中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题28概率(11个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习举一反三系列(通用版)专题28概率(11个高频考点)(强化训练)(全国通用)(原卷版+解析)，共68页。

【题型1 事件的判断】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）下列事件是随机事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放《中国机长》
B．白发三千丈，缘愁似个长
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于180°
2．（2022·福建福州·统考一模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
3．（2022·福建福州·校考一模）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．在平面内，平行四边形的两条对角线相交
C．掷两次硬币，必有一次正面朝上
D．小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分
4．（2022·福建·校联考中考模拟）某同学期中考试数学考了150分，则他期末考试数学__________考150分.（选填“不可能”、“可能”或“必然”）
5．（2022·浙江·台州市书生中学校考二模）写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数y=12x2−(5m−3)x+4，当x>2时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值______________．
【题型2 概率公式的计算】
6．（2022·四川成都·统考一模）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0~9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是__________．
7．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角∠COD顶点在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310，求α= ___________．
8．（2022·重庆·统考二模）从﹣1，2，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为(x，y)，若点N为(﹣4，0)，则在平面直角坐标系内直线MN经过第一象限的概率为___．
9．（2022·河北·模拟预测）一个袋子里装着数目不超过十个的黑球和白球，且黑球多于白球，从中任意摸出两个球，两个球颜色相同的概率是1328，颜色不同的概率是1528，则黑球的个数是_________，白球的个数是_________．
10．（2022·四川成都·统考二模）骰子的六个面上分别标记六个数：-2、-1、0、1、2、3．掷一次骰子，掷得的数字记为m，则使得关于x的分式方程1−mx1−x−1=m2−1x−1有正整数解的概率为_____．
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
11．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）甲、乙两人玩抽卡片游戏，4张背面相同的卡片正面标有数字−2、0、3、5，将4张卡片洗匀后倒扣在桌面．甲先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，并将卡片放回洗匀，乙再抽取一张卡片，记下卡片上的数字，求出抽取的两数之和是奇数的概率_____．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．有四张卡片正面分别是垃圾分类标志图案，它们除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．若从中随机抽取两张张卡片，所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率是 ___________．
13．（2022·河南开封·统考二模）现有4张卡片，如图①所示，甲、乙两人依次从中随机抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图②“小房子”的概率为_________
14．（2022·江苏苏州·统考一模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是_________．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
15．（2022·陕西西安·统考一模）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
(1)九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是______；
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
16．（2022·陕西西安·校考二模）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
(1)转动转盘一次，转出数字是−3的概率是________；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为负数的概率．
17．（2022·青海西宁·统考中考真题）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
(1)省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．
18．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率．
19．（2022·云南昆明·统考中考真题）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
20．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
（2）积为9的概率为 ；积为偶数的概率为 ；
（3）从1~12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为 ．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
21．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
22．（2022·江苏泰州·统考中考真题）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
23．（2022·辽宁营口·统考中考真题）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是_________；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
24．（2022·江苏常州·统考中考真题）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
25．（2011·浙江衢州·中考真题）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°.有如下五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤，其正面分别写有五个不同的等式，小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．请结合以上条件，解答下列问题．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用①、②、③、④、⑤表示）；
（2）用两次摸牌的结果和∠C=∠F=90°作为条件，求能满足△ABC和△DEF全等的概率．
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
26．（2022·江苏淮安·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
27．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
28．（2022·广西柳州·统考中考真题）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为______；
(2)若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）
29．（2022·吉林·统考中考真题）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
30．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
31．（2022·云南昭通·统考二模）小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验时，设计了如图所示的电路图，电路图上有4个开关A、B、C、D和一个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发亮．
(1)当开关A已经是闭合状态时，任意闭合开关B、C、D中的一个，小灯泡能亮起来的概率是______；
(2)任意闭合开关A、B、C、D中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
32．（2022·江苏泰州·统考一模）小明在学习完电学知识后，用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
(1)在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于 ；
(2)任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．
33．（2022·福建龙岩·校联考一模）在如图电路中，有三个开关：S1、S2、S3．
(1)当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，灯泡L1能亮起来的概率是 ．
(2)若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，用树状图法求灯泡L1能亮起来的概率．
