用直尺和圆规，作△ADE，使得D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC；
（2）在（1）的条件下，若AB=AC，连BD，EC，求证：BD=EC．
【考点6 尺规作圆】
26．（2022·甘肃平凉·校考二模）（1）已知：Rt△ABC，∠C=90°，用尺规求作它的外接圆⊙O．
（2）已知；Rt△ABC中，AC=8，BC=6，求外接圆的面积．
27．（2020·贵州遵义·统考一模）如图，已知△ABC，且∠ACB=90°．
(1)请用直尺和圆规按要求作图：先以点B为圆心，AC边的长为半径作⊙B，再过点A作BC的平行线AD（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）作出的图形，判断直线AD与⊙B的位置关系，并说明理由．
28．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考三模）已知：△ABC．
求作：⊙O，使⊙O与AB，BC所在直线都相切，且与BC的切点为点C．
29．（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考二模）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（△ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
30．（2022·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．
(1)边BC的长等于________．
(2)用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边AB上，经过点B，且与边AC相切的⊙O，并简要说明作法（保留作图痕迹，不要求证明）．
【考点7 尺规作圆的切线】
31．（2022春·江苏·九年级期末）与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线．如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线．
(1)如图①，⊙P、⊙Q只有一个公共点，⊙P与⊙Q的公切线的条数是_____．
(2)如图②，A和B分别是⊙P和⊙Q上的点，PA∥QB．连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与⊙P相切，切点为D．求证：CD是⊙P与⊙Q的外公切线．
(3)如图③，⊙P在⊙Q外，用直尺和圆规作图：（在①和②中任选一题完成）
①作⊙P和⊙Q的一条外公切线；
②作⊙P和⊙Q的一条内公切线．（保留作图痕迹，不写作法．）
(4)如图④，⊙P在⊙Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D．已知⊙P、⊙Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的等量关系．
32．（2022·北京海淀·九年级期末）已知：如图，PA是⊙O的切线，A为切点．
求作：⊙O的另一条切线PB，B为切点．
作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点B；
作直线PB．
直线PB即为所求．
(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明过程．
证明：连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO=90°．
在△PAO与△PBO中，PA=PB,OP=OP,______,
∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°．
∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（____________________）（填推理的依据）．
33．（2022春·广东广州·九年级专题练习）如图，已知P是⊙O外一点，请你用三种不同的方法过点P作⊙O的一条切线，要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
34．（2022·北京海淀·九年级期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；
③作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵OP是⊙Q的直径，
∴∠OAP=∠OBP=________°（________）（填推理的依据）．
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB是⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．
35．（2022·北京海淀·九年级期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①连结OP，作线段OP的中点M；
②以M为圆心，MP的长为半径作圆，交⊙O于点A,B；
③作直线PA和PB，直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接OA，如图2，
由作法可知，OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=90°（_____________）（填推理的依据），
∴OA⊥PA，
∵点A在⊙O上，
∴直线PA是圆的切线（_____________）（填推理的依据），
同理，直线PB也是圆的切线．
【考点8 尺规作正多边形】
36．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：
(1)尺规作图：如图，已知线段AB．求作线段AB的垂直平分线l，交AB于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并写出作法．
37．（2020·浙江·九年级期末）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中已画出的图形上连接DF，已知⊙O的半径为4，求DF的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容．
解：在⊙O中，连接OF．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴∠AOF=60°，
∴∠ADF=12∠AOF=30°________（填推理的依据）．
∵AD为⊙O直径，
∴∠AFD=90°，
∵cs30°=DFAD=32，
∴DF=________．
38．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
39．（2022·北京房山·统考二模）已知：射线AB
求作：△ACD，使得点C在射线AB上，∠ D=90°，∠ A=30°．
作法：如图，①在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心，OC为半径作弧，在射线AB上方交⊙O于点D；③连接AD，CD．则△ACD即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OD．
∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ ADC=__________°．
∵OD=OC=CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠ DOC=60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠ DAC= 12∠ DOC．（ ）（填推理的依据）
∴∠ DAC=30°．
△ACD即为所求的三角形．
40．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，AB=2.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF．
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和BE所围成的图形面积．
【考点9 格点作图】
41．（2022·浙江宁波·一模）如图，在8×8的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图.
(1)在图1中，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上.
(2)在图2中，以AB为一边作一个菱形ABEF，要求E，F两点也在格点上.
