四川省成都市十县市2022_2023学年高一数学下学期期末调研试题含解析

这是一份四川省成都市十县市2022_2023学年高一数学下学期期末调研试题含解析，共20页。试卷主要包含了 在中，，，，则的值为， “辛普森等内容，欢迎下载使用。

考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，所以.
故选：C
2. 已知，为共线向量，且，，则（）
A. B. C. 40D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用共线向量的坐标表示及模的公式求解即可.
【详解】∵，为共线向量，∴，即，
∴，.
故选：A.
3. 已知为虚数单位，复数共轭复数为，且满足，则（）
A. B. 0C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数，再结合共轭复数的意义求解作答.
【详解】依题意，，则，
所以.
故选：C
4. ，是不同的直线，，，γ是互不相同的平面，下列说法正确的是（）
A. 若直线，在平面内，且均平行平面，则平面与平面平行
B. 若平面平行直线，直线平行平面，则平面与平面平行
C. 若平面垂直平面，平面垂直平面，则平面与平面平行
D. 若直线垂直平面，直线垂直平面，则直线与直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据线面的位置关系可判断ABC；利用线面垂直的性质可判断D.
【详解】若直线，平行且在平面内，均平行平面，此时平面与平面可能相交，故A错误；
若平面平行直线，直线平行平面，此时平面与平面可能相交，故B错误；
若平面垂直平面，平面垂直平面，此时平面与平面可能相交，故C错误；
若直线垂直平面，直线垂直平面，由线面垂直的性质得直线与直线平行，故D正确.
故选：D.
5. 在中，，，，则的值为（）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，又，根据数量积的定义可求得.
【详解】∵，∴，又，
∴，
故选：B.
6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为（）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 以上皆有可能
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解.
【详解】由及正弦定理，得,
因为，所以,
所以,
即，
，所以，
则
所以，
所以为直角三角形.
故选：B.
7. “辛普森（Simpsn）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底面的面积、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积的4倍、下底面的面积之和乘以高的六分之一，即．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体称为拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，中国古代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体，已知某个“刍童”如图所示，，，，，且体积为，则它的高为（）
A. B. C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】求出上下底面的面积和中截面的面积，代入公式即可求出高.
【详解】上底面的面积，下底面的面积，
中截面是过高的中点，且平行于底面的截面，其中分别是对应棱上的中点，如图所示，
根据中位线定理得，，
所以中截面的面积，
，解得，
故选：C．
8. 设正三棱锥底面的边长为2，侧面与底面所成的二面角的余弦值为，则此三棱锥的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设的中点为，连接，设为等边的中心，连接，由正三棱锥的性质可得平面，为侧面与底面所成的二面角的平面角，从而结合已知可求出高，进而可求出其体积.
【详解】设中点为，连接，设为等边的中心，连接，
则平面，
因为三棱锥为正三棱锥，所以，所以，
所以为侧面与底面所成的二面角的平面角，
因为等边的边长为2，所以，
因为侧面与底面所成的二面角的余弦值为，
所以，解得，
所以，
所以三棱锥的体积为，
故选：D
.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 的内角，，的对边分别为，，，下列四个结论正确的是（）
A.
B. 若，则为120°
C. 若，则为等腰直角三角形
D. 若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】由余弦定理化角为边可判断A；由余弦定理得，可判断B；利用两角和差的正弦公式求解可判断C；由正弦定理得，由余弦定理得为钝角，可判断D.
【详解】，故A正确；
由余弦定理得，而，则，故B正确；
若，即,
展开整理得，
∵，∴或，
∴为直角三角形或等腰三角形，故C错误；
若，由正弦定理得，
由余弦定理得，可得为钝角，则是钝角三角形，故D正确.
故选：ABD
10. 《九章算术》是我国古代的数学经典名著，它在几何学方面的研究比西方早一千年，在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，“鳖臑”几何体中，平面，，于点，于点．设，，，则有（）
A. 四面体最长的棱为
B. 平面平面
C. ，，两两互相垂直
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由平面，得，又，可得平面，由此即可判断C；设，求出各棱长，即可判断A；证得平面，而过点作平面的垂线有且仅有一条，由此可判断B；求出可判断D．
【详解】∵平面，平面，∴，
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴，
由以上可知，，两两互相垂直，故C正确；
设，则；；，
则四面体最长的棱为，故A正确；
∵，平面，∴平面，
而过点作平面的垂线有且仅有一条，
∵平面，平面，∴平面与平面不垂直，故B错误；
∵，
∴，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（）
A. 若，则为重心
B. 若，则为的内心
C. 若为的重心，是边上的中线，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】取的中点，则，得，即可判断A；若，则为的外心，不一定是内心，即可判断B；由题意，则，即可判断C；取的中点，则，得，，即可判断D.
【详解】取的中点，连接，则，
若，则，则三点共线，且，
则为的重心，故A正确；
若，则为的外心，不一定是内心，故B错误；
若为的重心，是边上的中线，则，则，故C错误；
取的中点，连接，则，
若，则，则三点共线，且，
则，故D正确.
故选：AD.
