中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题26图形的对称、平移、旋转与位似(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题26图形的对称、平移、旋转与位似(10个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)，共62页。


【考点1 利用平移的性质求解】
1．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A′B′C′D′E′F′沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A′−B′−C′扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．3:1B．4:1C．5:2D．2:1
2．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（ ）
A．3−6B．6C．3+6D．26
3．（2022·湖北随州·统考一模）楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ，现在要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽BD=1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．(4+sinθ)米2B．4csθ米2C．4+4tanθ米2D．(4+4tanθ)米2
5．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
\l "_Tc211" 【考点2 坐标轴中的平移】
6．（2022·海南·统考中考真题）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)
7．（2020·河南·统考中考真题）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为−2,6和7,0．将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
A．32,2B．2,2C．114,2D．4,2
8．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A1,0，B0,−2，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段DC，点A与点D为对应点．点P为y轴上一点，且S△ACP=14S四边形ABCD，则满足要求的点P坐标为______．
9．（2022·广东中山·统考二模）将点Am−2,5m−23向左平移a(a>0)个单位长度，向上平移b(b>0)个单位长度，得到点A1(2m−3,2m+1)，则m的取值范围是___________．
10．（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,1，D2,3，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移______个单位，再向上平移______个单位．
\l "_Tc12687" 【考点3 镜面对称】
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）九年四班中考倒计时钟上每天都显示着距离中考还有多少天，小明用镜子看背后时钟上的时间如图显示，这时的时钟上的正确显示应是（ ）
A．258B．528C．825D．852
12．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
13．（2022春·河南周口·七年级统考期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（ ）
A．B．C．D．
14．（2020·广东·统考一模）小明从前面的镜子里看到后面墙上挂钟的时间为2:30，则实际时间是_______________．
15．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆号码如图所示，则该汽车的号码是______．
\l "_Tc32320" 【考点4 轴对称中坐标与图形变化】
16．（2022·陕西·统考中考真题）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数y=12x的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
17．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将点A−1,2向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是___________．
19．（2020·四川达州·中考真题）如图，点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称，则a+b=______．
\l "_Tc9647" 【考点5 设计轴对轴图案】
21．（2022·四川广安·统考中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
22．（2019·四川广安·统考中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
23．（2017·湖北·中考真题）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
24．（2008·吉林长春·中考真题）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．
（1）请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字；
（2）小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析并写出构成的汉字进行说明．
25．（2013·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图．在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
\l "_Tc18509" 【考点6 利用轴对称求最值】
26．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D−4,5两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2013·贵州六盘水·中考真题）（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
（2）实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．
（3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
28．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．
【问题解决】
(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．
∴∠EFA=∠BFA=45°．
∴AF=2AB=AD．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
29．（2016·新疆·中考真题）如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形BCED′是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．
30．（2022·广东广州·统考二模）如图， A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是AD的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4，求AP+PB的最小值．
\l "_Tc4449" 【考点7 利用旋转的性质求解】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+12αB．90°−12αC．180°−32αD．32α
32．（2018·吉林·中考真题）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10°B．20°C．50°D．70°
33．（2014·江西南昌·中考真题）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°
34．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B=90°，∠C=30°，AB=1，则AE=__________．
35．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α0°<α<180°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC,∠CAD=25°，则旋转角α的度数是______．
\l "_Tc28745" 【考点8 旋转中的坐标与图形变换】
36．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是________．
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A−1,2，OC=4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B′坐标是______．
38．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为___________．
39．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
40．（2022·山东济南·统考中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1(1,0)，再将O1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0,−1)，再将O2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．
\l "_Tc32340" 【考点9 位似变换】
41．（2020·辽宁盘锦·中考真题）△AOB三个顶点的坐标分别为A5,0，O0,0，B3,6，以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．
42．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________．
43．（2018·辽宁抚顺·中考真题）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的12，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为_____．
44．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）如图，在正方形网格中，△OAB的顶点都在小正方形的格点上．
(1)以点O为位似中心，将△OAB放大2倍后得到△OA1B1，画出△OA1B1；
(2)找出A1B1的中点C，将△OAB绕点C旋转180∘得到△O1A2B2，画出△O1A2B2．
45．（2022·辽宁铁岭·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,1)，C(−5,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
(4)设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S1:S2．
\l "_Tc2140" 【考点10 图形的变换与作图】
46．（2022·宁夏吴忠·统考二模）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标：A（______，______），A′（______，______）．
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点Mm,4−n是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为2n−8,m−4，求m和n的值．
47．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,−2)，B(4,−1)，C(3,−3)（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)求点C到点C1经过的路径．
48．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A0,0，B4,6，C4,2．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，写出B1的坐标；
(2)把△ABC平移到△A2B2C2的位置，使点B移动到点B2位置；画出平移后的三角形△A2B2C2，并判断四边形AA2B2B的形状，并说明理由．
49．（2020·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
50．（2018·江苏徐州·统考中考真题）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴并写出对称轴；
（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.