42．（2022·广东广州·广州市第一中学校考三模）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个周长为85的菱形ABCD（非正方形）；
(2)在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．
43．（2022秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）如图，在9×8方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点．已知线段AB，AC，且点A，B，C均在格点上．仅用无刻度的直尺完成下列画图，再比较大小．
(1)画CD∥AB；画AE⊥CD，垂足为E；
(2)比较大小：线段CE______线段AC，理由是______．
44．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：
(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
(2)与△ABC全等，且不与△ABC重合．
45．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，边长为1的小正方形构成的6×6网格中，每个小正方形的顶点称为格点．AD是△ABC的角平分线，其中A，B，D为格点．
(1)画出AB的中点M；
(2)在AC上画点N，使ND∥AB；
(3)画点B关于AD的对称点P；
(4)若△QAB是等腰三角形，直接写出该网格中满足条件的格点Q的个数．
【考点10 无刻度直尺作图】
46．（2022秋·全国·九年级专题练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；
（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；
（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行．
47．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中，以AD为腰作一个等腰三角形；
(2)在图（2）中，以AE为边作▱AECF．
48．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
49．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）已知正方形ABCD，点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
(1)在图①中，画出正方形ABCD的中心O；将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°；
(2)在图②中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
(3)在图③中，点F为正方形ABCD边BC上任意一点，作F关于AC的对称点H．
50．（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=100°，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)如图，AB=AC，作一个10°的圆周角；
(2)如图，AB≠AC，作一个20°的圆心角．
专题24 尺规作图（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 尺规作线段或角】
1．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点E，在AD上截取AF=BE，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）请用无刻度的直尺在▱ABCD内找一点P，使∠APB=90°（标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，得出AF∥BE，由作图过程可知AF=BE，结合AB=BE即可证明；
（2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接AE和BF，交点即为点P．
【详解】解：（1）根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵AF=BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形；
（2）如图，点P即为所作图形，
∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，
∴∠APB=90°．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图．
2．（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知在△ABC中，BD=2CD．请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，S△ABE=16S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】以点B为圆心，CD为半径画弧，与BC交于点F，再作线段BF的垂直平分线，与BC交于点E即可．
【详解】解：如图，点E即为所求，
由作图可知：BF=DF=CD，且BE=12BF，
∴BE=16BC，
∴S△ABE=16S△ABC．
【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是理解题意，根据面积的关系确定线段的关系．
3．（2022·广西河池·统考一模）如图，在▱ABCD中，AB>AD．
(1)尺规作图：在AB上截取AE，使得AE=AD（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑）；
(2)在（1）所作的图形中，连接DE，证明：∠ADE=∠CDE．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
【分析】（1）以A点为圆心，AD的长为半径，画弧，交AB于E，即为所求；
(2) 由（1）知AD=AE，得到∠1=∠2，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB∥CD，所以∠CDE=∠2，即可证明；
（1）
解：如图，以A点为圆心，AD的长为半径，画弧，交AB于E，
AE为所求；
（2）
证明：由（1）知AD=AE，∴∠1=∠2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠CDE=∠2，
∴∠1=∠CDE
【点睛】本题主要考查简单作图，解题的关键是掌握画弧，以及平行四边形的性质，和等腰三角形的性质．
4．（2022·重庆·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
(1)尺规作图：在∠ADB的内部作射线DE，使∠ADE＝∠CAD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)若（1）中的射线DE交AB于点F，且BC＝6，AD＝4，求△ADF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质得到BD＝CD＝12BC＝3，根据勾股定理求得AB=32+42=5，证明BF＝DF，根据三角形的周长公式即可得到结论．
（1）
如图所示；
作法：1.以A为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于点M，交AC于点N，
2.以D为圆心，以AM的长为半径画弧，交DA于点Q，
3.以点Q为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于点P，
4.过P作射线DE，
射线DE即为所求；
（2）
∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝6，
∴BD＝CD=12BC＝3，∠B=∠C，
∵∠ADB＝90°，AD＝4，
∴AB=BD2+CD2=32+42=5，
∵∠ADE＝∠CAD，
∴DF∥AC，
∴∠BDF=∠C，
∴∠BDF=∠B，
∴BF＝DF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝AD+BF+AF＝AD+AB＝4+5＝9．
【点睛】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质，平行线的性质与判定，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
5．（2022·广西南宁·南宁二中校考三模）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD．
(1)尺规作图：作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接CE，若BD=DC，求证：四边形ABEC为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作相同的角的方法作出射线BF，且延长AD交射线BF于点E；
（2）根据∠CBF=∠C，得出AC∥BE，证明△ADC≌△EDB，得到AC=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论即可．
(1)
解：如图所示：
∴射线BF为所作射线，且延长AD交射线BF于点E．
(2)
证明：如图，连接EC，
∵∠CBF=∠C，
∴AC∥BE，
∵在△ADC和△EDB中
∠CBF=∠CBD=DC∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（ASA），
∴AC=BE，
∴四边形ABEC为平行四边形．
【点睛】本题考查作图，作相等的角，三角形全等的判定与性质，和平行四边形的判定，正确作出射线BF是解答本题的关键．
【考点2 尺规作三角形】
6．（2022·新疆·模拟预测）在数学课上，老师提出如下问题：
已知：∠α，直线l和l上两点A，B．
求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．
小刚的做法如下：
①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线l于点P；
②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；
③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于E，F；
④分别以E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线BG；
⑤射线AQ与射线BG交于点C．
⑥Rt△ABC即为所求．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
连接PQ．
在△OMN和△AQP中，
∵ON=AP，NM=PQ，OM=AQ，
∴△OMN≌△AQP(______).(填写推理依据)
∴∠PAQ=∠O=α．
∵CE=CF，BE=BF，
∴CB⊥EF(______).(填写推理依据)
【答案】(1)见解析
(2)SSS，等腰三角形三线合一
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用全等三角形的判定，等腰三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）如图所示：△ABC即为所求．
