四川省绵阳市2022_2023学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份四川省绵阳市2022_2023学年高一数学上学期期中试题含解析，共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 全称量词命题， 三个数之间的大小关系是等内容，欢迎下载使用。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A的元素，根据元素和集合的关系以及集合间的关系，即可判断出答案.
【详解】由题意知集合，
故，A错误；
，B错误；
，C正确；
，D错误,
故选：C.
2. 下列命题中正确的是（）
A. 存在，使得x同时被2和3整除B. 有的三角形没有外接圆
C. 幂函数在内是减函数D. 任何实数都有算术平方根
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，根据三角形外接圆的性质判断B，根据幂函数的性质判断C，根据算术平方根的定义判断D；全科免费下载公众号-《高中僧课堂》
【详解】解：对于A：当时，因为同时被和整除，故存在，使得同时被和整除，故A正确；
对于B：任意三角形均有外接圆，故B错误；
对于C：幂函数在内是增函数，故C错误；
对于D：负数没有算术平方根，故D错误；
故选：A
3. 若，则下列选项错误的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A.根据不等式性质判断；
B.利用指数函数的单调性判断；
C.举例当时来判断；
D.利用的单调性判断.
【详解】因为，则
A.，则，，，A正确；
B.在上单调递增，当时，，B正确；
C.当时，，C错误；
D.当时，，D正确；
故选：C.
4. 全称量词命题：“.”的否定为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断答案.
【详解】全称量词命题：“.”的否定为存在量词命题：，
故选：D.
5. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性定义逐一判断各个选项即可.
【详解】解：对于A，函数在上递减，故A不符题意；
对于B，函数在上是减函数，故B不符题意；
对于C，函数，
因为，所以函数是偶函数，故C不符题意；
对于D，函数，
因为为奇函数，
由函数在上递增，且，函数在上连续，
所以函数在上是增函数，故D符合题意.
故选：D.
6. 若函数在区间上是单调函数，则实数b的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围．
【详解】函数的对称轴为，
由于在上是单调函数，
所以，即．
故选：B．
7. 如图，函数与的部分图象分别为，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的单调性，结合，，可解得答案．
【详解】由图可知：
在时是增函数，则，即；又，即．综上，．
在时是减函数，则，即；又，则，综上，．
故选：D．
8. 三个数之间的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先将化简，构造函数，利用函数的单调性比较大小.
【详解】，
设，此函数在定义域内是单调递增的，
∵
∴
∴.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列选项中，满足p是q的充分条件的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据充分条件的定义依次判断各选项即可.
【详解】对于A，由可推出，所以是的充分条件，A正确，
对于B，由可推出，所以是的充分条件，B正确，
对于C，由可推出，所以是充分条件，C正确，
对于D，当，时，，但是，所以不是的充分条件，D错误，
故选：ABC.
10. 设m，n是方程的两根，则下面各式值等于8的有（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据根与系数关系可求，，结合指数运算判断各选项对错.
【详解】因为m，n是方程的两根，所以由根于系数关系可得，，所以，，
，，所以B，D正确，
故选：BD.
11. 某外贸公司在30天内A商品的销售价格P（元）与时间t（天）的关系满足下方图象所示的函数，A商品的销售量Q（万件）与时间t（天）的关系为，则下列说法正确的是（）
A. 第15天的销售额最大B. 第20天的销售额最大
C. 最大销售额为125万元D. 最大销售额为120万元
【答案】AC
【解析】
【分析】由函数图象利用待定系数法求出销售价格P（元）关于时间t（天）的函数解析式，再求销售额关于t的函数解析式，结合二次函数性质求其最大值.
【详解】由图象可得当时，可设，根据图象知过点，所以，解得，所以，
当，可设，根据图象知过点，所以
解得，所以，
综上可得，，
又，设第天的销售额为，则
，化简可得
当时，，所以，当且仅当时等号成立；
当时，，所以，当且仅当时等号成立；’
综上可得，第15日销售额最大，最大值为125万元，
故选：AC.
12. 定义在R上的函数，对任意的，都有，且当时，恒成立，下列说法正确的是（）
A. B. 函数单调增区间为
C. 函数为奇函数D. 函数为R上的增函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法求，判断A，通过赋值，结合奇函数的定义判断C，根据单调性的定义判断BD.
【详解】因为对任意的，都有，
取，可得，所以，A正确；
取，可得，，所以函数为奇函数，C正确；
任取实数，且，则，因为，所以，又当时，恒成立，所以，所以，所以，所以函数为R上的增函数，D正确，B错误，
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，结合交集的定义求即可.