34．（2022·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考三模）在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
(1)位置1处安装被烧坏的元件概率为_______；
(2)请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
35．（2022·江苏盐城·校考二模）如图是我们熟悉的电路图，其中L1、L2、L3代表灯泡，K1、K2、K3、K4代表开关，R代表电阻．
（1）合上一个开关，有两盏灯亮的概率是 ；
（2）合上两个开关，有两盏灯亮的概率是多少？请结合树状图或表格解决问题．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
36．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
37．（2022·云南·中考真题）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
38．（2022·贵州遵义·统考中考真题）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）
（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 ；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．
39．（2022·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字−2，0.3，−227，0
（1）从口袋中随机出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分记作x，y，请用列表法（或树状图）求点x,y在第四象限的概率．
40．（2022·江苏苏州·统考中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、−2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
41．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1,B1,B2,⋯,D3,D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
42．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
43．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）我市长途客运站每天6:30−7:30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
44．（2022·河北邯郸·校考二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
45．（2022·陕西西安·统考一模）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则m=______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【题型10 利用频率估计概率】
46．（2022·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在10%、15%，则估计箱子里蓝球有__个．
47．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为_________．
48．（2022·四川自贡·统考中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
49．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
50．（2022·湖南长沙·统考中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【题型11 统计概率综合】
51．（2022·山东淄博·统考中考真题）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
52．（2022·西藏·统考中考真题）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
请根据图表信息，回答下列问题．
(1)参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝______；
(2)在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°；
(3)该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
53．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：小时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取_____人，条形统计图中的m＝______；
(2)在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
(3)已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
(4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
54．（2022·山东济宁·统考中考真题）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
55．（2022·青海·统考中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
(1)填空：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.乙
积
甲
1
2
3
4
1




2




3




A“杂交水稻之父”袁隆平
B“天眼之父”南仁东
C“航天之父”钱学森
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
m
0.25
0.2
0.1
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率ba
0.190
0.202
0.199
0.200
…
劳动时间小时
频数
t＜3
9
3≤t＜4
a
4≤t＜5
66
t≥5
15
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
专题28 概率（11个高频考点）（强化训练）
【题型1 事件的判断】
1．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）下列事件是随机事件的是（ ）
A．打开电视，正在播放《中国机长》
B．白发三千丈，缘愁似个长
C．离离原上草，一岁一枯荣
D．钝角三角形的内角和大于180°
【答案】A
【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可得到答案．
【详解】解：A、打开电视，正在播放《中国机长》，是随机事件，符合题意，选项正确；
B、白发三千丈，缘愁似个长，是不可能事件，不符合题意，选项错误；
C、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件，不符合题意，选项错误；
D、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件，不符合题意，选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解题关键．
2．（2022·福建福州·统考一模）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．水滴石穿D．百发百中
【答案】B
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可．
【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意；
B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意；
D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键．
3．（2022·福建福州·校考一模）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．在平面内，平行四边形的两条对角线相交
C．掷两次硬币，必有一次正面朝上
D．小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分
【答案】B
【分析】根据必然事件的意义，结合各个选项中的具体事件发表进行判断即可．
【详解】解：A. 任意买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件，故该选项不符合题意；
B. 在平面内，平行四边形的两条对角线相交，是必然事件，故该选项符合题意；
C. 掷两次硬币，必有一次正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 小明参加2023年体育中考测试，“坐位体前屈”项目获得满分，是随机事件，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握以上定义是解题的关键．
4．（2022·福建·校联考中考模拟）某同学期中考试数学考了150分，则他期末考试数学__________考150分.（选填“不可能”、“可能”或“必然”）
【答案】可能
【分析】据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.
【详解】某同学期中考试数学考了150分，则他期末考试数学可能考150分.
故答案为: 可能.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2022·浙江·台州市书生中学校考二模）写一个你喜欢的实数m的值，使得事件“对于二次函数y=12x2−(5m−3)x+4，当x>2时，y随x的增大而增大”成为随机事件，这个实数m的值______________．
【答案】m＞1的实数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可
【详解】实数m的值m＞1,使得事件对于二次函数
y=12x2−(5m−3)x+4,当x>2时,y随x的增大，则5m-3>2,解的:m>1.
而增大”成为随机事件