（2）在△OMN和△AQP中，
∵ON=AP，NM=PQ，OM=AQ，
∴△OMN≌△AQP(SSS)，
∴∠PAQ=∠O=α．
∵CE=CF，BE=BF，
∴CB⊥EF(等腰三角形三线合一)．
故答案为：SSS，等腰三角形三线合一．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．（2022·安徽合肥·统考二模）知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(1)任作一个△ABP，使PA=PB；
(2)作△ABQ，使AQ=BQ，且∠AQB=120°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，即可求解；
（2）先作等边三角形ABP，再作出∠APB和∠BAP的角平分线交于点Q，即可求解．
（1）
解：如图，△ABP即为所求；
；
（2）
解：如图，△ABQ即为所求；
理由：根据作图得：PC平分∠APB，AP=AB，PB=AB，AQ平分∠BAP，
∴AP=AB=PB，
∴△ABP为等边三角形，∠BAQ=∠ABQ，
∴∠BAP=60°，PC垂直平分AB，
∴AQ=BQ，
∵AQ平分∠BAP，
∴∠BAQ=∠ABQ=30°，
∴∠AQB=120°．
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，作三角形，熟练掌握尺规作图的方法以及线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
8．（2022·陕西渭南·统考二模）如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A．求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，∠ABC=60°且AB=BC=a，CD∥AB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】先截取AB=a，再分别以A、B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C，然后过C点作AR的垂线得到CD．
【详解】解：如图，四边形ABCD为所作；
；
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
9．（2020·山东青岛·统考一模）已知：∠α，线段c．
求作：RtΔABC，使∠A=∠α，AB=c，∠C=90°．
【答案】答案见解析
【分析】作出一个角等于已知角α，在∠α的一边上截取AB=c，过点B作∠α另一边的垂线，α垂足为C，则△ABC就是要作的三角形．
【详解】解：如图，作法：
（1）作∠MAN=∠α，
（2）在AM上截取AB=c，
（3）过点B作BC⊥AN，交AN于点C，
所以△ABC即为所求作的Rt△ABC．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，做一条线段等于已知线段，以及过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握．
10．（2022·江苏·统考一模）已知：∠a,以及线段b,c(b求作：三角形ABC，使得∠BAC=∠a,AB=c, ∠BAC的平分线AD=b
【答案】见解析
【详解】【分析】题中，确定△ABC的条件有三个：∠α、AB的长为c，∠BAC的平分线AD=b；可先作出∠MAN，然后作出此角的平分线AE，然后分别在AM、AE上，截取AD=b，AB=c，即可确定B、D的位置，连接BD并延长交AN于C，即可得到所求作的三角形．
【详解】作法：(1)作∠MAN=∠α，
(2)作∠MAN的平分线AE，
(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b，
(4)连结BD，并延长交AN于点C，
△ABC就是所画的三角形.(如图)
【点睛】本题考查了作图—复杂作图，解决此题的关键是要弄清确定三角形的条件，并熟练掌握尺规作图的基本方法，难度适中．
【考点3 尺规作角平分线】
11．（2022·山西太原·山西大附中校考一模）如图，已知∠AOB，点M为OB上一点．
(1)画MC⊥OA，垂足为C；
(2)画∠AOB的平分线，交MC于D；
(3)过点D画DE∥OB，交OA于点E．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）以点M为圆心适当长度为半径画弧，交OA于两点，作这两点间线段的垂直平分线交OA于点C即可；
（2）按照作角平分线的方法作∠AOB的平分线，交MC于D即可；
（3）以点D顶点，OD为一边作一个角等于∠BOD，这个角的另一边交OA于点E，根据同位角相等两直线平行，得到DE∥OB，满足题意．
【详解】（1）解：如图，MC为所作；
（2）如图，OD为所作；
（3）如图，DE为所作．
【点睛】此题考查了角平分线、垂线、平行线的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
12．（2022·广东韶关·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作DE∥AC交BC于点E．
(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；
(2)127
【分析】（1）①根据作已知角的平分线的作法，即可求解；②过点D作DE⊥BC于点E，即可求解；
（2）先证得△CDE是等腰直角三角形，可得CE=DE，再根据△BDE∼△BAC，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，CD即为所求；
②过点D作DE⊥BC于点E，则DE即为所求；
理由：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥AC；
（2）解：∵CD平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∵DE∥AC，
∴△BDE∼△BAC，
∴DEAC=BEBC，即DE3=4−DE4，
解得：DE=127．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，相似三角形的判定和性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
13．（2022·宁夏·中考真题）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AB=BC，AD⊥DC于点D．
(1)用尺规作∠ABC的角平分线，交CD于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接AE．求证：四边形ABCE是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）由角平分线的定义和平行线的性质求出∠CBE=∠BEC，可得BC=EC，求出AB=EC，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠CBE=∠BEC，
∴BC=EC，
∵AB=BC，
∴AB=EC，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCE为菱形．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键．
14．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，∠CAD是△ABC的外角．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AE（不写作法，保留作图痕迹，用黑色墨水笔将痕迹加黑）；
（2）若AE//BC，求证：AB=AC．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）正确地利用尺规作出AE即可；
（2）利用平行线的性质和角平分线的性质即可证明求解.
【详解】解：（1）如图所示，以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线AC于M，直线AD于N，连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN的一半为半径画弧，两弧交于E，连接AE即为所求；
（2）∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE，∠B=∠EAD，
∵AE是∠CAD的角平分线，
∴∠CAE=∠EAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC.
【点睛】本题主要考查了尺规作已知角的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈25，A点的坐标为3,1，求P点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）P（5,5）．
【分析】（1）作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；
（2）根据题意，设点P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答．
【详解】解：（1）如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；
（2）∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P（t，t），
则AP=(t−3)2+(t−1)2=25，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）．
【点睛】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题意．
【考点4 尺规作垂线或垂直平分线】
16．（2022·陕西西安·校考二模）如图，已知四边形ABCD，∠A=90°，AD∥BC，连接BD，请用尺规作图法，在CD边上求作一点P，使得∠APD=∠ABD．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作直线BD的垂直平分线交BD于点O，再以BD为直径，点O为圆心，作⊙O，交CD于点P，根据圆周角定理的推论即可推出∠APD=∠ABD．
【详解】解：如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，圆周角定理．掌握同弧或等弧所对圆周角相等是解题关键．
17．（2022·广东云浮·校联考三模）如图，已知△ABC,AC=4．
(1)请用直尺和圆规，作出AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若∠C=60°，连接AE，求△AEC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)43
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD=12AC=2，∠CDE=90°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系求出DE的长，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD=12AC=2,∠CDE=90°,
∵∠C=60°,
∴DE=3CD=23,
∴S△AEC=12×4×23=43.