【详解】不等式的解集为，所以，
又，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的性质求解即可．
【详解】函数，
，
．
故答案为：．
15. 若奇函数在上的值域为，则该函数在区间上的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的性质求解即可．
【详解】函数是奇函数，则的图象关于原点对称，
∵函数在上的值域为，
∴该函数在区间上的值域为．
故答案为：．
16. 某学校计划在运动场内规划面积为的矩形区域ABCD用于全校师生核酸检测.矩形区域内布置成如右图所示的三个检测点（阴影部分）.已知下方是两个相同的矩形检查点，每个检测点区域四周各留下宽的间隔，若上方矩形宽LO是下方矩形边长EH的一半，为使三个检测点面积之和达到最大值，则______m.
【答案】
【解析】
【分析】设，，利用变量，表示三个检测点的面积和，结合矩形的面积为，利用基本不等式求其最大值，由此确定.
【详解】设，，则，，，，
所以三个检测点面积之和，因为矩形的面积为，所以，所以，
所以，令，则，，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，即时，三个检测点面积之和达到最大值，此时，
故答案为：.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，且是的真子集，求实数m的取值范围.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B，可得其补集；根据集合的并集运算可得；
（2）根据包含关系，列出相应的不等式组，即可求得实数m的取值范围.
【小问1详解】
或，
当时，，
∴，或.
【小问2详解】
∵，A是的真子集，
又，，
∴,解得,
∴实数的取值范围是.
18. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，利用这一方法，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，且，点C在线段OB上．设，．结合该图形解答以下问题：
（1）用a，b表示OF，OC，FC；
（2）根据OF与FC的大小关系，结合（1）的结论可得到什么不等式？并证明是该不等式取等号的充要条件．
【答案】（1），，；
（2），当且仅当时取等号；证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据图形在结合勾股定理求解即可.
（2）首先根据题意得到，再证明充分性和必要性即可.
【小问1详解】
因为，，可得圆O的半径为，
又由，
在直角中，可得，．
【小问2详解】
因为，所以，当且仅当时取等号．
充分性：当时，，，所以；
必要性：当时；平方得：，
所以，
所以．
19. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.
（1）求m和n的值；
（2）求满足不等式的a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得m,结合幂函数的性质即可求得n的值;
（2）根据（1）的结论，可得，利用函数的性质，可得关于a的不等式，求得答案.
【小问1详解】
∵是幂函数，
∴，解得m=3.
由在上单调递增得，解得.
∵，
∴或.
当时，函数，图象关于y轴对称，符合题意.
当时，函数，图象关于原点对称，不合题意.
综上，，.
【小问2详解】
由（1）得，，∴.
∵函数在和上均单调递减，
∴当时，，当时，.
∴满足不等式的条件为或或，
解得或，
∴满足不等式的的取值范围.
20. 已知关于x的不等式的解集为或.
（1）求实数a，b的值；
（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系列方程求实数a，b的值；(2)研究函数的单调性，利用单调性求值域.
【小问1详解】
因为不等式的解集为或，
所以，，为方程的根，且，
所以，，
所以，，
【小问2详解】
由(1) ，任取实数，，设，则
当时，，，，所以，
当时，，，，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以函数，的值域为.
21. 某工厂生产某种产品，年固定成本为300万元，可变成本（万元）与年产量x（件）的关系为，每件产品的售价为50万元，且工厂每年生产的产品都能全部售完.
（1）将年盈利额W（万元）表示为年产量x（件）的函数；
（2）求年盈利额的最大值及相应的年产量.
【答案】（1）
（2）当年产量为件时该厂盈利额最大，最大为万元
【解析】
【分析】（1）分两种情况进行研究，当时，可变成本，根据年盈利额=销售收入-成本，列出函数关系式，当时，变成本，根据年盈利额=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；
（2）根据年盈利额的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当0时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，
当时，
.
∴
【小问2详解】
解：①当时，，
∴当时，取得最大值，最大值为900.
②当时，
.
当且仅当，即时取得最大值，最大值为.
综上，当年产量为件时该厂盈利额最大，最大为万元.
22. 设函数（，且）.
（1）若，用定义证明为上的增函数；
（2）已知，函数，若函数在上的最小值为，求实数m的值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）根据可求得，即可得到的解析式，令并求出的取值范围，可得出，再根据二次函数的性质分类讨论，即可得解.
【小问1详解】
设
.
∵，函数单调递增，且，，
∴，，
∴，则，
∴函数是上的增函数.
【小问2详解】
∵，∴，即，解得或(舍去) .
∴.
令，由（1）得函数为上的增函数.
∵，∴.
令.
若，当时，，∴，满足题意.
若，当时，，解得，不符合题意.
综上，.