专题26 图形的对称、平移、旋转与位似（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 利用平移的性质求解】
1．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，两张完全相同的正六边形纸片（边长为2a）重合在一起，下面一张保持不动，将上面一张纸片六边形A′B′C′D′E′F′沿水平方向向左平移a个单位长度，则上面正六边形纸片面积与折线A′−B′−C′扫过的面积（阴影部分面积）之比是（ ）
A．3:1B．4:1C．5:2D．2:1
【答案】A
【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】解：如下图，正六边形由六个等边三角形组成，过点O作OH⊥CD于点H，OG⊥AF于点G，
根据题意，正六边形纸片边长为2a，即CD=2a，
∴OC=OD=CD=2a，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH=12CD=a，
∴在Rt△OCH中，OH=OC2−CH2=(2a)2−a2=3a，
同理，OG=3a，
∴S△OCD=12CD⋅OH=12×2a×3a=3a2，
∴正六边形的面积=6×34×(2a)2=63a2，
∵将上面一张纸片六边形A′B′C′D′E′F′沿水平方向向左平移a个单位长度，
又∵GH=OG+OH=23a，
∴阴影部分的面积=a×23a=23a2，
∴空白部分与阴影部分面积之比是=63a2:23a2=3:1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、平移变换等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考三模）如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（ ）
A．3−6B．6C．3+6D．26
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，求出△ABC的面积，根据平移的性质得出AC=DF=3，△DEF的面积=△ABC的面积=6，再根据面积比等于相似比的平方得出即可．
【详解】解：∵AB=4，AC=3，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DHC∽△DEF，
∴△DEF的面积=△ABC的面积=12×3×4=6，DF=AC=3，
∵图中阴影部分面积为4，
DCDF=46，
∴DC3=26，
解得：DC=6，
即平移的距离是CF=AC−DC=3−6，
故选：A．
【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求出△DEF的面积是解此题的关键．
3．（2022·湖北随州·统考一模）楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ，现在要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽BD=1米，则地毯的面积至少需要（ ）
A．(4+sinθ)米2B．4csθ米2C．4+4tanθ米2D．(4+4tanθ)米2
【答案】D
【分析】根据正切求出BC的长，再求出地毯的长度，即可得答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=AC×tan∠CAB=4tanθ，
∴所需地毯的长度为AC+BC=（4+4tanθ）（米），
面积为：（4+4tanθ）×1=（4+4tanθ）（米2），
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和平移的性质，解题的关键是根据正切求出BC的长．
4．（2018·河南·河南省实验中学校考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数y=kx（x>0）的图像和菱形OABC，且OB=4，tan∠BOC=12，若将菱形向右平移，菱形的两个顶点B、C恰好同时落在反比例函数的图像上，则反比例函数的解析式是______________.
【答案】y=4x##y=4x−1##xy=4
【分析】结合题意，由菱形的性质易得OD=2、CD=1，即可确定B、C的坐标，设菱形平移后B的坐标是（x，4），C的坐标是（1+x，2），因为B、C落在反比例函数的图像上，可知k=4x=2(1+x)，解得x=1，可知菱形平移后B的坐标是（1，4），将其代入反比例函数的解析式并求解即可获得答案．
【详解】解：连接AC，交y轴于D，如下图，
∵四边形形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，OD=BD，AD=CD，
∵OB=4，tan∠BOC=12，
∴tan∠BOC=CDOD=12，
∴OD=12OB=2，CD=1，
∴A（﹣1，2），B（0，4），C（1，2），
设菱形平移后B的坐标是（x，4），C的坐标是（1+x，2），
∵B、C落在反比例函数的图像上，
∴k=4x=2(1+x)，解得x=1，
即菱形平移后B的坐标是（1，4），代入反比例函数的解析式，
可得 k=1×4=4，
∴反比例函数的解析式是y=4x．
故答案为y=4x．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及平移的性质等知识，运用树形结合的思想分析问题是解题关键．
5．（2022·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
【答案】(1)20x，20x
(2)1米
【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解；
（2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为30−xm，宽为20−xm的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】（1）解∶道路①的面积为20x平方米，道路②的面积为20x平方米
（2）解：根据题意，得30−x20−x=551，
解得x1=1，x2=49（不符合题意，舍去）
答：道路的宽度为1米．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
\l "_Tc211" 【考点2 坐标轴中的平移】
6．（2022·海南·统考中考真题）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)
【答案】D
【分析】先过点C做出x轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
【详解】
如图过点C作x轴垂线，垂足为点E，
∵∠ABC=90°
∴∠ABO+∠CBE=90°
∵∠CBE+BCE=90°
∴∠ABO=∠BCE
在ΔABO和ΔBCE中，
{∠ABO=∠BCE∠AOB=∠BEC=90° ，
∴ΔABO∽ΔBCE，
∴ABBC=AOBE=OBEC=12 ，
则BE=2AO=6 ,EC=2OB=2
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
【点睛】本题考查了图象的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．
7．（2020·河南·统考中考真题）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为−2,6和7,0．将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
A．32,2B．2,2C．114,2D．4,2
【答案】B
【分析】先画出E落在AB上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解O′B的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．
【详解】解：由题意知：C−2,0,
∵ 四边形COED为正方形，
∴CO=CD=OE, ∠DCO=90°,
∴D−2,2,E0,2,
如图，当E落在AB上时，
∵A−2,6,B7,0,
∴AC=6,BC=9,
由tan∠ABC=ACBC=EO′O′B,
∴69=2O′B,
∴O′B=3,
∴OO′=7−3=4,OC′=2,
∴D2,2.