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的面积和线段垂直平分线的性质．
18．（2022·广东汕尾·校考三模）如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)设△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，求圆片的半径R．
【答案】(1)见解析
(2)256cm
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）解：作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴BE=12BC=12×8=4，
在Rt△ABE中，AE=AB2−BE2=52−42=3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
∴OB2=BE2+OE2，
即R2=42+R−32，
∴R=256，
答：圆片的半径R为256cm．
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
19．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）（1）如图，已知△ABC,P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E．使AE+EP=AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在上图中，如果AC=6cm,AP=3cm，则△APE的周长是_______cm．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知AE+EP=AC，即可求得△APE的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接PC（用虚线），
②作PC的垂直平分线交AC于E，
③标出点E即为所求，
（2）∵PE=CE，
∴AE+EP=AC，
∴△APE的周长＝AP+AE+PE=AP+AC=3+6=9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
20．（2022·青海·统考中考真题）如图，DB是▱ABCD的对角线．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】（1）利用尺规作图画出垂直平分线即可；
（2）根据一组对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解．
【详解】解：（1）作DB的垂直平分线
连接DE，BF．
（2）解：四边形DEBF是菱形，
理由如下：
∵EF是DB的垂直平分线，
∴OD=OB，EF⊥DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC//AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DOF和△BOE中
∠FDO=∠FBOOD=OB∠DOF=∠BOE，
∴△DOF≌△BOE，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥DB，
∴四边形DEBF是菱形．
【点睛】本题考查尺规作图——线段垂直平分线、菱形的判定与性质，掌握上述基本性质定理是解题的关键．
【考点5 尺规作等腰三角形】
21．（2022·福建福州·福州三牧中学校考一模）如图，已知∠MON=α0°<α<90°，OP是∠MON的平分线，点A是OM上一点，AE⊥ON于点E交OP于点D，∠OAE的平分线AG与OP交于点F．
(1)作点A关于OP对称点B（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)写出一个α的值，使得对于射线OM上任意的点A总有OD=2AF（点A不与点O重合），并证明．
【答案】(1)见解析
(2)当α=45°时使得对于射线OM上任意的点A总有OD=2AF，
【分析】（1）以O为圆心，AO长为半径画圆，根据等腰三角形的三线合一可得圆与射线ON交点即为B；
（2）当α=45°时总有OD=2AF，只需证明AB=OD=2AC， AF=2AC即可．
【详解】（1）图形如图所示，点B即为所求：
（2）当α=45°时使得对于射线OM上任意的点A总有OD=2AF，证明如下：
设AB交OP于C
∵α=45°
∴∠AOE=∠OAE=45°
∴AE=OE
∵OP是∠MON的平分线，∠OAE的平分线AG与OP交于点F
∴∠GAE=∠DOE=22.5°
由（1）得OA=OB
∴AB⊥OP，AB=2AC
∴∠DOE=∠EAB=90°−∠OBA=22.5°
∴∠FAC=∠EAB+∠EAG=45°
∴AF=2AC
在△ODE和△ABE中
∠OED=∠BEAOE=AE∠DOE=∠EAB,
∴△ODE≅△ABE（ASA）
∴OD=AB
∴OD=AB=2AC=2AF
【点睛】本题考查全等三角形的综合，熟记等腰三角形三线合一性质、等腰直角三角形特点是解题的关键．
22．（2022·山东青岛·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°；
求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上．
【答案】作图见解析
【分析】当B点与E点重合时，等腰直角△CDE面积最大．由此即可作线段BC的垂直平分线与BC交于点O，再以O为圆心，OC长为半径作弧，与线段BC的垂直平分线的交点即为点D（或D′），最后连接CD（或CD′）、BD（或BD′）即可．
【详解】如图，△ADE（或△AD′E）即为所作．
【点睛】本题考查作图—等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质．掌握作线段垂直平分线的方法和等腰直角三角形的性质是解题关键．
23．（2022·陕西西安·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，请用尺规作图的方法作一条过点A的直线，将Rt△ABC分为两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作斜边BC的中垂线可以求得中点D，连接AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=DB=12BC．
【详解】如解图，
直线AD即为所求．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，关键在于用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把RtΔABC分割成两个等腰三角形．
24．（2022·山东青岛·统考一模）已知：如图，∠α和线段h
求作：等腰△ABC，使顶角∠A=∠α，底边BC上的高为h．
【答案】见解析
【分析】①作∠A=α；②作∠A平分线；③截AD=ℎ；④过D作AD垂线与角的两边分别交于B、C．△ABC就是所求的等腰三角形．
【详解】解：如图，△ABC即为所求
.