故答案为: m＞1
【题型2 概率公式的计算】
6．（2022·四川成都·统考一模）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是0~9这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是__________．
【答案】1100##0.01
【分析】根据题意可知：后两个数字共有100种情况，据此即可求得一次就能打开该锁的概率．
【详解】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是0~9中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是0~9中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是1100，
故答案为：1100．
【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
7．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在圆中内接一个正五边形，有一个大小为α的锐角∠COD顶点在圆心O上，这个角绕点O任意转动，在转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310，求α= ___________．
【答案】36°##36度
【分析】根据题意可得出扇形COD与扇形AOB有重叠的概率即为组成的扇形圆心角与360°的比值，进而得出答案．
【详解】解：∵在圆中内接一个正五边形，
∴每个正五边形的中心角为72°，
∵转动过程中，扇形COD与扇形AOB有重叠的概率为310
∴72°+α360°=310
解得：α=36°．
故答案为：36°．
【点睛】此题主要考查了几何概率以及正五边形的性质，根据已知得出概率与圆心角的关系是解题关键．
8．（2022·重庆·统考二模）从﹣1，2，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为(x，y)，若点N为(﹣4，0)，则在平面直角坐标系内直线MN经过第一象限的概率为___．
【答案】23
【分析】先求出点M的所有可能的坐标，再找出当直线MN经过第一象限时，点M的所有符合条件的坐标，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意得：点M的坐标共有6种：(−1,2)，(−1,3)，(2,−1)，(2,3)，(3,−1)，(3,2)，
由一次函数的图象可知，当点M的坐标为(−1,2)，(−1,3)，(2,3)，(3,2)时，直线MN经过第一象限，
则在平面直角坐标系内，直线MN经过第一象限的概率为P=46=23，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了求概率、一次函数的图象，正确找出当直线MN经过第一象限时，点M的所有符合条件的坐标是解题关键．
9．（2022·河北·模拟预测）一个袋子里装着数目不超过十个的黑球和白球，且黑球多于白球，从中任意摸出两个球，两个球颜色相同的概率是1328，颜色不同的概率是1528，则黑球的个数是_________，白球的个数是_________．
【答案】 5 3
【分析】设黑球的个数为x个，白球的个数为y个．根据题意，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设黑球的个数为x个，白球的个数为y个．
根据题意，两个球颜色相同的概率P1=xx+y×x−1x+y−1 +yx+y×y−1x+y−1 =1328①，
两个球颜色不同的概率P2=xx+y×yx+y−1 +yx+y×xx+y−1 =1528②，
由①②联立，x2+y2−x+y2xy=1315，
∵x2+y2=x+y2−2xy，
∴x+y2−2xy−x+y2xy=1315，即x+yx+y−1=5615xy，
根据题意得：x，y为正整数，且x+y≤10，x>y
∴x+y,x+y−1,xy的值均为正整数，
∴xy为15的倍数，
当xy=15时， x=5,y=3；
当xy=30时， x=10,y=3或x=6,y=5，不符合题意；
答：黑球的个数为5个，白球的个数为3个．
故答案为：5，3
【点睛】本题主要考查了求概率，分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
10．（2022·四川成都·统考二模）骰子的六个面上分别标记六个数：-2、-1、0、1、2、3．掷一次骰子，掷得的数字记为m，则使得关于x的分式方程1−mx1−x−1=m2−1x−1有正整数解的概率为_____．
【答案】12
【分析】由关于x的分式方程1−mx1−x−1=m2−1x−1有正整数解，可求得m的值，然后根据概率公式进行求解即可得到答案．
【详解】解：去分母得：1−mx−(1−x)=−(m2−1) ，
∴x=m+1，
∵该分式方程有正整数解，
∴m+1>0，且m+1≠1
∴使得关于x的分式方程1−mx1−x−1=m2−1x−1有正整数解的m的值可以为：1，2，3，
故使得关于x的分式方程1−mx1−x−1=m2−1x−1有正整数解的概率为36=12 ．
故答案为12 ．
【点睛】此题考查了概率公式，以及分式方程的解的情况，正确解分式方程，根据题设条件求出m的值是解题的关键．
【题型3 列举法或树状图求概率（卡片问题）】
11．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）甲、乙两人玩抽卡片游戏，4张背面相同的卡片正面标有数字−2、0、3、5，将4张卡片洗匀后倒扣在桌面．甲先随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字，并将卡片放回洗匀，乙再抽取一张卡片，记下卡片上的数字，求出抽取的两数之和是奇数的概率_____．
【答案】12
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两数之和是奇数的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中抽取的两数之和是奇数的结果有8种，
∴抽取的两数之和是奇数的概率为816=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2022·湖北省直辖县级单位·校考二模）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．有四张卡片正面分别是垃圾分类标志图案，它们除正面上的图案不同外，其他均相同．将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．若从中随机抽取两张张卡片，所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率是 ___________．
【答案】16
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：将这4张卡片分别记为A、B、C、D，其中B、C是轴对称图形，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种，
∴所抽取的两张卡片恰好都是轴对称图形的概率为212=16，
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及轴对称图形．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．（2022·河南开封·统考二模）现有4张卡片，如图①所示，甲、乙两人依次从中随机抽取一张，则甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图②“小房子”的概率为_________
【答案】23
【分析】用A表示三角形，B表示长方形，画树状图列举所有等可能情况共12中，其中能拼成小房子的情况为一A一B共有8种情况，然后利用概率公式计算即可．
【详解】解：用A表示三角形，B表示长方形，画树状图如图，列举所有等可能情况共12中，其中能拼成小房子的一A一B共有8种情况，
甲、乙两人抽取的两张卡片能拼成如图②“小房子”的概率为812=23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查画树状图或列表求概率，掌握画树状图或列表的方法与步骤，列出所有等可能的情况，从中找出符合条件的情况是解题关键．
14．（2022·江苏苏州·统考一模）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”、“琮琮”和“莲莲”．将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是_________．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案不同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）
【答案】(1)13
(2)23
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是13；
（2）解：把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如图：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不同的结果有6种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为69=23．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．（2022·陕西西安·统考一模）作为中国共产党建党百年的献礼，我校精心策划“庆祝中国共产党成立100周年”歌唱比赛，歌曲有：《没有共产党就没有新中国》，《歌唱祖国》，《少年中国说》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九年一班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九年二班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌唱比赛．
(1)九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是______；
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出一班和二班抽中不同歌曲的概率．
【答案】(1)13
(2)23
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的情况数，其中九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有6种结果，再由根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：九年一班抽中歌曲《少年中国说》的概率是13；