故选B.
【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．
8．（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A1,0，B0,−2，将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段DC，点A与点D为对应点．点P为y轴上一点，且S△ACP=14S四边形ABCD，则满足要求的点P坐标为______．
【答案】(0,1)或(0,−1)##(0,−1)或(0,1)
【分析】根据图形平移的性质，即可求出D4,2，然后将S四边形ABCD转换为S△ADC+S△ABC可得到S四边形ABCD的面积，最后根据点P的特征，结合S△ACP=14S四边形ABCD即可求得点P坐标．
【详解】解：由题意可知，经过平移后，D4,2，
∴B到x轴的距离为2，记为H1，D到x轴的距离为2，记为H2，
∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC，
=12×AC×H2+12×AC×H1，
=12×2×（H1+H2)，
=4，
∵P为y轴上的一点，记P点到x轴的距离为H，
∴S△ACP=14S四边形ABCD=14×4=1，
S△ACP=12×AC×H=1=12×2×H，
∴H=1，
∴P点的纵坐标为±1，
∴P点的坐标为(0,1)或(0,−1)．
故答案为：(0,1)或(0,−1)
【点睛】本题主要考查直角坐标系中的图形平移，确定点D的坐标，是解决本题的关键．
9．（2022·广东中山·统考二模）将点Am−2,5m−23向左平移a(a>0)个单位长度，向上平移b(b>0)个单位长度，得到点A1(2m−3,2m+1)，则m的取值范围是___________．
【答案】−5【分析】先根据平移方式和平移前后点的坐标得到m−2−a=2m−35m−23+b=2m+1从而求出a=1−mb=m+53再由a>0b>0，得到1−m>0m+53>0，由此求解即可．
【详解】解：∵点Am−2,5m−23向左平移a(a>0)个单位长度，向上平移b(b>0)个单位长度，得到点A1(2m−3,2m+1)，
∴m−2−a=2m−35m−23+b=2m+1，
∴a=1−mb=m+53，
∵a>0b>0，
∴1−m>0m+53>0，
∴−5故答案为：−5【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化|—平移，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键在于能够利用m表示出a、b．
10．（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,1，D2,3，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移______个单位，再向上平移______个单位．
【答案】 4 2
【分析】根据平行线的性质求得点C的坐标，然后即可求得平移方式，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,1，D2,3，
∴AB=DC=4−1=3，
∴C2+3,3即C5,3，
将A1,1平移到顶点C5,3的位置，可以是先向右平移4个单位，再向上平移2个单位．
故答案为：4，2．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
\l "_Tc12687" 【考点3 镜面对称】
11．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）九年四班中考倒计时钟上每天都显示着距离中考还有多少天，小明用镜子看背后时钟上的时间如图显示，这时的时钟上的正确显示应是（ ）
A．258B．528C．825D．852
【答案】A
【分析】在平面镜中的像与现实中的事物左右顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解．
【详解】解：根据镜面对称的性质，时钟上显示的数字与成轴对称，
因此时钟上的正确显示应是：258．
故选A．
【点睛】本题考查镜面对称，解题的关键是掌握“平面镜中的像与现实中的事物关于镜面对称”．
12．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据镜面对称的性质求解．
【详解】解：8点的时钟，在镜子里看起来应该是4点，所以最接近8点的时间在镜子里看起来就更接近4点，所以应该是图C所示，最接近8点时间．
故选C．
【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
13．（2022春·河南周口·七年级统考期末）如图下面镜子里哪个是他的像？（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用镜面对称的定义得出答案．
【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．
14．（2020·广东·统考一模）小明从前面的镜子里看到后面墙上挂钟的时间为2:30，则实际时间是_______________．
【答案】9:30
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：2:30时，分针竖直向下，时针指2和3之间，根据对称性可得：与9:30时的指针指向成轴对称，故实际时间是9:30．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
15．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆号码如图所示，则该汽车的号码是______．
【答案】B6395
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395．
故答案为：B6395．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，理解轴对称的性质是解本题的关键．
\l "_Tc32320" 【考点4 轴对称中坐标与图形变化】
16．（2022·陕西·统考中考真题）已知点A(−2，m)在一个反比例函数的图象上，点A′与点A关于y轴对称．若点A′在正比例函数y=12x的图象上，则这个反比例函数的表达式为_______．