【点睛】本题主要考查了利用尺规作等腰三角形．熟练掌握尺规作等腰三角形的方法是解答此题的关键．
25．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，已知D是△ABC内一点．
（1）利用直尺和圆规，作△ADE，使得D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC；
（2）在（1）的条件下，若AB=AC，连BD，EC，求证：BD=EC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据D，E分别在AC的两侧，且AD=AE，∠DAE=∠BAC，即可作出△ADE；
（2）根据∠DAE=∠BAC，得出∠BAD=∠CAE，再判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得到BD=EC．
【详解】解：（1）如图所示，△ADE即为所求；
（2）如图所示，连BD，EC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=EC．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【考点6 尺规作圆】
26．（2022·甘肃平凉·校考二模）（1）已知：Rt△ABC，∠C=90°，用尺规求作它的外接圆⊙O．
（2）已知；Rt△ABC中，AC=8，BC=6，求外接圆的面积．
【答案】（1）见解析（2）25π
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）利用勾股定理求出AB，可得结论．
【详解】（1）解：如图，⊙O即为所求；

（2）解：∵∠C=90°，BC=6，AC=8，
∴AB=BC2+AC2=62+82=10，
∴⊙O的半径为5，
∴△ABC的外接圆的面积为25π．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的作法，属于中考常考题型．
27．（2020·贵州遵义·统考一模）如图，已知△ABC，且∠ACB=90°．
(1)请用直尺和圆规按要求作图：先以点B为圆心，AC边的长为半径作⊙B，再过点A作BC的平行线AD（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据（1）作出的图形，判断直线AD与⊙B的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)相切，理由见解析
【分析】（1）以点B为圆心，以AC的长度为半径画圆，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与边AB、BC相交于两点E、F，再以点A为圆心，以同等长度为半径画弧，与AB相交于一点M，再以点M为圆心，以EF长度为半径画弧，与前弧相交于点N，作射线AN即可得到∠BAD=∠ABC，即可得出AC∥BD
（2）根据内错角相等，两直线平行可得AC∥BD，再根据平行线间的距离相等可得点B到AD的距离等于AC的长度，然后根据直线与圆的位置关系判断直线AD与⊙B相切．
【详解】（1）解：如图，
（2）直线AD与⊙B相切．
∵BC∥AD，∠BCA=90°，⊙B的半径等于AC，
∴点B到AD的距离等于AC，
∴直线AD与⊙B相切．
【点睛】本题考查了作平行线，画圆，主要利用了作一个角等于已知角，直线与圆的位置关系的判断，掌握以上知识是解题的关键．
28．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考三模）已知：△ABC．
求作：⊙O，使⊙O与AB，BC所在直线都相切，且与BC的切点为点C．
【答案】作图见解析
【分析】由题意知，作∠ABC的角平分线BD，过C作CF⊥BC交BD于O，以O为圆心，OC为半径画圆即可．
【详解】解：以B为圆心，任意长为半径画弧交BC、BA分别于M、N；以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧交点为D，连接BD；在BC延长线上取点E使CE=CM，分别以M、E为圆心，大于12ME的长为半径画弧交点为F，连接CF交BD于O，以O为圆心，OC为半径画圆即为⊙O．
【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，作圆等知识．解题的关键在于确定圆的圆心．
29．（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考二模）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（△ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
【答案】见解析
【分析】作∠A的角平分线AD交BC于点O，以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆和AC，AB都相切，则该半圆面积最大．
【详解】如图所示：该半圆即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中，解决此类题目的一般思路是首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
30．（2022·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．
(1)边BC的长等于________．
(2)用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形方框内，作出圆心在斜边AB上，经过点B，且与边AC相切的⊙O，并简要说明作法（保留作图痕迹，不要求证明）．
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用勾股定理计算；
（2）先作∠ABC的平分线，交AC与D，然后过点D作DO⊥AC于D，交AB于点O，得△ODC为等腰三角形，OD=OC，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，则⊙O为所求作的圆．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4．
∴BC=AB2−AC2=52−42=3；
故答案为：3；
（2）解：先作∠ABC的平分线，交AC与D，然后过点D作DO⊥AC于D，交AB于点O，得△ODC为等腰三角形，OD=OC，以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，则⊙O为所求作的圆．
证明：∵BD平分∠CBA，
∴∠DBC=∠DBA，
∵OD⊥AC，∠C=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC
∴∠ODB=∠DBA，
∴OD=OB，
∴以点O为圆心，OD长为半径的⊙O过点B，
∵OD⊥AC，OD为半径，
∴AC为⊙O的切线，
∴以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，为所求．
故答案为：作∠B的平分线与AC交于点D；过点D作AC的垂线（或BC的平行线）与AB交于点O；以点O为圆心，OB为半径作圆，所作⊙O即为所求．
【点睛】本题考查勾股定理，尺规作圆，角平分线的定义，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的判定和性质，本题难度不大，是基础题的小综合，掌握以上知识是解题关键．
【考点7 尺规作圆的切线】
31．（2022春·江苏·九年级期末）与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线．如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线．
(1)如图①，⊙P、⊙Q只有一个公共点，⊙P与⊙Q的公切线的条数是_____．
(2)如图②，A和B分别是⊙P和⊙Q上的点，PA∥QB．连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与⊙P相切，切点为D．求证：CD是⊙P与⊙Q的外公切线．
(3)如图③，⊙P在⊙Q外，用直尺和圆规作图：（在①和②中任选一题完成）
①作⊙P和⊙Q的一条外公切线；
②作⊙P和⊙Q的一条内公切线．（保留作图痕迹，不写作法．）
(4)如图④，⊙P在⊙Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D．已知⊙P、⊙Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的等量关系．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)见解析
(4)a2−b2=8
【分析】（1）利用公切线的定义求解；
（2）通过添加辅助线证明△ACP∽△BCQ和△DCP∽△ECQ，再利用d=r证明切线；
（3）仿照（1）的启示作图；
（4）通过添加辅助线，运用切线定理，证得Rt△PAE≌Rt△PCE，Rt△QDE≌Rt△QBE，进而得到∠PEQ=90°，进一步证明△PCE∽△QDE，得到CEPC=QDDE，进行代数计算即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，，⊙P与⊙Q的公切线有3条