故答案为：13；
（2）解：树状图如图所示：

共有9种等可能的情况数，其中九（1）班和九（2）班抽中不同歌曲的有6种结果，
则一班和二班抽中不同歌曲的概率是69=23．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算以及画树状图或列表的方法求概率，能正确画出树状图或列表是求概率的关键．
【题型4 列举法或树状图求概率（转盘问题）】
16．（2022·陕西西安·校考二模）如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．
(1)转动转盘一次，转出数字是−3的概率是________；
(2)转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为负数的概率．
【答案】(1)13
(2)49
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等情况数，找出两次分别转出的数字之积为负数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵标有数字“1”的扇形的圆心角度数为120°，
∴标有数字“2”的扇形的圆心角度数为120°，
∴标有数字“−3”的扇形的圆心角度数之和为120°，
∴转出的数字是−3的概率是120°360°=13，
故答案为：13；
（2）解：∵数字“1”的扇形的圆心角为120°，
∴数字“2”的扇形的圆心角为120°，
∴两个“−3”总共加起来的扇形的圆心角也为120°，
根据题意画图如下：
由表格可知共有9种等可能的情况数，其中两次分别转出的数字之积为负数的有4种，
∴两次分别转出的数字之积为负数的概率是49．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（2022·青海西宁·统考中考真题）“青绣”是我省非遗项目，其中土族盘绣、湟中堆绣、贵南藏绣、河湟刺绣等先后列入国家级、省级非物质文化遗产代表作名录．
(1)省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是________（填“全面调查”或“抽样调查”）；
(2)为了增进我省青少年对“青绣”文化的了解，在一次社会实践活动中设置了转盘游戏．如图所示，一个可以自由转动的转盘，指针固定不动，转盘被分成了大小相同的4个扇形，并在每个扇形区域分别标上A，B，C，D（A代表土族盘绣、B代表湟中堆绣、C代表贵南藏绣、D代表河湟刺绣）．游戏规则：每人转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在哪个区域就获得相应的绣品（若指针落在分界线上，重转一次，直到指针指向某一区域内为止）．请用画树状图或列表的方法求出甲、乙两名同学获得同一种绣品的概率，并列出所有等可能的结果．
【答案】(1)抽样调查
(2)14，见解析
【分析】（1）选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判定即可．
（2）利用列表法求解即可．
（1）
解：省文旅厅为调查我省青少年对“青绣”文化的了解情况，应选择的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）
解：列表如下：
由表格可知，共有16种等可能结果，
其中甲、乙两名同学获得同一种绣品的结果共有4种，
即AA，BB，CC，DD
∴P两名同学获得同一种绣品=416=14．
【点睛】本题考查抽样设调查与全面调查的判定，列表法求概率，熟练掌握调查方式的选择与用列表法可画树状图法求概率是解题的关键．
18．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是−6，−1，8，转盘乙上的数字分别是−4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．
(1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是__________；转盘乙指针指向正数的概率是__________．
(2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表法或树状图法求满足a+b<0的概率．
【答案】(1)13；23
(2)满足a+b<0的概率为13．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是13；
转盘乙指针指向正数的概率是23．
故答案为：13；23．
（2）解：列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中满足a+b<0的有3种结果，
∴满足a+b<0的概率为39=13．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
19．（2022·云南昆明·统考中考真题）有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（选其中一种）表示出所有可能出现的结果；
（2）若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）公平，理由见解析
【分析】（1）分别使用树状图法或列表法将所有可能出现的结果表示出来，转盘共有3种不同的抽取情况，摸球同样也有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种；
（2）通过（1）所列出的表格或是树状图表示的结果，统计 “和为3的倍数”、“和为7的倍数”出现的次数，并算出概率，通过概率的比较得出结论．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
用树状图表示所有可能出现的结果如下：
（2）由（1）的表格可知，共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，
∴P（小杰胜）＝39=13，P（小玉胜）＝39=13，
∴游戏是公平的．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将转盘、摸球所可能发生的情况一一列出，避免遗漏，并通过对可能发生的结果进行统计，计算出游戏各赢法所对应的概率．
20．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，甲、乙两个转盘分别被分成了3等份与4等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
（2）积为9的概率为 ；积为偶数的概率为 ；
（3）从1~12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为 ．
【答案】（1）补全表格见解析；（2）112， 23；（3）13．
【分析】(1)计算所取两数的乘积即可得；
(2)找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；
(3)利用概率公式计算可得．
【详解】(1)补全表格如下：
(2)由表知，共有12种等可能结果，其中积为9的有1种，积为偶数的有8种结果，
所以积为9的概率为112；积为偶数的概率为812=23，
故答案为 112， 23；
(3)从1~12这12个整数中，随机选取1个整数，该数不是(1)中所填数字的有5和7，10，11这4种，
∴此事件的概率为412=13，
故答案为 13．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【题型5 列举法或树状图求概率（不放回的摸球问题）】
21．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）根据树状图找出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球的情况，即可得解．
【详解】（1）解：画树状图如下：
由树状图知共有6种情况；
（2）解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，
抽到颜色不同的两球共有4种情况，
所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（2022·江苏泰州·统考中考真题）江苏省第20届运动会将在泰州举办，“泰宝”和“凤娃”是运动会吉祥物．在一次宣传活动中，组织者将分别印有这两种吉祥物图案的卡片各2张放在一个不透明的盒子中并搅匀，卡片除图案外其余均相同．小张从中随机抽取2张换取相应的吉祥物，抽取方式有两种：第一种是先抽取1张不放回，再抽取1张；第二种是一次性抽取2张．
（1）两种抽取方式抽到不同图案卡片的概率 （填“相同”或“不同”）；
（2）若小张用第一种方式抽取卡片，求抽到不同图案卡片的概率．
【答案】（1）相同；（2）23．
【分析】（1）画树状图即可判断；
（2）结合第（1）题所画树状图可求概率．
【详解】解：（1）设两张“泰宝”图案卡片为A1，A2，两张“凤娃”图案卡片为B1，B2．
画出两种方式的树状图，是相同的，所以抽到不同图案卡片的概率是相同的．
故答案为：相同
（2）由（1）中的树状图可知，抽取到的两张卡片，共有12种等可能的结果，其中抽到不同图案卡片的结果有8种．
∴P（两张不同图案卡片）=812=23．
【点睛】本题考查了用列举法求概率的知识点，画树状图或列表是解题的基础，准确求出符合某种条件的概率是关键．
23．（2022·辽宁营口·统考中考真题）李老师为缓解小如和小意的压力，准备了四个完全相同（不透明）的锦囊，里面各装有一张纸条，分别写有：A．转移注意力，B．合理宣泄，C．自我暗示，D．放松训练．
（1）若小如随机取走一个锦囊，则取走的是写有“自我暗示”的概率是_________；
（2）若小如和小意每人先后随机抽取一个锦囊（取走后不放回），请用列表法或画树状图的方法求小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率．
【答案】（1）14；（2）12
【分析】（1）根据概率公式，直接求解即可；
（2）画出树状图，展示所有等可能的结果，在利用概率公式即可求解．
【详解】解：（1）根据题意：取走的是写有“自我暗示”的概率=1÷4=14，
故答案是：14；
（2）画树状图如下：
∵一共有12种等可能的结果，小如和小意都没有取走“合理宣泄”的情况有6种，
∴小如和小意都没有取走“合理宣泄”的概率=6÷12=12．
【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，画树状图，展示等可能的结果数，是解题的关键．
24．（2022·江苏常州·统考中考真题）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
【答案】（1）23；（2）见解析，13.