【答案】y=−2x
【分析】根据点A与点A′关于y轴对称，得到A′(2，m)，由点A′在正比例函数y=12x的图象上，求得m的值，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵点A与点A′关于y轴对称，且A(−2，m)，
∴A′(2，m)，
∵点A′在正比例函数y=12x的图象上，
∴m=12×2，
解得：m=1，
∴A(−2，1)，
设这个反比例函数的表达式为y=kx，
∵A(−2，1) 在这个反比例函数的图象上，
∴k=-2×1=-2，
∴这个反比例函数的表达式为y=−2x，
故答案为：y=−2x．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
17．（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将点A−1,2向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是___________．
【答案】1,−2
【分析】根据平移的坐标变化规律和关于x轴对称的点的坐标特征即可解决．
【详解】解：∵点A（-1，2）向右平移2个单位得到点B，
∴B（1，2）．
∵点C与点B关于x轴对称，
∴C（1，-2）．
故答案为：（1，-2）
【点睛】本题考查了平移、关于坐标轴对称等知识点，熟知平移时点的坐标变化规律和关于正半轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
18．（2020·江苏盐城·统考中考真题）如图，已知点A5,2,B(5，4),C(8，1)，直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0),其中m<52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx(k≠0)的图像上，则k的值为：_______________________．
【答案】−6或−4
【分析】因为△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且直线l⊥x轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为2m，利用等量关系计算出m的值，又由于△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx(k≠0)，从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上，求出k的值．
【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，直线l⊥x轴，垂足为点M(m，0)，m<52
∴A'(2m−5,2)，B'(2m−5,4)，C'(2m−8,1)
∵△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx(k≠0)
（1）设A'(2m−5,2)，B'(2m−5,4)在直线y=kx(k≠0)上，
代入有(2m−5)×2=(2m−5)×4，m=52不符合m<52故不成立；
（2）设A'(2m−5,2)，C'(2m−8,1)在直线y=kx(k≠0)上，
有(2m−5)×2=(2m−8)×1，m=1，A'(−3,2)，C'(−6,1)，代入方程后k=-6；
（3）设B'(2m−5,4)，C'(2m−8,1)在直线y=kx(k≠0)上，
有(2m−5)×4=(2m−8)×1，m=2，B'(−1,4)，C'(−4,1)，代入方程后有k=-4；
综上所述，k=-6或k=-4；
故答案为：-6或-4．
【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为对称轴横坐标的2倍是解题的关键．
19．（2020·四川达州·中考真题）如图，点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称，则a+b=______．
【答案】-5
【分析】根据点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
【详解】解：∵点P(−2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=−1)对称
∴a=-2，1+b2=−1,解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
【点睛】本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键．
20．（2019·山东临沂·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点P4,2关于直线x=1的对称点的坐标是_____．
【答案】−2,2
【分析】先求出点P到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点P'到直线x=1的距离，从而得到点P'的横坐标，即可得解．
【详解】∵点P(4,2)，
∴点P到直线x=1的距离为4−1=3，∴点P关于直线x=1的对称点P'到直线x=1的距离为3，
∴点P'的横坐标为1−3=−2，
∴对称点P'的坐标为(−2,2).
故答案为(−2,2)．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据轴对称性求出对称点到直线x=1的距离，从而得到横坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．
\l "_Tc9647" 【考点5 设计轴对轴图案】
21．（2022·四川广安·统考中考真题）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可
【详解】解：如下图所示：
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，中心对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2019·四川广安·统考中考真题）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】见解析.