故答案是：3；
（2）解：如图①，连接PD，过点Q作QE⊥CD，垂足为E．
∵PA∥QB，
∴△ACP∽△BCQ，
∴APBQ＝CPCQ，
∵CD与⊙P相切，切点为D，
∴CD⊥DP．
∵QE⊥CD，
∴∠CDP=∠CEQ=90°．
∴DP∥EQ．
∴△DCP∽△ECQ．
∴DPEQ＝CPCQ．
∴DPEQ＝APBQ．
∵AP=DP，
∴EQ=BQ，
∴CD与⊙Q相切，即CD是⊙P与⊙Q的外公切线．
（3）如图②，直线l即为两圆的外公切线；
如图③，直线m即为两圆的内公切线．
（4）解：设AB、CD相交于点E，如图，连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ
则有∠PAE=∠PCE=∠QDE=∠QBE=90°，
∵AP=CP，EP=EP，
∴Rt△PAE≌RtPCEHL，
同理可证Rt△QDE≌Rt△QBE，
∴∠AEP=∠CEP，∠DEQ=∠BEQ
∵∠AEP+∠CEP+∠DEQ+∠BEQ=180°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠CPE+∠CEP=90°=∠CEP+∠DEQ，
∴∠CPE=∠DEQ，
∴△PCE∽△EDQ，
∴CEPC=QDDE
∵AE=CE，DE=BE（切线长定理），
∴AB−DE=AB−BE=AE=CE=a−DE，CD+DE=CE=b+DE
∴DE=12a−b，
∴CE=12a+b，
∵CEPC=QDDE，即12a+b1=212a−b
∴a2−b2=8．
【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系，切线的性质和判定，切线长定理，涉及到作图的方法、三角形相似的性质和判定，是一道综合性极强的题，灵活运用所学知识是解题的关键．
32．（2022·北京海淀·九年级期末）已知：如图，PA是⊙O的切线，A为切点．
求作：⊙O的另一条切线PB，B为切点．
作法：以P为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点B；
作直线PB．
直线PB即为所求．
(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明过程．
证明：连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO=90°．
在△PAO与△PBO中，PA=PB,OP=OP,______,
∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°．
∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（____________________）（填推理的依据）．
【答案】(1)见解析
(2)OA=OB，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】（1）按照作法作出图形即可；
（2）连接OA，OB，OP，证明△PAO≌△PBO即可证明PB是⊙O的切线．
【详解】（1）补全图形，如图所示：
（2）连接OA，OB，OP．
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO=90°．
在△PAO与△PBO中，PA=PB,OP=OP,OA=OB,
∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO=∠PBO=90°．
∴OB⊥PB于点B．∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：OA=OB，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
33．（2022春·广东广州·九年级专题练习）如图，已知P是⊙O外一点，请你用三种不同的方法过点P作⊙O的一条切线，要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】详见解析
【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
方法二：根据等腰三角形的性质“三线合一”作⊙O的切线，
方法三：做射线PE，作OE⊥PE与E，作△POE的外接圆交⊙O于点D，作直线PD，PD即为所求．
【详解】解：方法一：
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于12PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
方法二：
作法：作射线PO，交⊙O于点M，N，以P为圆心，PO为半径作⊙P，以O为圆心，MN的长为半径画弧交⊙P于点A，连接PA，OA，OA交⊙O于点B，则△PAO是等腰三角形，OB=12OA，则PB⊥OA，PB即为所求．
方法三：
作法：做射线PE，作OE⊥PE与E，作△POE的外接圆交⊙O于点D，作直线PD，PD即为所求．
【点睛】本题考查复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
34．（2022·北京海淀·九年级期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：⊙O及⊙O外一点P．
求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．
作法：如图，
①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于12OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；
②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；
③作直线PA和直线PB．
所以直线PA和PB就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵OP是⊙Q的直径，
∴∠OAP=∠OBP=________°（________）（填推理的依据）．
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB是⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．
【答案】(1)见解析
(2)90，直径所对的圆周角为直角
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出∠OAP=∠OBP=90°，再根据垂线的定义，得出PA⊥OA，PB⊥OB，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图：
（2）证明：∵OP是⊙Q的直径，
∴∠OAP=∠OBP=90°（直径所对的圆周角为直角）．
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB是⊙O的半径，
∴PA，PB是⊙O的切线．
故答案为：90，直径所对的圆周角为直角
【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
35．（2022·北京海淀·九年级期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1，⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图2，
①连结OP，作线段OP的中点M；
②以M为圆心，MP的长为半径作圆，交⊙O于点A,B；
③作直线PA和PB，直线PA，PB即为所求作⊙O的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接OA，如图2，
由作法可知，OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=90°（_____________）（填推理的依据），
∴OA⊥PA，
∵点A在⊙O上，
∴直线PA是圆的切线（_____________）（填推理的依据），
同理，直线PB也是圆的切线．
【答案】见详解，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
【详解】解：补画图形如下，
证明：连接OA,OB，如图2，
由作法可知，OP为⊙M的直径，
∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角为直角），
∴OA⊥PA，
∵点A在⊙O上，
∴直线PA是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理，直线PB也是圆的切线．
【点睛】本题主要考查了作图—过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键．
【考点8 尺规作正多边形】
36．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）作图题：