【分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；
（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．
【详解】（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23；
故答案为23；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13．
【点睛】本题主要考查了概率公式，列举法（树状图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．
25．（2011·浙江衢州·中考真题）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°.有如下五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤，其正面分别写有五个不同的等式，小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．请结合以上条件，解答下列问题．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用①、②、③、④、⑤表示）；
（2）用两次摸牌的结果和∠C=∠F=90°作为条件，求能满足△ABC和△DEF全等的概率．
【答案】解：（6分）（1）列表如下;
∴两次摸牌所有可能出现的结果共有20种
（用树状图解参照给分）
（2）两次摸牌所有可能出现的结果共有20种，其中满足△ABC≌△DEF的有18种可能，
∴P（能满足△ABC≌△DEF）=
【题型6 列举法或树状图求概率（放回的摸球问题）】
26．（2022·江苏淮安·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
(1)第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
(2)用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【答案】(1)13
(2)两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为49
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是13
故答案为：13.
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：(1，1)，(1，3)，(3，1)，(3，3)，共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为49.
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
27．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于_________；
(2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求2次都摸到红球的概率．
【答案】(1)13
(2)19
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【详解】（1）解：共有3个球，其中红球1个，
∴摸到红球的概率等于13；
（2）画树状图如下：
∵有9种结果，其中2次都摸到红球的结果有1种，
∴2次都摸到红球的概率=19．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键．
28．（2022·广西柳州·统考中考真题）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为______；
(2)若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）
【答案】(1)13
(2)这两个班抽到不同卡片的概率为23
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为13，
故答案为：13；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为69=23．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
29．（2022·吉林·统考中考真题）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
【答案】甲、乙两人都决定去长白山的概率为19．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人都决定去长白山的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：长白山、松花湖、净月潭依次用字母A，B，C表示，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人都决定去长白山的结果有1种，
∴甲、乙两人都决定去长白山的概率为19．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
30．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由A1、A2、A3三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
(1)请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
(2)若A1、A2两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A、B、C的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由A1随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由A2随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1
(2)A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为13
【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：画树状图如下：
∴共有6种等可能的结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1．
（2）解：画树状图如下：
∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种，
∴P(A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事)=39=13 ，
答：A1、A2两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为13．
【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法．
【题型7 列举法或树状图求概率（电路问题）】
31．（2022·云南昭通·统考二模）小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验时，设计了如图所示的电路图，电路图上有4个开关A、B、C、D和一个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发亮．
(1)当开关A已经是闭合状态时，任意闭合开关B、C、D中的一个，小灯泡能亮起来的概率是______；
(2)任意闭合开关A、B、C、D中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
【答案】(1)13
(2)13
【分析】（1）利用概率公式直接求解即可；
（2）用列表法分析出所有可能出现的结果数和能使小灯泡亮起来的结果数，再用概率公式计算即可求解．
(1)
解：p=13，
故答案为：13；
(2)
解：所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同，其中能使小灯泡亮起来的有A,B，B,A，C,D，D,C共4种，
∴P=412=13，
∴小灯泡能亮起来的概率是13．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
32．（2022·江苏泰州·统考一模）小明在学习完电学知识后，用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个如图所示的电路图．
(1)在开关A闭合的情况下，任意闭合B、C、D中的一个开关，则灯泡发光的概率等于 ；
(2)任意闭合其中两个开关，请用树状图或列表的方法求出灯泡发光的概率．
【答案】(1)13
(2)12
【分析】（1）在开关A闭合的情况下，只有闭合D才能使灯泡发光，由此计算其概率；
（2）利用树状图或表格列出所有可能的情况，再计算概率．
（1）
解：B、C、D三个开关中，只有闭合开关D，灯泡才能发光，
所以灯泡发光的概率为P=13；
（2）
解：根据题意，用表格列出所有可能的情况：
由表可知，任意闭合两个开关的共有12种情况，其中能使灯泡发光的情况有6种，
∴灯泡发光的概率P=612=12．
【点睛】本题考查了列举法求概率，正确画出相应的表格或树状图是解题的关键．
33．（2022·福建龙岩·校联考一模）在如图电路中，有三个开关：S1、S2、S3．
(1)当开关S1已经是闭合状态时，开关S2、S3的断开与闭合是随机的，灯泡L1能亮起来的概率是 ．
(2)若三个开关S1、S2、S3的断开与闭合都是随机的，用树状图法求灯泡L1能亮起来的概率．
【答案】(1)34
(2)38
【分析】先画树状图展示出所有等可能结果，从中找到使电路AB正常工作的情况数，在根据概率公式计算即可；
(1)
解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果，
∴电路AB能正常工作的概率是34；
故答案是34．
(2)
解：画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中电路AB能正常工作的有3种结果，
∴电路AB能正常工作的概率是38；
【点睛】本题主要考查了画树状图求概率，能准确分析并计算是解题的关键．
34．（2022·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考三模）在某次物理实验中，需要在图中的1、2、3个位置处安装3个元件形成电路，现有A、B、C三个元件，其中有一个元件在上一次实验操作中被烧坏掉，现将三个元件分别任意安装到1、2、3处；
(1)位置1处安装被烧坏的元件概率为_______；
(2)请用合适的方法分析并求出闭合开关后，小灯泡能亮的概率．
【答案】(1)13
(2)23
【分析】（1）根据烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样即可得到答案；
（2）根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，由此列树状图求解即可．
（1）
解：∵烧坏的元件安装到1、2、3处的概率一样，
∴位置1处安装被烧坏的元件概率为13，
故答案为：13；
（2）
解：根据并联电路的特点可知，位置1处必须放完好的元件才能保证形成电路，假设A、B、C中烧坏的元件为A，列树状图如下所示：