【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得．
【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念．
23．（2017·湖北·中考真题）如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）根据中心对称图形，画出所有可能的图形即可．
（2）根据是轴对称图形，不是中心对称图形，画出图形即可．
【详解】解：（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示；
【点睛】本题考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案．
24．（2008·吉林长春·中考真题）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性．如图，三个汉字可以看成是轴对称图形．
（1）请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字；
（2）小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析并写出构成的汉字进行说明．
【答案】解：（1）如：田、日 等
（2）这个游戏对小慧有利．
每次游戏时，所有可能出现的结果如下：（列表）

（树状图）
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中能组成上下结构的汉字的结果有4种：（土，土）“圭”，（口，口）“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”．
∴P(小敏获胜)=49，P(小慧获胜)=59
P(小敏获胜)< P(小慧获胜)．
∴游戏对小慧有利
【详解】（1）就是汉字中左右结构，或上下结构相同的字，如田日等字；
（2）本题要具体分情况分析，分析三个字的组合，及它们的概率，从中找出对谁有利．
25．（2013·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图．在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；
（2）请直接写出四边形ABCD的周长．
【答案】（1）作图如下：
（2）四边形ABCD的周长为25+52．
【详解】试题分析：（1）根据四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，分别得出对称点画出即可；
（2）根据勾股定理求出四边形ABCD的周长即可．
试题解析：（1）如图所示：
（2）四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=5+22+5+32=25+52．
\l "_Tc18509" 【考点6 利用轴对称求最值】
26．（2021·湖北恩施·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D−4,5两点，且与直线DC交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP．探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+2x−3；（2）存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为−1,22或−1,−22或−1,5−17或−1,5+17；（3）EM+MP+PB存在最小值，最小值为41+1，此时点M的坐标为−1,54．
【分析】（1）由题意易得AD=AB=5，进而可得A−4,0，则有B1,0，然后把点B、D代入求解即可；
（2）设点F−1,a，当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF=BE时，②当EF=BE时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；
（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有EM+MP+PB=DM+MO+1，若使EM+MP+PB的值为最小，即DM+MO+1为最小，则有当点D、M、O三点共线时，DM+MO+1的值为最小，然后问题可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，D−4,5，
∴AD=AB=5，A−4,0，
∴AO=4，
∴OB=1，
∴B1,0，
把点B、D坐标代入得：16−4b+c=51+b+c=0，
解得：b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
（2）由（1）可得B1,0，抛物线解析式为y=x2+2x−3，则有抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，
∴E2,5，
∴由两点距离公式可得BE2=1−22+0−52=26，
设点F−1,a，当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：
①当BF=BE时，如图所示：
∴由两点距离公式可得BF2=BE2，即1+12+0−a2=26，
解得：a=±22，
∴点F的坐标为−1,22或−1,−22；
②当EF=BE时，如图所示：
∴由两点距离公式可得EF2=BE2，即2+12+5−a2=26，
解得：a=5±17，
∴点F的坐标为−1,5−17或−1,5+17；
综上所述：当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为−1,22或−1,−22或−1,5−17或−1,5+17；
（3）由题意可得如图所示：
连接OM、DM，
由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，B1,0，
∴OB=1，DM=EM，
∵过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，
∴PM=OB=1,PM//OB，
∴四边形BOMP是平行四边形，
∴OM=BP，
∴EM+MP+PB=DM+MO+1，
若使EM+MP+PB的值为最小，即DM+MO+1为最小，
∴当点D、M、O三点共线时，DM+MO+1的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：
∵D−4,5，
∴OD=42+52=41，
∴DM+MO+1的最小值为41+1，即EM+MP+PB的最小值为41+1，
设线段OD的解析式为y=kx，代入点D的坐标得：k=−54，
∴线段OD的解析式为y=−54x，
∴M−1,54．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．
27．（2013·贵州六盘水·中考真题）（1）观察发现
如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．
如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
（2）实践运用
如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．
（3）拓展延伸
如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．
【答案】解：（1）3．（2） 2．（3）见解析
【详解】分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值：
∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点
∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1．
∴CE=3BE=3．
（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值：
∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称．
∵AC的度数为60°，点B是AC的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°．∴∠EOC=30°．
∴∠AOE=60°+30°=90°．
∵OA=OE=1，∴AE2OA=2．
∵AE的长就是BP+AP的最小值，∴BP+AP的最小值是2．
（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于M、交BC于N．则点M，点N，使PM+PN的值最小．
解：（1）观察发现：3．
（2）实践运用：
如图，过B点作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB、OE、OA、PB，则点P 即为使BP+AP的值最小的点．

BP+AP的最小值是2．
（3）拓展延伸：作图如下：

28．（2022·吉林长春·统考中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．
【问题解决】
(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．
∴∠EFA=∠BFA=45°．
∴AF=2AB=AD．
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；
(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）
【答案】(1)见解析
(2)22.5°，2−1.
(3)52a
【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；
（2）根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°; 证明ΔGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ；
（3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．
【详解】（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．
∴∠EFA=∠BFA=45°．
∴AF=2AB=AD．
由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，
∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°
∴∠AFG=∠D=90°
又AD=AF，AG=AG
∴△ADG≌△AFG
（2）由折叠得，∠BAF=∠EAF,
又∠BAF+∠EAF=90°
∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°,
由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°,
∠AFG=∠ADG=90°,
又∠AFB=45°
∴∠GFC=45°,
∴∠FGC=45°,
∴GC=FC.