(1)尺规作图：如图，已知线段AB．求作线段AB的垂直平分线l，交AB于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并写出作法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以A、B为圆心，以任意长为半径，两圆相交于两点，连接此两点即可．
（2）连接CO并延长到F，使得OF=OC，连接BO并延长到E，使得OE=OB，连接DE，EF，AF即可得出图形．
【详解】（1）
（2）解：连接CO并延长到F，使得OF=OC，连接BO并延长到E，使得OE=OB，连接DE，EF，AF，
如图，六边形ABCDEF即为所求．
【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，也考查了中心对称图形的性质，熟练掌握一般作图的步骤是解题的关键．
37．（2020·浙江·九年级期末）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径．
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：在所给圆中作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中已画出的图形上连接DF，已知⊙O的半径为4，求DF的长．晓敏的解法如下，请你完善解答过程中的两个空格的内容．
解：在⊙O中，连接OF．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴∠AOF=60°，
∴∠ADF=12∠AOF=30°________（填推理的依据）．
∵AD为⊙O直径，
∴∠AFD=90°，
∵cs30°=DFAD=32，
∴DF=________．
【答案】（1）见解析；（2）同弧所对的圆周角是圆心角的一半，43
【分析】（1）用⊙O的半径去截圆周即可解决问题；
（2）连接OF，在Rt△ADF中，解直角三角形即可解决问题．
【详解】解：（1）⊙O的内接正六边形ABCDEF如图所示；
（2）在⊙O中，连接OF．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ AB=BC=CD=DE=EF=AF，
∴∠AOF=60°，
∴∠ADF=12∠AOF=30°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∵AD为⊙O直径，
∴∠AFD=90°，
∵cs30°=DFAD=32，
∴DF=43，
故答案为：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，43．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形，正多边形与圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
38．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．
【答案】见解析
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
39．（2022·北京房山·统考二模）已知：射线AB
求作：△ACD，使得点C在射线AB上，∠ D=90°，∠ A=30°．
作法：如图，①在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心，OC为半径作弧，在射线AB上方交⊙O于点D；③连接AD，CD．则△ACD即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OD．
∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ ADC=__________°．
∵OD=OC=CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠ DOC=60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠ DAC= 12∠ DOC．（ ）（填推理的依据）
∴∠ DAC=30°．
△ACD即为所求的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；
（2）证明：连接OD．由AB为⊙O的直径，得到∠ ADC=90°．证明△OCD等边三角形，得到∠ DAC= 12∠ DOC，由此得到△ACD即为所求的三角形．
【详解】解：（1）补全的图形如图所示：

（2）证明：连接OD．
∵ AB为⊙O的直径，
∴∠ ADC=90°．
∵OD=OC=CD，
∴△OCD等边三角形．
∴∠ DOC=60°．
∵点A，D都在⊙O上，
∴∠ DAC= 12∠ DOC．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）
∴∠ DAC=30°．
△ACD即为所求的三角形．
故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
．
【点睛】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．
40．（2022·江苏镇江·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，AB=2.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：作⊙O的内接正六边形ACDBEF．
（2）在（1）的条件下，直线PE与⊙O相切于点E，交AB延长线于点P，求PB、PE和BE所围成的图形面积．
【答案】（1）作图见解析；
（2）PB、PE和BE所围成的图形面积为32−16π
【详解】分析;(1)以圆的半径长为半径以此在圆上画弧,然后再连接即可.(2)由正六边形边长BE所对的圆心角为60°，可求出扇形BOE的面积，
解：（1）作图略
（2）连结OE
∵PE切⊙O于E
∴∠OEP=90°
∵正六边形ACDBEF内接于⊙O
∴∠EOB=60°
∴S扇形EOB=16π
∵∠EOB=60°，∠OEP=90°
∴tan60°=EPEO=3
∵ EO=1
∴EP=3
∴SRtΔOEP=32
∴S=32−16π
【考点9 格点作图】
41．（2022·浙江宁波·一模）如图，在8×8的方格纸中，A，B是方格纸中的两格点，请按要求作图.
(1)在图1中，以AB为一边作一个矩形ABCD，要求C，D两点也在格点上.
(2)在图2中，以AB为一边作一个菱形ABEF，要求E，F两点也在格点上.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质作出图形即可（答案不唯一）；
（2）作出边长为13的菱形即可．
（1）
解：如图1中，矩形ABCD即为所作；
（2）
如图1中，矩形ABEF即为所作；
【点睛】本题考查了作图－应用与设计作图，菱形与矩形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想解题，属于中考常考题型．
42．（2022·广东广州·广州市第一中学校考三模）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个周长为85的菱形ABCD（非正方形）；
(2)在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析．较长的对角线NQ=35
【分析】（1）根据菱形的周长为85以及菱形的性质可知菱形的边长为25，因此只需利用网格特点构造直角边长分别为2、4的直角三角形，则直角三角形的斜边即为25，由此进行作图即可；
（2）根据面积为9可以设计底和高都是3的平行四边形，再利用小正方形的对角线和边长成45°即可画出，利用勾股定理可以求对角线长．
（1）
解：如图1中，菱形ABCD即为所求．
（2）
如图2中，平行四边形MNPQ即为所求．
∴较长的对角线NQ=32+62=35．
【点睛】本题考查了作图，熟练掌握菱形的判定、平行四边形判定、勾股定理以及网格的结构特征是解题的关键．
43．（2022秋·江苏南京·七年级南京玄武外国语学校校考期末）如图，在9×8方格纸中，每个小正方形的顶点叫做格点．已知线段AB，AC，且点A，B，C均在格点上．仅用无刻度的直尺完成下列画图，再比较大小．
(1)画CD∥AB；画AE⊥CD，垂足为E；
(2)比较大小：线段CE______线段AC，理由是______．
【答案】(1)见解析
(2)<，垂线段最短
【分析】（1）根据方格特征作图即可；
（2）由垂线段最短可得答案．
【详解】（1）解：取格点D，则CD∥AB；
取格点F，直线AF交CD于点E，则AE⊥CD，垂足为E；如图：
∵FG=DH=2，∠AGF=∠CHD=90°，AG=CH=3，
∴△AGF≌△CHDSAS，
∴∠AFG=∠CDH，
∵∠AFG+∠DFA=∠CDH+∠DFA=90°，
∴AE⊥CD，
故直线CD，AE即为所求；
（2）解：垂线段最短可得：线段CE<线段AC，
故答案为：<，垂线段最短．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握方格特征，利用全等三角形判定与性质作图．
44．（2022秋·福建泉州·八年级校考阶段练习）如图，在4×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上请你在图①和图②中分别画出一个三角形，同时满足以下两个条件：