由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中小灯泡能亮的结果数有4种，
∴小灯泡能亮的概率为46=23．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算和列树状图或列表法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
35．（2022·江苏盐城·校考二模）如图是我们熟悉的电路图，其中L1、L2、L3代表灯泡，K1、K2、K3、K4代表开关，R代表电阻．
（1）合上一个开关，有两盏灯亮的概率是 ；
（2）合上两个开关，有两盏灯亮的概率是多少？请结合树状图或表格解决问题．
【答案】（1）12；（2）合上两个开关，有两盏灯亮的概率是23．
【分析】（1）分析合上一个开关，有两盏灯亮的所有可能性，再根据概率公式解题；
（2）列表法分析所有等可能结果，继而求合上两个开关，有两盏灯亮的概率．
【详解】解：（1）合上一个开关，有4种情况，只有合上K2或K3时，才有两盏灯亮，
故合上一个开关，有两盏灯亮的概率是12，
故答案为：12；
（2）若第一次合上开关K1，第二次合上开关K2记为（1，2），分析所有等可能的情况如下图：
共有12种等可能情况，只有(4,1)、(3,2)、(2,3)、(1,4)亮的不是两盏灯，
有两盏灯亮的概率是
P=12−412=23
答：合上两个开关，有两盏灯亮的概率是23．
【点睛】本题考查列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【题型8 列举法或树状图求概率（数字问题）】
36．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】(1)14
(2)16
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为14，
故答案为：14；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为212=16．
【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
37．（2022·云南·中考真题）某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲，要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下：在—个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b，若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》，否则，演奏《彩云之南》．
(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏公平不？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
【答案】(1)见解析，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种；
(2)游戏公平，理由见解析
【分析】（1）列表列出所有等可能结果即可；
（2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断．
【详解】（1）解：列表如下：
由表格可知，（a，b）所有可能出现的结果总数有8种；
（2）解：游戏公平，
由表格知a+b为奇数的情况有4种，为奇数的情况也有4种，
概率相同，都是48=12，所以游戏公平．
【点睛】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
38．（2022·贵州遵义·统考中考真题）现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．）
（1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 ；
（2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平．
【答案】（1）14；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的，理由见解析
【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个，
∴两个小球上数字相同的概率是312＝14，
故答案为：14；
（2）这个规则对甲、乙两人是公平的．
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种，
∴P甲获胜＝P乙获胜＝12，
∴此游戏对双方是公平的．
【点睛】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
39．（2022·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字−2，0.3，−227，0
（1）从口袋中随机出一个小球，求摸出的小球上的数字是分数的概率（直接写出结果）；
（2）从口袋中一次随机摸出两个小球，摸出的小球上的数字分记作x，y，请用列表法（或树状图）求点x,y在第四象限的概率．
【答案】（1）12；（2）16．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与这两个球上数字组成坐标在第四象限的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）∵0.3可以化为分数，
∴摸出小球上的数字是分数的概率=24=12；
（2）由题意可列出如下表格：
由表格可知：
共有12种等可能的结果，其中两个球上数字组成坐标在第四象限的情况有2种，
∴摸出的两个球上数字组成坐标在第四象限的情况的概率为212=16．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意本题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
40．（2022·江苏苏州·统考中考真题）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、−2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．
（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______；
（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）14；（2）公平，见解析
【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率；
（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【详解】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种
P（数字是负数）=14；
（2）用树状图或表格列出所有等可能的结果：
∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，
∴P（结果为非负数）=612=12，
P（结果为负数）=612=12．
∴游戏规则公平．
【点睛】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【题型9 列举法或树状图求概率（实际应用问题）】
41．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，A1,B1,B2,⋯,D3,D4分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口A1处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率．
【答案】38
【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可.
【详解】画树状图得：
所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为38 .
【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法．
42．（2022·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）福州第十九中学每年的校园科学文化艺术节中的“爱心义卖会”活动，是学校同学们表现爱心的重要活动，在2021年的义卖会上，九年某班的同学设计了一个“爱心盲盒大抽奖”的活动，其规则如下：通过购买爱心小盲盒，每个爱心小盲盒3元，根据小盲盒内事先藏好的数字，可以进行兑奖，而每一位参与活动的同学都有4个小盲盒可以选择，其中一个小盲盒藏有数字4，可以兑换4元，有一个小盲盒藏有数字2，可以兑换2元，剩余的两个小盲盒藏有数字1，可以兑换1元，每位同学最多只能买2个小盲盒．
(1)张同学购买了两个小盲盒，用列表法或树状图的方法求出求他购买的第1个小盲盒里藏有数字4的概率：______；
(2)李同学手上有7元，请用概率统计的知识说明，从李同学最终在手上的钱的平均值为依据，她是买一个小盲盒好，还是两个小盲盒好．
【答案】(1)14
(2)李同学应该买一个小盲盒好，理由见解析
【分析】（1）用列表法展示12种等可能的结果数，找出张同学购买的第1个小盲盒里藏有数字4的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）先分别计算出李同学购买一个小盲盒和两个小盲盒后最终在手上的钱的平均值，然后再比较即可判断．
(1)
解：列表得：
共有12种等可能情况，记购买的第1个小盲盒里藏有数字4为事件A，共3种情况，
∴PA=312=14．
故答案为：14．
(2)
若李同学购买1个小盲盒，花去3元，还有4元，
则可兑换4元的概率为14，兑换2元的概率为14，兑换1元的概率为24=12，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：4+4×14+2×14+1×12=6（元）；
若李同学购买2个小盲盒，花去6元，还有1元，
由（1）可知，
可兑换6元的概率为212=16，
可兑换5元的概率为412=13，
可兑换3元的概率为412=13，
可兑换2元的概率为212=16，
因此此时李同学最终在手上的钱的平均值为：1+6×16+5×13+3×13+2×16=5（元）；
∵6>5，
∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
43．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）我市长途客运站每天6:30−7:30开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题：
（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？
（2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？
【答案】（1）共6种可能；（2）小王的方案乘坐优等车的可能性大．
【分析】（1）采用列举法比较简单，但是解题时要注意做到不重不漏；
（2）考查了学生对表格的分析能力，解题的关键是理解题意，列得适宜的表格．
【详解】解：(1)三辆车按开来的先后顺序有：优、中、差；优、差、中；中、优、差；中、差、优；差、优、中；差、中、优，共6种可能.