设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,
∴FC=BC−BF=2x−x=(2−1)x
∴GF=2FC=(2−2)x
∴GFAF=(2−2)x2x=2−1.
（3）如图，连接FD,
∵DG=FG
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作PR⊥AD交AD于点R，
∵∠DAF=∠BAF=45°
∴∠APR=45°.
∴AR=PR
又AR2+PR2=AP2=(a2)2=a24
∴AR=PR=24a,
∴DR=AD−AR=2a−24a=342a
在RtΔDPR中，DP2=AR2+PR2
∴DP=AR2+PR2=(24a)2+(324a)2 =52a
∴PQ+FQ的最小值为52a
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
29．（2016·新疆·中考真题）如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．
（1）求证：四边形BCED′是菱形；
（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）7．
【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形，根据折叠的性质得到AD=AD′，然后又菱形的判定定理即可得到结论；
（2）由四边形DAD′E是平行四边形，得到▱DAD′E是菱形，推出D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，解直角三角形得到AG=12，DG=32，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，
∴CE=D′B，CE∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
∵AD=AD′，
∴▱DAD′E是菱形，
（2）∵四边形DAD′E是菱形，
∴D与D′关于AE对称，
连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，
过D作DG⊥BA于G，
∵CD∥AB，
∴∠DAG=∠CDA=60°，
∵AD=1，
∴AG=12，DG=32，
∴BG=52，
∴BD=DG2+BG2=7，
∴PD′+PB的最小值为7．
【点睛】本题考查四边形综合，掌握相关性质和定理正确推理论证是解题关键．
30．（2022·广东广州·统考二模）如图， A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是AD的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP+PB最短；
(2)若CD=4，求AP+PB的最小值．
【答案】(1)作图见解析
(2)23
【分析】（1）作出B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
（2）延长AO交圆与E，连接OB′,B′E，可以根据圆周角定理求得∠AOB′的度数，根据等腰三角形的性质求得∠A的度数，然后在直角△AEB′中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解： 作BB′⊥CD，交圆于B′，然后连接AB′，交CD于P点，P就是所求的点；
此时：PA+PB=PA+PB′=AB′.
（2）延长AO交圆于E，连接OB′,B′E．
∵BB′⊥CD，
∴BD=B′D，
∵∠AOD=80°，B是AD的中点，
∴∠DOB′=12∠AOD=40°．
∴∠AOB′=∠AOD+∠DOB′=120°，
又∵OA=OB′，
∴∠A=12(180°−∠AOB′)=30°．
∵AE是圆的直径，
∴∠AB′E=90°， 而CD=AE=4,
∴直角△AEB′中，B′E=12AE=2，
∴AB′=AE2−B′E2=23,
∴PA+PB=AB′=23.
【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理，正确求得∠AOB′的度数是关键．
\l "_Tc4449" 【考点7 利用旋转的性质求解】
31．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+12αB．90°−12αC．180°−32αD．32α
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，且∠BCD=α
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴∠B=∠BDC=180°−α2=90°−α2，
∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+α2=α2，
∴∠A=∠E=α2，
∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α−α2=180°−32α，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
32．（2018·吉林·中考真题）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A．10°B．20°C．50°D．70°
【答案】B
【分析】要使木条a与b平行，那么∠1=∠2，从而可求出木条a至少旋转的度数.
【详解】解：∵要使木条a与b平行，
∴∠1=∠2，
∴当∠1需变为50 º，
∴木条a至少旋转：70º-50º=20º.
故选B.