(1)以点A为一个顶点，另外两个顶点也在正方形网格点上；
(2)与△ABC全等，且不与△ABC重合．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案；
（2）直接利用网格结合全等三角形的判定方法分析得出答案．
【详解】（1）如图所示：△ABD即为所求；
在△ABC和△ABD中
AB=AB∠ABC=∠ABD=45°BC=BD=3
∴△ABC≌△ABDSAS．
（2）如图所示：△BAE即为所求．
∵AE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE．
在△ABC和△BAE中
AB=BA∠ABC=∠BAEBC=AE=3
∴△ABC≌△BAESAS．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
45．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，边长为1的小正方形构成的6×6网格中，每个小正方形的顶点称为格点．AD是△ABC的角平分线，其中A，B，D为格点．
(1)画出AB的中点M；
(2)在AC上画点N，使ND∥AB；
(3)画点B关于AD的对称点P；
(4)若△QAB是等腰三角形，直接写出该网格中满足条件的格点Q的个数．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形
【分析】（1）作AB的垂直平分线交AB于点M，则M即为AB的中点；
（2）作AD的垂直平分线，交AC于点N，连接ND，则ND∥AB；
（3）过B点作BO⊥AD，交AD于点O，使BO=OP，则点P于点B关于AD对称；
（4）分AQ为底；AB为底；BQ为底三种情况即可确定满足条件的格点Q的个数
【详解】（1）如图所示：
作AB的垂直平分线交AB于点M，则M即为AB的中点；
（2）作AD的垂直平分线，交AC于点N，连接ND，
∵AN=ND，
∴∠NAD=∠NDA，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠NDA，
∴ND∥AB
（3）如图所示：
过B点作BO⊥AD，交AD于点O，使BO=OP，则点P于点B关于AD对称；
（4）Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形，
理由如下：
如图所示：
AQ为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有2个，
AB为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有1个，
BQ为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有2个，
综上所述： Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，首先要理解题意，弄清楚题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【考点10 无刻度直尺作图】
46．（2022秋·全国·九年级专题练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；
（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；
（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作直线AF即可．
（2）连接AE，BF交于点G，连接BD，CE交于点H，作直线GH即可．
（3）作直径BE，CF，作直线EF即可．
【详解】解：（1）如图1，直线AF即为所求作．
（2）如图2，直线GH即为所求作．
（3）如图3，直线EF即为所求作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，平行四边形的性质，正多边形和圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
47．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，AE是∠BAD的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)在图（1）中，以AD为腰作一个等腰三角形；
(2)在图（2）中，以AE为边作▱AECF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长DC和AE交于点F，△ADF即为一个以AD为腰的等腰三角形；
（2）连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形AECF即为平行四边形．
（1）
解：在图1中，延长DC和AE交于点F，△ADF即为所作．
（2）
在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形AECF即为所作．
【点睛】本题考查作图．涉及平行四边形的性质和判定，以及等腰三角形的性质和判定．
48．（2022秋·江苏宿迁·八年级校联考期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）
【答案】作图见解析.
【分析】分类讨论如下：
①以A为圆心，以3为半径作弧，交AD、AB两点，连接即可；
②连接AC，在AC上，以A为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交AD、AB两点，连接即可；
③以A为端点在AB上截取3个单位，以截取的点为圆心，以3个单位为半径画弧，交BC一个点，连接即可；
④连接AC，在AC上，以C为端点，截取1.5个单位，过这个点作AC的垂线，交BC、DC两点，然后连接A与这两个点即可；
⑤以A为端点在AB上截取3个单位，再作着个线段的垂直平分线交CD一点，连接即可．
【详解】解：满足条件的所有图形如图所示：
【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．
49．（2022秋·湖北武汉·九年级统考期中）已知正方形ABCD，点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
(1)在图①中，画出正方形ABCD的中心O；将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°；
(2)在图②中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
(3)在图③中，点F为正方形ABCD边BC上任意一点，作F关于AC的对称点H．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接FO，延长FO交AD于点H，连接CH即可；
（2）连接BD交AC于点G，连接FG并延长交AD于点E，分别连接AF、BE，交于点O，作直线OG即可；
（3）连接BF交AC于点O，连接BO并延长交CD于点H，点H即为所求．
【详解】（1）如图，点O，线段CH即为所求；
（2）如图，直线OG即为所求；
（3）如图，点HE即为所求；
【点睛】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
50．（2022秋·江西宜春·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=100°，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)如图，AB=AC，作一个10°的圆周角；
(2)如图，AB≠AC，作一个20°的圆心角．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接CO并延长CO交⊙O于D，连接BD，利用圆周角定理得到∠CBD=90°，由四边形ABDC是圆内接四边形，则∠BDC=180°−∠BAC=80°，所以∠BCD=90°−∠BDC=10°；
（2）连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，利用圆周角定理得到∠DBC=90°，利用圆内接四边形的性质得到∠D=80°，所以∠BCD=10°，然后根据圆周角定理得到∠BOD=20°．
【详解】（1）解：如图1，∠BCD为所作；
连接CO并延长CO交⊙O于D，连接BD，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A=100°，
∴∠BDC=180°−∠A=80°，
∴∠BCD=90°−∠BDC=10°，
则∠BCD为所作；
（2）如图2，∠BOD为所作．
连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，连接OB，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠D=180°−∠BAC=80°，
∴∠BCD=90°−∠BDC=10°，
∴∠BOD=2∠BCD=20°．
∴∠BOD为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．