12. 下列各式中，值为的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据两角和的正、余弦公式及诱导公式、同角三角函数关系化简即可求解.
【详解】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简的结果是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的加法计算作答.
【详解】.
故答案为：
14. _________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用两角差的正弦公式，特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】．
故答案为：．
15. 若复数满足，为虚数单位，表示的共轭复数，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，设，求出，再利用复数模的意义结合三角函数性质求解作答.
【详解】因为复数满足，则设，有，
因此
，而时，，
则，即，
于是，
所以的取值范围为.
故答案为：
16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，且，，则该四棱锥的外接球的表面积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】将四棱锥补成长方体，求出长方体的对角线长，即可得外接球的半径，进而得表面积.
【详解】将四棱锥补成长方体如图：
则此四棱锥的外接球即为长方体的外接球，
长方体的对角线长为，
所以四棱锥的外接球的直径为3，即半径，
则该四棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6.小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知平面向量，，，且，，.
（1）若，求实数，的值；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的坐标运算求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示求解.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴且，解得.
【小问2详解】
，，
∵，∴，
∴，解得.
18. 如图，在直三棱柱中，底面为正三角形，侧面为正方形，，且，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，可得，根据线面平行的判定定理即可证得结论；
（2）分别取的中点，可证得为平行四边形，则，故直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，由平面，得为直线与平面所成角，在直角三角形求解即可.
【小问1详解】
连接，则是，的交点，
∵，分别是，的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面.
【小问2详解】
分别取的中点，连接，
∵分别是的中点，∴，
又∵，∴，
∴为平行四边形，∴，
∴直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，
∵平面，∴为直线与平面所成角，
∵在直角三角形中，，
∴，∴，
∴直线与平面所成角为.
19. 用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；
（2）当时，求的值域.
【答案】（1）表格见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表中数据结合“五点法”画图，求得，即可得答案；
（2）结合角的范围，利用三角函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题中数据可知，，从而，
∴，且，
∴，即，
又，∴，
∴，
表中数据补充完整为：
【小问2详解】∵，∴，∴，
∴，即当时，的值域为.
20. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，边长为，，点为侧棱的中点，过，，三点的平面交侧棱于点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，利用棱锥体积公式求解；
（2）由PD⊥平面ABCD，得PD⊥DC，又DC⊥AD，得DC⊥平面PAD，则DC⊥PA，又DE⊥PA，可得PA⊥平面CDEF，即可得出结论.
【小问1详解】
∵平面，平面，∴，
∵，，∴，
∴四棱锥的体积.
【小问2详解】
∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC，
∵DC⊥AD，AD∩PD＝D，AD，PD平面PAD，
∴DC⊥平面PAD，又PA平面PAD，∴DC⊥PA，
∵PD＝AD，E为侧棱PA的中点，∴DE⊥PA，
∵DC∩DE＝D，DC，DE平面CDEF，∴PA⊥平面CDEF，
∵CF平面CDEF，∴PA⊥CF．
21. 世界大学生夏季运动会，素有“小奥运会”之称，由国际大学生体育联合会（Internatinal University Sprts Federatin）主办，只限在校大学生和毕业不超过两年的．大学生（年龄限制为17～28岁）参加的世界大型综合性运动会．始办于1959年，其前身为国际大学生运动会．第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕，为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖公园一角修建具有成都文化特色的观景步道（如图）．在中，，是边上一点，米，．
（1）若米，求；
（2）当，记，求当角取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．
【答案】（1）米
（2）当时，的面积的最大值为
【解析】
【分析】（1）由正弦定理求得，从而得，设，结合勾股定理求出；
（2）根据已知条件求出的范围，由正弦定理求得，利用三角形面积公式及三角函数的性质求得答案.
【小问1详解】
在中，由正弦定理，得，
，
，，
，
在中，，
设，又，
，
，
，
，
，即米.
【小问2详解】
，
，
，，，
，
由正弦定理得，
，，
，
，
，
，当时取等号，
当时，的面积的最大值为.
22. 已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，.
（1）若，求；
（2）若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，从而由解得；
（2）利用三角函数的图象变换规律求出函数的解析式，根据题意，将所给条件转化为和的值域的包含关系，根据分段函数的特征及二次函数的性质分类讨论，列出不等式组，求得实数的取值范围．
【小问1详解】
，
若，则，
∴，∴.
【小问2详解】
，
当时，，，
若对任意，存在使得成立，
则函数的值域是的子集.
，
令，记，
当时，，
，
在时单调递减，则，即，
由题意得，解得，又，矛盾，所以无解；
当时，，
，
，
在时单调递减，在时单调递增，在时单调递减，
，
由题意得，解得，
又，所以；
当时，，，
，
在时单调递减，在时单调递增，
，
由题意，解得，
又，所以；
当时，，，
，
在时单调递减，则，即，
由题意得，解得，
又，所以，
综上可得，.
【点睛】方法点睛：一般地，已知函数，，
（1）若，总有成立，则；
（2）若，使得成立，则；
（3）若，使得成立，则；
（4）若，使得成立，则的值域是值域的子集．
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0