(2)根据三辆车开来的先后顺序，小张和小王乘车所有可能的情况如下表：
由表格可知：
小张乘坐优等车的概率是13，而小王乘坐优等车的概率是12.
所以小王的乘车方案乘坐优等车的可能性大.
44．（2022·河北邯郸·校考二模）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有4个选项，第二道题有3个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．
（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；
（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．
【答案】（1）19；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析
【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算；
（2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“．
【详解】解: （1）列树状图如下:
共有9种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有1个，
所以小新顺利通过第一关的概率为19
（2）建议小明在第二题使用“求助卡”，
若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下:
此时小新顺利通过第一关的概率为18
因为18>19，
所以建议小新在第二题使用“求助卡”
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
45．（2022·陕西西安·统考一模）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)已知第三类电影获得好评的有45部，则m=______；
(2)如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概率；
(3)根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、B两部电影的场次，以使得当天的票房收入最高？
【答案】(1)m=0.15
(2)140
(3)应安排A电影两个场次B电影一个场次
【分析】（1）根据图标直接求值即可；
（2）先求出总数和获得好评的第四类电影数，再根据概率公式即可求出答案；
（3）求得A，B电影上座率和排一场A，B电影的收入，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，m=45300=0.15；
（2）∵总的电影部数是：140+50+300+200+800+510=2000（部），
第四类电影中获得好评的有200×0.25=50（部），
∴P（这部电影是获得好评的第四类电影）=502000=140
（3）A电影上座率=0.4×1.5+0.1=0.7，
B电影上座率=0.2×1.5+0.1=0.4，
排一场A电影收入=0.7×1000×45=31500（元），
排一场B电影收入=0.4×1000×40=16000（元），
由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排A电影两个场次B电影一个场次．
【点睛】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；读懂图表，从图表中找到必要的数据是解题的关键．
【题型10 利用频率估计概率】
46．（2022·辽宁营口·中考真题）一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在10%、15%，则估计箱子里蓝球有__个．
【答案】15
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为10%和15%，则摸到蓝球的概率为75%，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
【详解】解：估计箱子里蓝球有20×(1−10%−15%)=15（个），
故答案为：15．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
47．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）一个不透明的口袋中装有5个红球和m个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m的值为_________．
【答案】20
【分析】利用大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
【详解】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，
∴55＋m＝0.2，
解得：m＝20．
经检验m＝20是原方程的解，
故答案为：20．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率和解分式方程，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据摸出红球的频率得到相应的等量关系．
48．（2022·四川自贡·统考中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙）
【答案】甲
【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论．
【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则
鱼的概率近似=5100=100x，解得x＝2000；
设乙鱼池鱼的总数为y条，则
鱼的概率近似=10100=100y，解得y＝1000；
∵2000>1000，
∴可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系．
49．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
【答案】白球
【分析】利用频率估计概率的知识，确定摸出黑球的概率，由此得到答案．
【详解】解：由图可知：摸出黑球的频率是0.2，
根据频率估计概率的知识可得，摸一次摸到黑球的概率为0.2，
∴可以推断盒子里个数比较多的是白球，
故答案为：白球．
【点睛】此题考查利用频率估计概率，正确理解图象的意义是解题的关键．
50．（2022·湖南长沙·统考中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【答案】（1）0.25；（2）纸箱中白球的数量接近36个．
【分析】（1）利用免费发放的景点吉祥物数量除以参与这种游戏的游客人数即可得；
（2）设纸箱中白球的数量为x个，先利用频率估计概率可得随机摸出一个球是红球的概率，再利用概率公式列出方程，解方程即可得．
【详解】解：（1）由题意得：15000÷60000=0.25，
答：参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为0.25；
（2）设纸箱中白球的数量为x个，
由（1）可知，随机摸出一个球是红球的概率约为0.25，
则1212+x=0.25，
解得x=36，
经检验，x=36是所列分式方程的解，且符合题意，
答：纸箱中白球的数量接近36个．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、已知概率求数量，熟练掌握概率公式是解题关键．
【题型11 统计概率综合】
51．（2022·山东淄博·统考中考真题）某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程（要求必须选修一门且只能选修一门）？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
(1)共有 名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
(2)补全调查结果条形统计图；
(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
【答案】(1)120，99
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：参与了本次问卷调查的学生人数为：30÷25%=120（名），
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×33120=99°，
故答案为：120，99；
（2）解：条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：120×54°360°=18（名），
则选修“园艺”的学生人数为：120−30−33−18−15=24（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种，
∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为525=15．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
52．（2022·西藏·统考中考真题）教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于3小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
请根据图表信息，回答下列问题．
(1)参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝______；
(2)在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°；
(3)该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的2男2女中随机挑选2人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)150，60
(2)36
(3)恰好抽到一名男生和一名女生的概率为23