【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
33．（2014·江西南昌·中考真题）如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°
【答案】B
【详解】试题分析：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C=4，∠B′A′C=60°，
∴BB′=6﹣4=2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°
故选B．
考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定
34．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，若∠B=90°，∠C=30°，AB=1，则AE=__________．
【答案】2
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=2，再根据旋转的性质即可得．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1，
∴AC=2AB=2，
由旋转的性质得：AE=AC=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
35．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α0°<α<180°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC,∠CAD=25°，则旋转角α的度数是______．
【答案】50°##50度
【分析】先求出∠ADE=65°，由旋转的性质，得到∠B=∠ADE=65°，AB=AD，则∠ADB=65°，即可求出旋转角α的度数．
【详解】解：根据题意，
∵DE⊥AC,∠CAD=25°，
∴∠ADE=90°−25°=65°，
由旋转的性质，则∠B=∠ADE=65°，AB=AD，
∴∠ADB=∠B=65°，
∴∠BAD=180°−65°−65°=50°；
∴旋转角α的度数是50°；
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算．
\l "_Tc28745" 【考点8 旋转中的坐标与图形变换】
36．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是________．
【答案】（-2023，2022）
【分析】由题意观察发现：每四个点一个循环，D4n+2(−4n−3,4n+2)，由2022=505×4+2，推出D2022(−2023,2022)．
【详解】解：∵将顶点D(1,0)绕点A(0,1)逆时针旋转90°得点D1，
∴D1(1,2)，
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
∴D2(−3,2)，D3(−3,−4)，D4(5,−4)，D5(5,6)，D6(−7,6)，……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n+2(−4n−3,4n+2)，
∵2022=4×505+2，
∴D2022(−2023,2022)；
故答案为：(−2023,2022)．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化−旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，找到规律再利用规律求解．
37．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A−1,2，OC=4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B′坐标是______．
【答案】−2,3或2,−3
【分析】根据旋转可得： BM = B1M1 = B2M2 = 3，∠AOA1 =∠AOA2 = 90°，可得B1和B2的坐标，即是B'的坐标．
【详解】解：∵A(-1，2)， OC= 4，
∴ C(4，0)，B(3，2)，M(0，2)， BM = 3，
AB//x轴，BM= 3．
将平行四边形OABC绕点O分别顺时针、逆时针旋转90°后，
由旋转得：OM=OM1=OM2=2，
∠AOA1=∠AOA2=90°
BM=B1M1=B2M2=3，
A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴B1和B2的坐标分别为： (-2，3)， (2，-3)，
∴B'即是图中的B1和B2，坐标就是， B' (-2， 3)， (2，-3)，
故答案为： (-2，3)或 (2， -3)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．
38．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为___________．
【答案】(−2,6+1)##(−2,1+6)
【分析】连接OB，OB′由题意可得∠BOB′=75°，可得出∠COB′=30°，可求出B′的坐标，即可得出点B″的坐标．
【详解】解：如图：连接OB，OB′，作B′M⊥y轴
∵ABCO是正方形，OA=2
∴∠COB=45°，OB=22
∵绕原点O逆时针旋转75°
∴∠BOB′=75°
∴∠COB′=30°
∵OB′=OB=22
∴MB′=2， MO=6
∴B′ (−2,6)
∵沿y轴方向向上平移1个单位长度
∴B″ (−2,6+1)
故答案为：(−2,6+1)
【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握网格结构，准确确定出对应点的位置是解题的关键．
39．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．
【答案】(4，2)
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点P，点P即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），
故答案为：（4，2）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
40．（2022·山东济南·统考中考真题）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1(1,0)，再将O1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0,−1)，再将O2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．
【答案】(−1,−1)
【分析】根据题意得出点(0,1)坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：点(0,1)按序列“011011011”作变换，表示点(0,1)先向右平移一个单位得到(1,1)，再将(1,1)绕原点顺时针旋转90°得到(1,−1)，再将(1,−1)绕原点顺时针旋转90°得到(−1,−1)，然后右平移一个单位得到(0,−1)，再将(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到(−1,0)，再将(−1,0)绕原点顺时针旋转90°得到(0,1)，然后右平移一个单位得到(1,1)，再将(1,1)绕原点顺时针旋转90°得到(1,−1)，再将(1,−1)绕原点顺时针旋转90°得到(−1,−1)．
故答案为：(−1,−1)
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．
\l "_Tc32340" 【考点9 位似变换】
41．（2020·辽宁盘锦·中考真题）△AOB三个顶点的坐标分别为A5,0，O0,0，B3,6，以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．
【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，
∴点B的对应点B′的坐标为（3×23，6×23）或（3×（-23），6×（-23）），即（2，4）或（-2，-4），
故答案为：（2，4）或（-2，-4）．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
42．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为________．
【答案】（4，2）或（－4，－2）
【分析】根据位似变换的定义，作出图形，可得结论．
【详解】解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是正确作出点A的对应点E，G，点B的对应点F，H．
43．（2018·辽宁抚顺·中考真题）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的12，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为_____．
【答案】52或152
【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；
【详解】如图，在Rt△AOB中，OB=62+82=10，
∴OM=5，OM′=52，