【分析】（1）由统计图可得t＜3的人数有9人，所占百分比为6％，然后可得调查总人数，进而问题可求解；
（2）由（1）可得D组所占百分比，然后问题可求解；
（3）利用画树状图可进行求解．
【详解】（1）解：参加此次调查的总人数是：9÷6%＝150（人），频数统计表中a＝150×40%＝60，
故答案为：150，60；
（2）解：D组所在扇形的圆心角度数是：360°×15150＝36°，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为P=812=23．
【点睛】本题主要考查扇形统计图及概率，解题的关键是利用统计图得到相关信息．
53．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为了解学生一周劳动情况，我市某校随机调查了部分学生的一周累计劳动时间，将他们一周累计劳动时间t（单位：小时）划分为A：t＜2，B：2≤t＜3，C：3≤t＜4，D：t≥4四个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取_____人，条形统计图中的m＝______；
(2)在扇形统计图中，求B组所在扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；
(3)已知该校有960名学生，根据调查结果，请你估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有多少人？
(4)学校准备从一周累计劳动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生介绍劳动体会，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)100，42
(2)72°；补图见解析
(3)估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
(4)23
【分析】（1）根据D组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用总人数乘以C所占的百分比，即可得出m的值；
（2）用360°乘以B组所占的百分比，求出B组的圆心角度数，再用总人数乘以B所占的百分比，即可得出B组的人数；
（3）用该校的总人数乘以达到3小时及3小时以上的学生所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：这次抽样调查共抽取的人数有：28÷28%=100（人），
m=100×42%=42，
故答案为：100，42；
（2）解：B组所在扇形圆心角的度数是：360°×20%=72°；
B组的人数有：100×20%=20（人），
补全统计图如下：
；
（3）解：根据题意得：
960×（42%+28%）=672（人），
答：估计该校一周累计劳动时间达到3小时及3小时以上的学生共有672人；
（4）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，
所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为812=23．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
54．（2022·山东济宁·统考中考真题）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如下图所示）．
学生成绩分布统计表
请根据以上图表信息，解答下列问题：
(1)填空：n＝ ，a＝ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)求这n名学生成绩的平均分；
(4)从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】(1)40，0.25
(2)见解析
(3)88.125分
(4)图表见解析，23
【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”和频率之和为1可得答案；
（2）用总人数减去其他组的人数即为80.5到85.5组人数，即可补全频数分布直方图；
（3）利用平均数的计算公式计算即可；
（4）列出树状图即可求出概率
（1）
解：由图表可知：n=2÷0.05=40，a=40−2−15−11−240=1040=0.25
（2）
解：由（1）可知，80.5到85.5组人数为40−2−15−11−2=10（人），
频数分布图为：
（3）
解： 140(2×78+10×83+15×88+11×93+2×98)=88.125（分）
（4）
解：用A1，A2表示75.5≤x＜80.5中的两名学生，用B1，B2表示95.5≤x＜100.5中的两名学生，画树状图，得
由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到有8种．
∴每一组各有一名学生被选到的概率为812=23．
【点睛】本题主要考查本题考查读频数分布直方图，求平均数，利用树状图求概率，掌握相关的概念以及方法是解题的关键．
55．（2022·青海·统考中考真题）为迎接党的二十大胜利召开，某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人.为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10.
八年级抽取学生的测试成绩条形统计图
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
(1)填空：a=______，b=______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
(4)现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率.
【答案】(1)a=8；b=8
(2)见解析
(3)700人
(4)12
【分析】（1）由众数和中位数的定义求解即可；
（2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解；
（3）由七、八年级的总人数分别乘以优秀率，再相加即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
（1）
解：（1）由众数的定义得∶a=8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为∶8，8；
（2）
解：答案一：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的众数是8分，八年级被抽取的学生的成绩的众数是7分，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
答案二：七年级较好．理由：七年级被抽取的学生的成绩的优秀率是80%，八年级被抽取的学生的成绩的优秀率是60%，从这一统计量看，七年级学生党史知识掌握得较好．
（3）
解：解：500×80%+500×60%=700（人）．
答：七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数约为700人．
（4）
解：列表如下：
或树状图如下：
由表格或树状图可知，共有12种等可能的情况，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的情况有6种．
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率P=612=12．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键． 1
2
−3
1
（1，1）
（2，1）
（−3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（−3，2）
−3
（1，−3）
（2，−3）
（−3，−3）
甲
乙
A
B
C
D
A
AA
BA
CA
DA
B
AB
BB
CB
DB
C
AC
BC
CC
DC
D
AD
BD
CD
DD
乙 甲
-1
-6
8
-4
-5
-10
4
5
4
-1
13
7
6
1
15
乙
积
甲
1
2
3
4
1




2




3




1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
①
②
③
④
⑤
①
① ②
① ③
① ④
① ⑤
②
② ①
② ③
② ④
② ⑤
③
③ ①
③ ②
③ ④
③ ⑤
④
④ ①
④ ②
④ ③
④ ⑤
⑤
⑤ ①
⑤ ②
⑤ ③
⑤ ④
A“杂交水稻之父”袁隆平
B“天眼之父”南仁东
C“航天之父”钱学森
A
B
C
D
A
/
A,B
A,C
A,D
B
B,A
/
B,C
B,D
C
C,A
C,B
/
C,D
D
D,A
D,B
D,C
/
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC
K1
K2
K3
K4
K1
(2,1)
(3,1)
(4,1)
K2
(1,2)
(3,2)
(4,2)
K3
(1,3)
(2,3)
(4,3)
K4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
4
2
1
1
4
/
4,2
4,1
4,1
2
2,4
/
2,1
2,1
1
1,4
1,2
/
1,1
1
1,4
1,2
1,1
/
顺序
优，中，差
优，差，中
中，优，差
中，差，优
差，优，中
差，中，优
小张
优
优
中
中
差
差
小王
差
中
优
优
优
中
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
m
0.25
0.2
0.1
摸球的总次数a
100
500
1000
2000
…
摸出红球的次数b
19
101
199
400
…
摸出红球的频率ba
0.190
0.202
0.199
0.200
…
劳动时间小时
频数
t＜3
9
3≤t＜4
a
4≤t＜5
66
t≥5
15
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
第一人
第二人
八1
八2
八3
七
八1
（八1，八2）
（八1，八3）
（八1，七）
八2
（八2，八1）
（八2，八3）
（八2，七）
八3
（八3，八1）
（八3，八2）
（八3，七）
七
（七，八1）
（七，八2）
（七，八3）