①当△A′OB′在第三象限时，MM′=5-52=52；
②当△A″OB″在第二象限时，MM′=5+52=152，
故答案为52或152．
【点睛】本题考查不位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
44．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）如图，在正方形网格中，△OAB的顶点都在小正方形的格点上．
(1)以点O为位似中心，将△OAB放大2倍后得到△OA1B1，画出△OA1B1；
(2)找出A1B1的中点C，将△OAB绕点C旋转180∘得到△O1A2B2，画出△O1A2B2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可；
（2）根据旋转的性质画图即可．
【详解】（1）如图所示，△OA1B1即为所求．
（2）如图所示，△O1A2B2即为所求．
【点睛】本题考查了位似和旋转作图，解题关键是掌握位似和旋转的性质，准确画图．
45．（2022·辽宁铁岭·统考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(−2,4)，B(−2,1)，C(−5,2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
(4)设△A1B1C1的面积为S1，△A2B2C2的面积为S2，求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S1:S2．
【答案】(1)△A1B1C1见详解
(2)△A2B2C2见详解
(3)是；位似中心的坐标为（0，0）
(4)S1:S2=1:4
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2）直接利用将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与 纵坐标同时乘以-2，得出各对应点，进而得出答案；
（3）连接△A1B1C1与△A2B2C2对应点，线段交点即为位似中心；
(4）利用位似图形的性质得出答案．
（1）
解：如图所示，
△A1B1C1即为所求；
（2）
如图所示，
△A2B2C2即为所求；
（3）
△A2B2C2是△A1B1C1的位似图形，如图所示，连接B1B2、C1C2，交于原点，
故：位似中心的坐标为（0，0）；
（4）
∵△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2，得△A2B2C2，
∴△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，
则S1:S2=1:22=1:4．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换和位似变换以及位似图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
\l "_Tc2140" 【考点10 图形的变换与作图】
46．（2022·宁夏吴忠·统考二模）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A′B′C′，位置如图所示．
(1)分别写出点A，A′的坐标：A（______，______），A′（______，______）．
(2)请说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；
(3)若点Mm,4−n是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M′的坐标为2n−8,m−4，求m和n的值．
【答案】(1)（1，0），(−4，4)
(2)见解析
(3)m=7，n=5
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）构建方程组求解即可．
（1）
解：由题意得A(1,0)，(−4，4)
故答案为：（1,0），(−4，4)；
（2）
由图可知，三角形ABC向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到三角形A′B′C′；
（3）
由题意得：m−5=2n−84−n+4=m−4
解得m=7n=5
∴m=7，n=5．
【点睛】本题考查坐标与图形变换—平移，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
47．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,−2)，B(4,−1)，C(3,−3)（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
(1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)求点C到点C1经过的路径．
【答案】(1)见解析
(2)322π
【分析】（1）根据旋转的性质，作出图形即可；
（2）首先根据勾股定理可求得OC的长，再根据弧长公式，即可求解．
【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：∵OC=32+32=32，∠COC1=90°，
∴点C到点C1经过的路径为：90π×32180=322π．
【点睛】本题考查了旋转作图，勾股定理，弧长公式，根据旋转的性质求解是解决本题的关键．
48．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A0,0，B4,6，C4,2．
(1)画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，写出B1的坐标；
(2)把△ABC平移到△A2B2C2的位置，使点B移动到点B2位置；画出平移后的三角形△A2B2C2，并判断四边形AA2B2B的形状，并说明理由．
【答案】(1)图见解析，B1−4,6
(2)图见解析，四边形AA2B2B为平行四边形，理由见解析
【分析】（1）找点，描点，连线画出△AB1C1，并写出B1的坐标即可；
（2）根据点B移动到点B2位置，确定平移规则，画出△A2B2C2，利用平移的性质，判断出四边形AA2B2B的形状即可．
【详解】（1）解：如图，△AB1C1即为所求；
由图可知：B1−4,6；
（2）解：由图可知：将点B先向下移动1个单位，再向左移动5个单位，移动到点B2位置，根据平移规则，得到△A2B2C2，如图：
连接AA2,BB2，则：四边形AA2,BB2为平行四边形，理由如下：
∵将△ABC平移到△A2B2C2，
∴AB=A2B2,AB∥A2B2，
∴四边形AA2,BB2为平行四边形．
【点睛】本题考查轴对称作图，平移作图，平行四边形的判定．熟练掌握轴对称的作图方法，平移的作图方法，平移的性质，是解题的关键．
49．（2020·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0．
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2；
（3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标．
【详解】解：（1）如图所示，分别确定A,B,C平移后的对应点A1,B1,C1，
得到△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，分别确定A,B,C旋转后的对应点A2,B2,C2，
得到△A2B2C2即为所求；
（3）由图可得，△A1B1C1与△A2B2C2关于点−2,0成中心对称．
故答案为：﹣2，0．
【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键．
50．（2018·江苏徐州·统考中考真题）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1,0）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴并写出对称轴；
（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标.
【答案】（1）（2）见解析（3）成轴对称，2条对称轴见解析（4）成中心对称，对称中心为（12，12）．
【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；
（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；
（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线．
（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．
【详解】（1）△A1B1C1为所求；
（2）△A2B2C2为所求；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，如图，对称轴有2条．
（4）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形，
如图，∵B（1,0）B2(0,1)
∴对称中心为（12，12）．
【点睛】本题考查了利用旋转变换与轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．土
口
木
土
（土，土）
（土，口）
（土，木）
口
（口，土）
（口，口）
（口，木）
木
（木，土）
（木，口）
（木，木）